均匀球体对质点的万有引力的计算及应用

均匀球体对质点的万有引⼒的计算及应⽤
均匀球体对质点的万有引⼒的计算及应⽤
湖州中学竺斌
⽜顿从开普勒定律出发，研究了许多不同物体间遵循同样规律的引⼒之后，进⼀步把这个规律推⼴到⾃然界中任意两个物体之间，于1687年正式发表了万有引⼒定律：
⾃然界中任何两个物体都是相互吸引的，引⼒的⼤⼩跟这两个物体的质量的乘积成正⽐，跟它们的距离的⼆次⽅成反⽐。

即：
2
r Mm
G
F =引①这⾥的两个物体指的是质点。

万有引⼒定律只给出了两个质点间的引⼒。

⽽对于⼀般不能看成质点的物体间的万有引⼒，需将物体分成许多⼩部分，使每⼀部分都可视为质点，根据①式求出物体1各⼩部分与物体2各⼩部分之间的引⼒，每个物体所受的引⼒就等于其各部分所受引⼒的⽮量和。

但是，若物体为球体，且密度均匀分布，他们之间的引⼒仍然可以⽤上式计算，其中r 表⽰两球球⼼的距离，引⼒沿两球球⼼的连线。

这⼀点在⾼中教材、教学参考书都没有给出证明，只是⽤简单的⼏句话带过。

我⽤两种⽅法来证明“对于质量分布均匀的球体，在计算万有引⼒时，可以把其看成质量都集中在球⼼的质点。

”并计算均匀球壳对其内部质点的引⼒和均匀球对其内部的引⼒，仅供⼤家参考。

⼀、有关引⼒的计算 1．⽤微积分法。

)1(．质点与均匀球体间的万有引⼒。

若质点质量为m ，与球⼼的距离为R 。

设球的半径
为a ，密度为v ρ，质量为33
4
a M v πρ?=。

建⽴如图所⽰的坐
标系。

根据对称性可知，球对质点的引⼒必沿z ⽅向，x ，y ⽅向上合⼒为0。

球上取⼀微元，坐标为（r, θ，φ）,其体积为
θθd d r d r s i n 2。

对质点的万有引⼒。

θ??
ρd drd rR R r r m G dF v cos 2sin 2
22-+= （R ＞a ）在z ⽅向上的分⼒为：
θραd drd rR R r r R r m G
dF dF v z 2
32
2
2)
cos 2(sin )cos (cos -+-=?=
O
φ (r,θ,φ)
dr d d rR R r r R r m G
F F v a z
θρππ
2
32
2
20
20
)
cos 2(sin )cos (-+-==?
合
2
2
2222
22020
2
32
2
220
cos 2cos 2(212)
cos 2(sin )cos (R
Mm G rR R r R r rR R r rR dr r Gm d rR R r r R dr r d Gm a v a v =-+-+-+?=-+-=??
π
π
π??πρ?
φθρ所以均匀球体对球外⼀点的万有引⼒好象球体的质量全部集中在球⼼⼀样。

那么两个均匀球体间的万有引⼒就可以分别把质量全部集中⾄各⾃球⼼，所以⽤公式计算时r 就是球⼼间距离。

)2(．均匀球壳与球壳内质点间的万有引⼒。

若质点的质量为m ，与球⼼距离为R ，球壳的密度为V ρ，
质量为()313
2
3
4R R M v -?=πρ，建⽴如图所⽰的坐标系。

由对称性可知，球对质点的引⼒必沿z ⽅向，x 、y ⽅向上合⼒为0。

ρd drd rR R r r m G dF v cos 2sin 2 22-+= ()a R < 在z ⽅向上的分⼒，θραd drd rR R r r R r m G
dF dF v z 2
32
2
2)
cos 2(sin )cos (cos -+-=?=
θρθρπ
π
ππ
d rR R r r R dr r d Gm dr
d d rR R r r R r m G
F F R R v v R R z
-+-=-+-==0
2
3
2
2
220
2
32
2
220
0)
cos 2(sin )cos ()
cos 2(sin )cos (21
21
合
cos 2cos 2(212021022222
222=-+-+-+?=?π
π
πρrR R r R r rR R r rR dr r Gm R R v 这就说明均匀球壳对球壳内质点的万有引⼒等于0。

2．⾼斯定理法
电学中⾼斯定理的表述：通过⼀个任意闭合曲⾯S 的电通量E Φ等于该⾯所包围的所有电荷电量的代数和∑i q 除以0ε。

即：
∑??=
=Φ内
S i
S
E q
dS E 0
1
cos εθ
通过2r Mm G
F =引与2
2
1041r q q F ?=πε库
对⽐，在⼒学中引⼊引⼒场强度引E ，2r M G E =引，则引引E m F ?=。

再引⼊引⼒通量引Φ，θcos S E ?=Φ引引，则类似的在引⼒场中的⾼斯定理有：∑??==Φ内
引引S i S
m G dS E πθ4cos
下⾯再⽤⾼斯定理来证明均匀球体（半径为R ）对质点的万有引⼒。

如果场点P （设OP=r ）在球外，由于球体质量均匀分布，则引⼒场强分布应具有球对称性。

在任何与均匀球同⼼的球⾯上各点的E 引⼤⼩均相等，⽅向沿半径向外呈辐射状。

根据引⼒场强的球对称性特点，取⾼斯⾯为通过P 点的同⼼球⾯，此球⾯上的引⼒场强E 引的⼤⼩处处和P 点相等，⽽cos θ处处等于1，通过此⾯的引⼒通量为：
引引引引E r dS E dS E S
S
24cos πθ===Φ
根据⾼斯定理GM m G S i ππ44==Φ∑内
引
r GM E =
引∴2
r
GMm
m E F =
=引引 (r>R) 如果场点P 在球内，则所有半径⼤于r=OP 的那些球壳对P 点的引⼒场强不起作⽤，只有半径等于r 的球对P 点的引⼒场强有贡献。

根据上⾯的结论有
2r
M G
E '
=引 3
33
333
43434R M r R
M r r M v ==?='ππρπ
∴3R
Mr
G
E =引∴3
R GMmr
m E F =
=引引（r
如图所⽰，O 点表⽰球⼼，地球质量为M ，设想地球内部有⼀条从地球表⾯A 开始到地⼼的直线通道AO ，⼀质量为m 物体从地球表⾯A 点沿直线
AO 运动到某点B ，B 到地⼼O 的距离为r 。

要计算物体在B 点的引⼒势能，就要计算物体从A 点运动到B 点万有引⼒做的功，物体从A 到B 运动，受到的万有引⼒是变⼒，⽽万有引⼒
3
R GMmr
F =
引，与到O 点的距离是线形关系，所以万有引⼒做功可以很⽅便的计算。

)(2
)(33r R R GMmr
R GMmR r R F W AB
-?+=-?=)(2223
r R R GMm -?=。

万有引⼒做功等于引⼒势能减少量，可得：pB pA AB E E W -=，其中R GMm E pA -
=，所以)3(22
r R R
GMm E pB --=。

例2．如图所⽰，设想在地球表⾯的A 、B 两地之间开凿⼀直通隧道，在A 处放置⼀⼩球，⼩球在地球引⼒的作⽤下从静⽌开始在隧道内运动，忽略⼀切摩擦，试证明⼩球在隧道内做简谐运动。

地球内部质量均匀分布，不考虑地球⾃转。

设地⼼到隧道的距离为d ，取隧道中点为坐标原点，当⼩球的位置⽮量为x 时，所受的引⼒⼤⼩为223d x R GMm F +?-
=，此⼒沿隧道⽅向的分⼒为222
23d
x x d x R GMm F +?+?-= x R GMm
-
=3。

所以⼩球在隧道内做简谐运动。

参考⽂献：1. 赵凯华、陈熙谋，电磁学（上册），⾼等教育出版社，1985.6 2. 沈晨，更⾼更妙的物理，浙江⼤学出版
社，2006.1。