人教A理科数学课时试题及解析导数在研究函数中的应用A

课时作业(十三)A ［第13讲导数在研究函数中的应用
］
［时间： 45分钟分值：100分］
基彳 础热身
1 当X M 0时, 有不等式( )
A e <1 + x
B 当x>0时， e x <1 + x ，当 1 x<0 时， e x >1 + x
C e >1 + x
D 当x<0时， e x <1 + x , 当 兰x>0时， e >1 + x 2.如图K13 — 1,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象,
)
A .①②
B .①③
C .③④
D .①④
3.
若a>0, b>0，且函数f(x)= 4x 3— ax 2 — 2bx + 2在x = 1处有极值，则 ab 的最大值等 于
()
A . 2
B . 3
C . 6
D . 9
1 — x
_
1 1
4.
-------------------- 已知a < + lnx , x € 2，2恒成立，
则a 的最大值为( ------ )
x
-一2 ■
A . O
B . 1
C . 2
D . 3 能力提升
5.
函数f(x)= ax '+ bx 在x = f 处有极值，则ab
的值为(
)
P.曰 号疋
其中一定不正确的序 F(x) = f(x)— g(x),如果函数y = f(x)在区间[a , b]上的图象如图 那么( ) A . F '(X 0) = 0, x = X 0是 F(x)的极大值点 B . F '(X 0) = 0, x = X 0 是 F(x)的极小值点 C . F '(X 0)丰0, x = X 0不是F (x)的极值点 D . F '(X 0)丰0, x = X 0是F(x)的极值点
K13 — 2 所示，且 a<X 0<b , A . 2B . — 2C . 3D . — 3 6.若函数f(x) = x 3— 3x + a 有3个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( )
(— 2,2) B . [ — 2,2] C . ( —a, — 1) D . (1 ,+^ )
&函数f(x)= X3+ bx2+ cx+ d的大致图象如图K13 —3所示，则x1+ x?等于()
A 8厂 IO A~B. ~ 9 9 16 4 CgD.g 9.
函数f(x) = *ax 3 + *ax 2—
2ax + 2a + 1的图象经过四个象限，则实数 a 的取值范围是
12. 函数f(x)=怎的单调递增区间是 ——
13. _____________________ 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点P 是函数f(x) = e x (x>0)的图象上的动点，该图象 在P 处的切线I 交y 轴于点M ，过点P 作I 的垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐 标为t ,则t 的最大值是 _____ .
A
14. (10分)已知函数f(x) = ax 2
+ blnx 在x = 1处有极值 (1)求a , b 的值；
⑵判断函数y = f(x)的单调性并求出单调区间.
x
2
15. (13 分)已知函数 f(x) = a + x — xlna , a>1. (1)求证：函数f(x)在(0,+^ )上单调递增； ⑵对? X 1, ［ — 1,1］, |f(X 1)— f (x 2)|w e — 1 恒成立，求 a 的取值范围.
难点突破
1
16. (12 分)设函数 f(x) = x — x — alnx(a € R ).
(1)讨论f(x)的单调性；
⑵若f(x)有两个极值点X 1和X 2,记过点A(X 1, f(x”), B(X 2, f(X 2))的直线的斜率为k ,问: 是否存在a ,使得k = 2 — a ?若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.
课时作业(十三)A 【基础热身】 1. C ［解析］设 y = e x — 1 — x ,「. y '= e x —1,「. x>0 时，函数 y = e x — 1 — x 是递增的，x<0 时，函数y = e x — 1 — x 是递减的，••• x = 0时，y 有最小值y = 0.
2. C ［解析］导函数的图象为抛物线，其变号零点为函数的极值点，因此③④不正确.
2
3. D ［解析］f ' (x) = 12x — 2ax — 2b ,
T f(x)在x = 1处有极值，
• f ' (1) = 0,即卩 12 — 2a — 2b = 0,化简得 a + b = 6, •/ a>0 , b>0, • ab <
2
= 9,当且仅当a = b = 3时，ab 有最大值，最大值为
9,故选D.
1 一 x
— x + X 一 11X — 1
_
1
、
4.
A ［解析］设 f(x)= + ln x ,贝 V f ' (x) = 2 + 1 = -2~，当
x € 2， 1 j 时，
X
X
X X
—2 丿
f ' (x)<0,故函数f(x)在1, 1上单调递减，当x € (1,2］时，f ' (x)>0，故函数f(x)在［1,2］上单 调递增，• f(x)min = f(1) = 0,二a w 0,即a 的最大值为0.
【能力提升】
C . 10. 11
3
8
3
—5<a <16 B . — 5<a < —16 _ ；<a< -三 6 _ 16
3 D .一二 <a< — 5 16 5 16
函数f(x) = x 3— 3x 2 + 1在x = _________ 处取得极小值. 若x € ［0,2才，则函数y = sinx — xcosx 的单调递增区间是
5. D［解析］f' (x) = 3ax2+ b,由f'二尸3a 二丿2+ b = 0,可得ab=—3.故选 D.
6. A［解析］f' (x)= 3x2—3, f(x)极大=f(—1) = 2+ a, f(x)极小=f(1) = — 2 + a,函数f(x)有 3 个不同零点，贝U 2+ a>0，— 2 + a<0，因此一2<a<2.
7. B ［解析］F ' (x)= f ' (x)— g ' (x)= f ' (x)— f ' (x o ) ,••• F ' (x o )= f ' (x o ) — f ' (x o ) = 0,又 当x<x o 时，从图象上看，x 越接近于x o ,函数f(x)的纵坐标与g(x)的纵坐标的差越小，此时 函数F(x) = f(x) — g(x)为减函数，同理，当 x>x o 时，函数f(x)为增函数.
& C ［解析］从函数图象上可知 x i , X 2为函数f(x)的极值点，根据函数图象经过的三个特 殊点求出 b , c , d.根据函数图象得 d = o ,且 f( — 1) = — 1 + b — c = o , f(2) = 8+ 4b + 2c = o , 解得 b =— 1,c = — 2,故 f ' (x) = 3x 2— 2x — 2.根据韦达定理 x 2 + x 2=(X i + X 2)2 — 2x i x 2 = 4 + 4 = 9 3
16 9'
9.
D ［解析］f ' (x) = ax 2 + ax — 2a = a(x + 2)(x — 1)，要使函数 f(x)的图象经过四个象限， 则
f
(— 2)f(1)<0，即 +1 5a +1 <0，解得-|<a< —箱.
10. 2［解析］f ' (x)= 3x 2— 6x ,令 f ' (x) = o ，得冷=o ,X 2 = 2，当 x € ( — 3 o )时，f ' (x)>o ,
当 x € (0,2)时，f ' (x)<0,当 x € (2,+s )时，f ' (x)>0，显然当 x = 2 时 f(x)取极小值. y — ex o =— e — x o (x — x o ), • N(0, ex o + x o e — x o ), —1 1
…t = 2【(1 — x o )ex o + ex o + x o e — x o ］ = ex o + 2x o (e — x o — ex o )
1
t '= 2(ex o + e — x o )(1 — x o ),所以，t 在(0,1)上单调递增，在(1, +^ )上单调递减,
=1 , tmax = e + .
2
14. ［解答］(1)因为函数 f(x) = ax + blnx , 所以 f ' (x)= 2ax + b
. x
又函数f(x)在x = 1处有极值1,
1 2 1 f X + 1 / x _ 1
⑵由(1)可知 f(x) = 2X — Inx ,其定义域是(0, +3 )，且 f ' (x) = X — -= X
当X 变化时，f ' (x), f(x)的变化情况如下表：
X (0,1) 1
(1 , +3 ) f ' (X)
一
+ f(x)
极小值
所以函数y = f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,+3 ).
15. ［解答］(1)证明：f ' (x) = a 〕na + 2x — lna = 2x + (a x — 1)lna , 由于 a>1，故当 x € (0, +3 )时，Ina>0, a x — 1>0，所以 f ' (x)>0, 故函数f(x)在(0, +3 )上单调递增.
⑵由(1)可知，当 x € ( — 3, 0)时，f ' (x)<0 ,
11. ［0, n ［解析］y '= xsinx ，令 y ' >0，即 求的单调递增区间是［o , n .
( 2 n 2 n 12. 2k n —§, 2k n + 亍(k € Z )［解析］ 2cosx +食>0,即cosx> — 1,结合三角函数图象知道，
xsinx>0,得 0<x< n 又 x € ［0,2 n ，所以所 2+ cosx
的单调递增区间是
, (2 + cosx ”osx — sinx — si nx )
(x)
= (2 + cosxf
2 n 2 n
2k n — —<x<2k n+ y(k € Z ),即函数 f(x) 扇e +- 作I 的垂线，
］设 P(x o , ex o )，则 l : y — ex o = ex °(x — x o ), • M(0 , (1 — x o )ex o ),过点 P
x o
f
' 1 =0, 所以
丫 1
I"1
= 1.
2a + b = 0, 即 i
解得a = 2
b =— 1.
1
e
故函数f(x)在( — 8, 0)上单调递减.
所以，f(x)在区间［—1,0］上单调递减，在区间［0,1］上单调递增. 所以 f(x)min = f(0) = 1, f(X )max = max{ f( — 1) , f(1)},
1
f( — 1) = + 1 + lna , f(1) = a + 1 — Ina ,
a
1
f(1) — f(— 1)= a — — 21 na ,
a 1 1 2
记 g(x) = x ------ 2lnx , g ' (x)= 1 +「一_
x x x 1 1
所以 g(x)= x —-一 2lnx 递增，故 f(1) — f(— 1) = a — — 2lna>0,
x a
所以 f(1)>f (— 1)，于是 f(x)max = f(1) = a + 1 — In a , 故对？X 1,
［ —1,1］, |f(X 1) — f(x 2)|max =|f(1) —f(0)l = a — Ina ,
a — Ina < e — 1,所以 1<a < e. 【难点突破】
16. ［解答］(1)f(x)的定义域为(0，十^ ),
1 a x — ax +1
f ' (x) = 1 十 _2— = 2 ----- ,
X X X
令 g(x) = x 2— ax + 1，其判别式 △= a 2 — 4.
① 当|a|w 2时，A< 0, f ' (x)> 0,故f(x)在(0,十8 )上单调递增.
② 当a<— 2时，A >0, g(x) = 0的两根都小于 0,在(0,十^ )上，f ' (x)>0 ,故f(x)在(0 , 十^)上单调递增.
③ 当a>2时，A>0, g(x)的两根为 a — X 1 =
lnx 1 — lnx 2
又由(1)知，x 1x 2= 1.于是 k = 2— a -
X 1 — X 2
,, lnx t — lnx 2 右存在 a ，使得 k = 2 — a ，则 -- -=1•即 lnx 1 — lnx 2= X 1 — X 2.亦即
X 1 — X 2
1
X 2— - — 2lnx 2= 0(X 2>1)(*), 1 1
再由(1)知，函数h(t)= t —2lnt 在(0,十8)上单调递增，而X 2>1，所以X 2 — — 2lnx 2>1 t
X 2
1
—［―2ln1 = 0•这与(*)式矛盾.故不存在
a ，使得k = 2 — a.
a + a — 4 2 ，
当 0<X<X 1 时，f ' (x)>0 ；当 X 1<X<X 2 时，f ' (x)<0 ；当 X>X 2 时，f ' (x)>0 ,故 f(x)分别在(0, X 1), (X 2,+m )上单调递增，在(x 1 , x 2)上单调递减.
(2)由(1)知，a>2.
_
X1 — X 2
因为 f(x 1) — f(x 2) = (X 1 — X 2)+ --- — a(lnx 1— Inx ?)，所以
X 1X 2 f (X 1 — f (X 2 = 1 丄 X X 1— l nx 2
1 十 a
a 2— 4 2 ， X 2 =。