天津市蓟县高三数学上学期期中试题 理(含解析)

2015-2016学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．函数的定义域为集合A，函数y=ln（2x+1）的定义域为集合B，则A∩B=( ) A．B．C．D．
2．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点可能落在下列哪个区间内( )
A．（0，1）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）
3．已知向量，，满足（+2）（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为( ) A．B．C．D．
4．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．D．y=cos2x
5．由直线y=x和曲线y=x3围成的封闭图形面积为( )
A．B．C．1 D．2
6．有四个关于三角函数的命题：p1：∃A∈R，+=；p2：∃A，B∈R，sin（A﹣
B）=sinA﹣sinB；p3：∀x∈[0，π]，=sinx，p4：sinx=cosy→x+y=其中假命
题是( )
A．P1，P4B．P2，P4C．P1，P3D．P2，P3
7．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2，都有
＞0成立，则实数a的取值范围是( )
A．（0，1）B．（0，）C．[，） D．[，1）
8．定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足的取值范围是( )
A．B．C．D．（﹣∞，3）
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．函数f（x）=sinωx•cosωx的最小正周期为2，则ω=__________．
10．已知x，y∈R+，x+y=1，则+的最小值为__________．
11．已知函数y=f（x）为R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2+2x﹣2x+1+a，则f（﹣1）=__________．
12．在极坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角α=，l的极坐标方程为
__________．
13．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为__________．
14．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段
BC和DC上，且=λ，=，则•当λ=__________时有最小值为__________．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．
（1）求AB的值；
（2）已知D为AB的中点，求线段CD的长．
16．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）
（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．
17．（13分）已知f（x）=sin（2x﹣），且f（a+）=﹣，＜α＜．（1）求cosα；
（2）求．
18．（13分）若函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，]的最大值为6．
（1）求常数m的值；
（2）求函数当x∈R时的最小值，并求出相应的x的取值集合；
（3）求该函数x∈[0，π]的单调增区间．
19．（14分）设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；
（3）证明：f（x）≤2x﹣2．
20．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x，设t＞﹣2，f（﹣2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；
（2）试判断m，n的大小并说明理由；
（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=，并确定这样的x0的个数．
2015-2016学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．函数的定义域为集合A，函数y=ln（2x+1）的定义域为集合B，则A∩B=( )
A．B．C．D．
【考点】交集及其运算；对数函数的定义域．
【专题】计算题．
【分析】根据负数没有平方根列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为集合A，根据负数和0没有对数列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为集合B，然后求出两集合的交集即可．
【解答】解：由函数有意义，得到1﹣2x≥0，
解得：x≤，所以集合A={x|x≤}；
由函数y=ln（2x+1）有意义，得到2x+1＞0，
解得：x＞﹣，所以集合B={x|x＞﹣}，
在数轴上画出两集合的解集，如图所示：
则A∩B=（﹣，]．
故选A
【点评】此题属于以函数的定义域为平台，考查了交集的运算．此类题往往借助数轴来计算，会收到意想不到的收获．
2．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点可能落在下列哪个区间内( )
A．（0，1）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题．
【分析】欲求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端点的乘积是否小于0，从而得到结论．
【解答】解：∵函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx
f（1）=1＞0，
f（2）=﹣ln2＜0
f（3）=1﹣ln3＜0，
f（4）=2﹣ln4＞0
f（5）=3﹣ln5＞0
∴f（1）f（2）＜0，f（3）f（4）＜0
∴函数的零点在（1，2），（3，4）上，
故选C．
【点评】本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．
3．已知向量，，满足（+2）（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为( )
A．B．C．D．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】利用向量的数量积公式，化简等式，即可求得与的夹角．
【解答】解：设与的夹角为θ
∵（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，
∴1+•﹣8=﹣6
∴•=1
∵•=||||cosθ
∴cosθ=，又∵θ∈[0，π]
∴θ=
故选B．
【点评】本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
4．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．D．y=cos2x
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】按照向左平移，再向上平移，推出函数的解析式，即可．
【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，
得到函数=cos2x的图象，
再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x，
故选A．
【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查图象变化，是基础题．
5．由直线y=x和曲线y=x3围成的封闭图形面积为( )
A．B．C．1 D．2
【考点】定积分在求面积中的应用．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数x3﹣x在区间[0，1]上的定积分的值的2倍，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．
【解答】解：∵曲线y=x3和曲线y=x
的交点为A（1，1）、原点O和B（﹣1，﹣1）
∴由定积分的几何意义，可得所求图形的面积为
S=2=2（）=2（）=
故选：B
【点评】本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．
6．有四个关于三角函数的命题：p1：∃A∈R，+=；p2：∃A，B∈R，sin（A﹣
B）=sinA﹣sinB；p3：∀x∈[0，π]，=sinx，p4：sinx=cosy→x+y=其中假命
题是( )
A．P1，P4B．P2，P4C．P1，P3D．P2，P3
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题．
【分析】判断特称命题为真只须举特例即可，判断全称命题为真，则需要严格证明，判断特称命题为假，须严格证明，而判断全称命题为假，只须举反例即可．
【解答】解：∵恒成立，∴命题p1为假命题
∵当A=0，B=0时，sin（A﹣B）=sinA﹣sinB，∴命题p2为真命题
∵==|sinx|，而x∈[0，π]，∴sinx≥0，∴=sinx∴命题p3为真命题
∵sin=cos0，而+0≠，∴命题p4为假命题
故应选A
【点评】本题考查了判断全称命题和特称命题真假的方法，解题时要准确把握命题特点，恰当判断
7．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2，都有
＞0成立，则实数a的取值范围是( )
A．（0，1）B．（0，）C．[，） D．[，1）
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据条件便有，从而得到f（x）在R上单调递减，这样
根据一次函数、对数函数及减函数的定义便可得到，这样解该不等式组便可得出实数a的取值范围．
【解答】解：根据条件知，f（x）在R上单调递减；
∴；
解得；
∴实数a的取值范围为[）．
故选：C．
【点评】考查减函数的定义，根据减函数的定义判断一个函数为减函数的方法，以及一次函数、对数函数及分段函数的单调性．
8．定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）
的图象如图所示，若两个正数a，b满足的取值范围是( )
A．B．C．D．（﹣∞，3）【考点】简单线性规划的应用；函数的单调性与导数的关系．
【专题】压轴题；图表型．
【分析】先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．
【解答】解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增
∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，
∴0＜2a+b＜4，∴b＜4﹣2a，0＜a＜2，画出可行域如图．
k=表示点Q（﹣1，﹣1）与点P（x，y）连线的斜率，
当P点在A（2，0）时，k最小，最小值为：；
当P点在B（0，4）时，k最大，最大值为：5．
取值范围是C．
故选C．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．函数f（x）=sinωx•cosωx的最小正周期为2，则ω=．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】计算题；函数思想；分析法；三角函数的图像与性质．
【分析】由二倍角公式化简函数解析式可得f（x）=sin2ωx，由周期公式即可解得ω的值．【解答】解：∵f（x）=sinωx•cosωx=sin2ωx，最小正周期为2，
∴2=，解得：ω=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，周期公式的应用，属于基础题．
10．已知x，y∈R+，x+y=1，则+的最小值为3．
【考点】基本不等式．
【专题】转化思想；不等式的解法及应用．
【分析】首先，将所给的条件代入，转化为基本不等式的结构形式，然后，利用基本不等式进行求解．
【解答】解：∵x，y∈R+，x+y=1，
∴+=+=++1≥2+1=3，
故答案为：3．
【点评】本题重点考查了基本不等式问题，考查等价转化思想的灵活运用，属于中档题．
11．已知函数y=f（x）为R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2+2x﹣2x+1+a，则f（﹣1）=﹣1．
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】利用函数的奇偶性，直接求解函数值即可．
【解答】解：函数y=f（x）为R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2+2x﹣2x+1+a，
可得f（0）=02+2×0﹣20+1+a=0，解得a=2．
x≥0时，f（x）=x2+2x﹣2x+1+2，
f（﹣1）=﹣f（1）=﹣[12+2﹣21+1+2]=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质的应用，考查计算能力．
12．在极坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角α=，l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】计算题；函数思想；分析法；坐标系和参数方程．
【分析】先把点的极坐标化为直角坐标，再求得直线方程的直角坐标方程，化为极坐标方程．
【解答】解：在直角坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角α=的直线的斜率为，
其直角坐标方程是y﹣1=（x﹣1），即x+y﹣+1=0，
其极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0，
故答案为：ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0，
【点评】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，求出直角坐标系中直线的方程是解题的关键．
13．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延
长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．
【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】计算题．
【分析】延长BO交⊙O与点C，我们根据已知中⊙O的半径为2，，∠AOB=90°，D为OB的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长．
【解答】解：延长BO交⊙O与点C，
由题设知：，
又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，
得
故答案为：
【点评】本题考查的知识是与圆有关的比例线段，其中延长B0交圆于另一点C，从而构造相交弦的模型是解答本题的关键．
14．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段
BC和DC上，且=λ，=，则•当λ=时有最小值为．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】综合题；转化思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值．
【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=2，
所以=（+）•（+），
=（+）（+），
=•+λ++•，
=4×2×cos60°+λ×2×2×cos60°+×4×2+×2×2×cos120°，
=+2λ+≥+2×2=，（当且仅当λ=时等号成立）．
故答案为：，．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．
（1）求AB的值；
（2）已知D为AB的中点，求线段CD的长．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】（1）根据正弦定理即可求值得解．
（2）根据余弦定理可求cosA，由D为AB边的中点，可求AD，根据余弦定理即可求得CD的值．
【解答】（本题满分13分）
解：（1）在△ABC中，根据正弦定理，，
于是．…
（2）在△ABC中，根据余弦定理，得，
∵D为AB边的中点，
∴AD=，
在△ACD中，由余弦定理有：
．…（13分）
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
16．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）
（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，
x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x）﹣0 +
f（x）极小
∴f（x）在x=1处取得极小值1；
（Ⅱ）h（x）=x+﹣alnx，
h′（x）=1﹣﹣=，
①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上，h′（x）＜0，
在（1+a，+∞）上，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+∞）递增；
②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上递增．
【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．
17．（13分）已知f（x）=sin（2x﹣），且f（a+）=﹣，＜α＜．（1）求cosα；
（2）求．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．
【分析】（1）直接利用函数值列出方程，求出，利用两角和与差的三角函数求解即可．
（2）求出正切函数值，化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）
．
∴，
∵，∴，
又∵，∴
∴
=…
（Ⅱ）同理（Ⅰ），，∴，，
∴原式=…（13分）
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
18．（13分）若函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，]的最大值为6．
（1）求常数m的值；
（2）求函数当x∈R时的最小值，并求出相应的x的取值集合；
（3）求该函数x∈[0，π]的单调增区间．
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；三角函数的最值．
【专题】计算题；函数思想；三角函数的图像与性质．
【分析】化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，
（1）利用已知条件求出相位的范围，然后求解m即可．
（2）求出函数的最小值，然后求解x的集合．
（3）利用正弦函数的单调区间求解函数的单调区间即可．
【解答】解：
（1）∵函数f（x）在区间上为增函数，在区间上为减函数，
∴在区间的最大值为=6，
∴解得m=3．
（2）（x∈R）的最小值为﹣2+4=2．
此时x的取值集合由，
解得：…
（3）函数设z=，函数f（x）=2sinz+4的单调增区间为
由，得，
设A=[0，π]
B={x|}，∴
∴，x∈[0，π]的增区间为：．…（13分）
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查计算能力．
19．（14分）设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；
（3）证明：f（x）≤2x﹣2．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】方程思想；构造法；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）求得函数的导数，由题意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；（2）求得导数，求得极值点，求出端点处的函数值，可得最值；
（3）构造函数g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，求出导数和单调区间，可得极值和最值，即可证得不等式．
【解答】解：（1）函数f（x）=x+ax2+blnx的导数为．
由已知条件得，
解得 a=﹣1，b=3．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）知f（x）=x﹣x2+3lnx．
令f′（x）=0解得．
x
+ 0 ﹣
f′
（x）
f（x）增减
当x=时，取得最大值；
当x=e时，取得最小值 f（e）=e﹣e2+3．
（3）设g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，
，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，
则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．
即有x=1处取得极大值，且为最大值0
故当x＞0时，g（x）≤0，
即f（x）≤2x﹣2．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查构造函数的思想方法证明不等式，属于中档题．
20．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x，设t＞﹣2，f（﹣2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；
（2）试判断m，n的大小并说明理由；
（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=，并确定这样的x0的个数．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【专题】综合题．
【分析】（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（Ⅱ）运用函数的极小值进行证明，
（Ⅲ）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定．
【解答】解：（1）因为f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x，
由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
要使函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，则﹣2＜t≤0，
（2）因为函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
所以f（x）在x=1处取得极小值e，
又f（﹣2）=13e﹣2＜e，
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值为f（﹣2），
从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），
即m＜n，
（3）证：∵，∴，
即为x02﹣x0=，
令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，
因为g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣
=，
所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，
当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，
当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1，
所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，
当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，
所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，
综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，
当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．
【点评】本题以函数为载体，考查利用导数确定函数的单调性，考查函数的极值，同时考查了方程解的个数问题，综合性强，尤其第（3）问能力要求比较高．。