福建省泉州市永春县2021年秋九年级数学期末质量监测数学试卷含参考答案

2021年秋季九年级期末质量监测
数学试题
友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上．
学校： 姓名： 班级： 座位号： 一、选择题:本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是最符合题目要求的，请在答题卡的相应位置内作答. 1．若二次根式3-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A. 3x ≥ B. 3x < C. 0x > D. 3x ≤. 2．若
34b a =，则
a b
a b
-+的值是（ ） A ． 17- B ．1
7
C ．7-
D ．7.
3．下列事件为必然事件的是（ ）
A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B.抛一枚普通的硬币，正面朝上
C.太阳从东方升起
D.从一副扑克牌中任意抽出一张，花色是黑桃. 4．用配方法解方程2410x x -+=时，配方结果正确的是（ ）
A ．2
(2)1x +=- B ．2
(2)1x += C ．2(2)3x -=- D ．2
(2)3x -= 5.如果两个三角形相似且相似比9：16，那么这两个三角形对应边上的高的比是（ ） A ．81：256 B ．9：16 C ．3：4 D ．16：9 6．某商品经过两次降价，零售价降为原来的1
2
，若两次降价的百分率均为x ， 则列出方程正确的是（ ） A. 21(1)2x -=
B.21(12)2x -=
C.21(1)2
x += D.2
(1)2x -= 7．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点， DE=3，则BC 的长度是（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 8．下列选项正确的是（ ） A ．sin31cos311o o +< B ．sin31cos312o o +> C ．sin31cos311o o +=
D ．sin31cos311o o +>
9．如图，点C 在线段AB 上，且AC ＝3BC ，分别以AC 、BC 为 边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形BCFG ，连接 EC 、EG ，则sin ∠CEG ＝（ ）
A ．1：2
B ．1：10
C ．1：3
D ．1：3.
第7题图
第9题图
10．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ） ①若方程的两个根为-3和1，则032=+c b ； ②若02=+c a ，则方程必有两个不相等的实数根；
③无论c a b +=2或c a b 2+=，方程都有两个不相等的实数根；
④若2x m =方程的一个根，则式子2
2
2(2)b abm ac am b +-=+ 一定成立. 以上说法正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填写在答题卡的相应位置上. 11．计算：(21)(21)+-=_______． 12．一元二次方程2250x -=的根是_______．
13．已知某斜坡AB 的坡度i =3：1，则斜坡AB 的坡角α的大小为_______． 14. 如图，直线1l ∥2l ∥3l ，直线AC 分别交1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分
别交于1l 、2l 、3l 点D 、E 、F ，若AB=3，AC=8，DE=2，则DF=_______.
15.我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈， 葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何?（1丈=10尺）. 意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高 出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长 多少尺？答：芦苇长________尺.
16.已知，如图，OC ⊥OA ，AB ⊥OA ，OC=1，AB=3，P 是线段OA 上的一个动点，若在 线段OA 上只存在两个不同的点P ，使△OCP 与△ABP 相似，则OA 的长是____.
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案填写在答题卡的相应位置上. 17.（8分）计算：06
63(3)3
⨯-
+ |← 1丈 →| 第14题图 第16题图 第15题图
18.（8分）解方程： 22430x x --=
19.（8分）如图，△ABC 的三个顶点均在格点上，
且A （1，3） ，B （2，1） ，C （3，2） （1）把△ABC 以原点O 为位似中心，放大到
原来的2倍，画出位似图形△A 'B 'C '. （2）在（1）的条件下，直接写出线段A 'B '
的长度.
20.（8分）如图①是一栋新建的房屋，图②是房屋的侧面示意图，在地面上C 点
测得屋顶E 的仰角为30°，沿直线CB 方向走7米到达点D 时，又测得屋檐E 点的 仰角为60°，房屋的顶层横梁EF ∥CB ，屋顶到横梁的距离AG=3.5米，求房屋 的高AB （结果精确到1
≈1.4
1.7）
图① 图②
21.（8分）在一个不透明的布袋里装有4个小球，球面上分别标有数字0，1，2，3，
它们除数字外，没有任何区别，现将它们搅匀．
(1)随机地从袋中摸出1个小球，摸到的小球球面上数字为0的概率是多少？ (2)小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x ，再从剩下的3个小球中随机
取出一个小球，记下数字为y ．请你运用画树状图或列表的方法表示所有等 可能的结果，并求出满足条件2y x =-的概率．
22．(10分)水果店林阿姨以每斤3元的价格购进芦柑，若以每斤5元的价格出售，
每天可出售100斤．通过调查发现，芦柑的售价每降低0.1元，每天可多售 出20斤.林阿姨决定将芦柑每斤降低x 元销售．
(1)降价后每天可销售多少斤芦柑？(用含x 的代数式表示)；
(2)为保证每天盈利300元且至少售出250斤，需将每斤的售价降低多少元?
23.（10分）如图①是常态下的铁夹子,如图②是它的示意图，AC 、BC 表示铁夹的两边，
AC=BC ，点O 在∠ACB 的平分线上，OD ⊥AC 于点D ，AD=26mm ，DC=24mm ，OD=7mm . (1)求OC 的长度；
(2)连接BD 交CO 延长线于点E ，试求
DE
BE
的值.
图① 图②
A
B
C
D
E
O
24.(13分)如图1，正方形ABCD 边长为4，点P 是直线BC 上的一动点，连接DP ，
以DP 为边在直线DP 右侧作等边三角形DPE. (1)请直接写出正方形ABCD 的面积; (2)当BP 为何值时，点C 落在△DPE 的边上;
(3)如图2，若点P 在线段BC 上从B 向C 运动，当BP 为何值时，线段CE 的长度
最小？请求出CE 的最小值，并直接写出点E 所经过的路径的长度.
图2
E
B
A
E
25.（13分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 是斜边AB 的中点，过点P
作PQ ∥BC，且PQ ＝PC ，过点Q 作QG ⊥AB ，垂足为G ，连结AQ ，BQ ，CQ ． (1)求证：△ABC∽△QPG ；
(2)设△PQG 的面积为S 1，四边形BCPQ 的面积为S 2 ①当S 2＝
5
18
S 1时，求cos ∠ABC 的值； ②当S 2与S 1满足什么关系时Q 、G 、C 三点共线？请证明你的结论.
备用图
B
2021年秋季九年级期末检测数学参考答案
一、选择题:
1.A
2.B
3.C
4.D
5.B
6.A
7.C
8.D
9.B 10.C 二、填空题：
11.1 12.1x =5，2x =-5 13.60° 14.3
16
15.13 16. 4或32 （各2分） 16.设OA=a ，AP=t ， ①当△PAB ∽△POC 时∴
AB AP OC OP =
， ∴31a t t -=， ∴4
a
t =，此时必有一点P 满足条件； ②△BAP ∽△POC 时， ∴AB AP
OP OC =
， ∴31
a t t -=， ∴230t at -+=. ∵符合条件的点P 只有两个，
∴方程230t at -+=有两个相等实数根或有一个根是4
a
t = ∴0∆=，∴23a =±, ∵0a >, ∴23a =，
或0∆>， 将4
a
t =代入230t at -+=得：2()3044a a a -⨯+=,
∴216a =,∵0a >,∴4a = .
三、解答题：
17.解：原式=3221-+ …6分 =221+ …8分
18.解：3,4,2-=-==c b a ；
40)3(24)4(2=-⨯⨯--=∆； …2分 ∴,410
24±=
x ∴2102±=x …6分
∴21021+=x 2
1022-=x …8分
19.（1）解：如图△A 'B 'C '为所求； …6分
（2）52 …8分
20.解：过E 作EH ⊥CB 于H ，…1分 设EH ＝x ，
在Rt △EDH 中，∠EHD ＝90°，∠EDH ＝60°， ∠ECH ＝30°， ∴∠ECH=∠CED=30° ∴DE=DC=7， …4分
在Rt △EDH 中，∠EHD ＝90°，∠EDH ＝60°，
B'
A'
∵sin ∠EDH DE EH ==372
x =， 解得：x=
7
32
≈5.95， …6分 ∴AB ＝AG+BG ＝9.45≈9（米）， …7分 答：房屋的高AB 为9米． …8分 21.（1）;4
1
…3分
（2）用树状图表示所有等可能的结果：
…6分
共有12种等可能的情况，其中满足y=x-2的有2种，则P(y=x-2)=6
1
…8分 22.（本题10分）(1)100+200x …3分
(2) 依题意得：（5-3-x ）(100200)300x +=， …6分
整理得：22310x x -+=， 解得：10.5x =，21x = …8分
当x=0.5销售量为100+0.5×200=200<250斤，舍去， …8分 当x =1，销售量为100+1×200=300>250,符合题意， …9分 答： …10分
23.（本题10分）(1)解：∵OD ⊥AC ，∴∠ODC=90°. ∴2272425OC =+= …3分 (2)∵CE 平分∠ACB ∴∠1=∠2…5分
过点B 作BF ∥CD 交CE 延长线于点F ， 则∠2=∠F ，ΔBEF ∽ΔDEF …7分
∴∠1=∠F,BE BF
DE DC =
∴BF=BC=AC=26+24=50,…9分
又DC=24∴5025
2412
BE DE ==
…10分 24. (1)16…3分
(2)若点C 在DE 边上，PC=CDtan60°=43 ∴BP=434-…5分
若点C 在PE 边上，DC=4，∠DPC=60°， PC=
DC =34 ∴BP=4-3
4…7分 第一个球x 第二个球y
12332013
012
3102
若点C 在DP 边上，BP=BC=4.
综上BP 为434-,或4-
3
3
4或4…8分 (3)将DC 绕着点D 逆时针旋转60°得到DF, 连接EF,…9分 △DCP ≌△DFE(SAS),
∠DFE=∠DCP=90°EF ⊥DF,CP=FE
即点E 在经过点F 且垂直于直线DF 的线上运动， 当CE ⊥EF 时，CE 最小，…10分
△DCF 是等边三角形，CD=DF=DC=4,∠DFC=60° ∴∠EFC=30°CE=
1
2
CF=2,FE=23=CP …11分 ∴BP=4-23…12分
E 所经过的路线的长度是4.…13分 25. (1)∵PQ ∥BC，∴∠QPB=∠ABC ，…2分
又QG ⊥AB ，∴∠PGQ=∠ACB=90°，
∴△PGQ ∽△BCA …3分
(2)①∵ 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 是斜边AB 的中点 ∴ 1
2
CP AB =
=PQ ∵ △PGQ ∽△BCA
∴ 2
2
11
24PQG
ABC S PQ S AB ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
……5分
即ABC S ∆=4PQG S ∆=41S
∵ AP ＝BP ，∴ 1
2
BCP ABC S S ∆∆==21S ∵ S 2＝
185
S
1 ∴ 18
5
BCP PQG BQG PQG S S S S ∆∆∆∆++= 即 1111825
BQG S S S S ∆++= 整理得13
5
BQG S S ∆=即 P 35BQG QG S S ∆∆=……6分
∴
3
5
BG PG =……7分 设 BG ＝3a ，PG ＝5a ，则BP ＝8a ∵ PQ ＝CP ＝BP
∴ PQ ＝8a ……8分
在Rt △PQG 中，cos ∠QPG ＝55
88
PG a PQ a == ∵ ∠ABC ＝∠QPG ∴ cos ∠ABC 5
8
=
……9分 ②当S 2＝4S 1时Q 、G 、C 三点共线 ……10分 理由如下:
若S 2＝4S 1，由①知，11124BQG S S S S ∆++=， ∴1BQG S S ∆=即 P BQG QG S S ∆∆=，……11分 ∴BG ＝PG ，又QG ⊥AB 即QG ⊥BP
∴QB ＝QP ＝PC ＝PB ，∴△PQB 是等边三角形 ∴∠QPB ＝∠PBC ＝∠PCB =60° ∴△PBC 也是等边三角形 ∴QB ＝QP ＝ PC ＝CB ，
∴四边形BCPQ 是菱形，……12分 ∴QC ⊥BP 又QG ⊥BP ，
∴Q 、G 、C 三点共线.……13分。