高考数学文一轮：一课双测A+B精练四十空间几何体的结构特征及三视图和直观图109

高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图
1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )
A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④
2．有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )
5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )
A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋3
7．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1
，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2
①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆
8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．
10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．
11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？
12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出侧视图的面积．
1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )
A．23B．3C.3D．4
2．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面
ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平
面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为
2
2
.若M，N分别是线段DE，CE
上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．
3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．
(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；
(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；
(3)求该多面体的表面积．
[答题栏]
A级1._________2._________3._________4._________5
._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________
答案
高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)
A级
1．A2.A3.C4.B
5．选B由斜二测画法知B正确．
6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋1
2
×2×3＝4＋ 3.
7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.
答案：①②③
8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝53
3
.
答案：53
3
9.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.
答案：2＋22
10．解：图1几何体的三视图为：
图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，
侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，
OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，
∵OE ＝1
2BC ＝2，SO ＝3，
∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.
12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝
42－⎝ ⎛⎭
⎪⎫23×32×232
＝12＝23，
∴S △VBC ＝1
2
×23×23＝6.
B 级
1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.
2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于
3
2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝2
2，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝3
3，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此
时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.
答案：3
3．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：
(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.
∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.
(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a2
2
，
S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a2
2，
S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积
S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a2
8＝5a2.
全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷 考试时间：9月11日上午8：00～10：30
一、选择题：每题6分，满分36分
1、设函数)(x f 的定义域为R ，且对任意实数)2
,2(π
π-
∈x ，x x f 2sin )(tan =，则)sin 2(x f 的最大值为（ ）A 0 B
2
1 C 2
2 D 1
2、实数列}{n a 定义为,7,1,,3,2,1
291112
===++-=--a a n a a a a a n n
n n n 则5a 的值为（ ）
A 3
B 4
C 3或4
D 8
3、正四面体ABCD 的棱长为1，E 是△ABC 内一点，点E 到边AB,BC,CA 的距离之和为x ，点E 到平面DAB,DBC,DCA 的距离之和为y ，则2
2
y x +等于（ ）
A 1 B
26 C 35 D 12
7 4、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知
n
m
x =
50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 5、若2
6cos cos ,22sin sin =+=
+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A
22 B 23 C 2
6
D 1
6、P 为椭圆19
1622=+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆922=+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ∆的最小值为（ ） A
29 B 329 C 427 D 34
27 二、填空题：每小题9分，满分54分
7、实数z y x ,,满足,146,74,722
2
2
-=+-=+=+x z z y y x 则2
2
2
z y x ++＝.
8、设S 是集合｛1，2，…，15｝的一个非空子集，若正整数n 满足：S S n S n ∈+∈,，则称n 是子集S 的模范数，这里|S|表示集合S 中元素的个数。

对集合｛1，2，…，15｝的所有非空子集S ，模范数的个数之和为. 9、对于
12
1
≤≤x ，当25)21)(1()1(x x x --+取得最大值时，x ＝.
10、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有23
)
()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f .
11、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心.正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对称，
则这两个正四面体的公共部分的体积为. 12、在双曲线xy ＝1上，横坐标为
1+n n 的点为n A ，横坐标为n
n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为（1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x .
三、解答题：每小题20分，满分60分
13、如图，已知三角形ABC 的内心为I ，AC≠BC ，内切圆与边AB,BC,CA 分别相切于点D,E,F ，EF CI S =，连结CD 与内切圆的另一个交点为M ，过M 的切线交AB 的延长线于点G .求证： （1）CDI ∆∽DSI ∆；（2）CI GS ⊥ 14、设c b a ,,是正整数，关于x 的一元二次方程02
=++c bx ax 的两实数根的绝对值均小于
3
1
，求c b a ++的最小值. 15、设集合A 和B 都是由正整数组成的集合，|A|＝10，|B|＝9，并且集合A 满足如下条件：若
v
u y x A v u y x +=+∈,,,,，则}
,{},{v u y x =.
令
},|{B b A a b a B A ∈∈+=+
求证：|A+B|≥50. （|X|表示集合X 的元素个数） 全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷参考答案 1、D 由x x x f 2tan 1tan 2)(tan +=，知212)(x x x f +=，所以1sin 41sin 4)sin 2(2
≤+=x
x
x f ， 当2
1
sin =
x 时，等号成立.故)sin 2(x f 的最大值为1. 2、A 设1+=n n a b ，则112
1
21121,11-+---+=∴-=-=-n n n n n n n n n b b b b b b b b b ，
故4,165912
5===b b b b ，（4舍去）所以35=a .
3、D 点E 到边AB,BC,CA 的距离之和就是△ABC 的高，即为23，故2
3
=x ， 又DCA E DBC E DAB E ABCD V V V V ---++=，即
3213
1
313131y S y S y S h S DCA DBC DAB ABC ∆∆∆∆++=， 这里的h 是正四面体的高，321,,y y y 点E 到平面DAB,DBC,DCA 的距离，于是3
6
=
h ，
y y y y =++321，所以y 4331364331⋅=⋅⋅，36=y ，于是12
172
2=+y x
4、D 设10021x x x S +++= ，则S x k k x S x k k k =+--=2,，对k 求和得
S S 1002)10021(=++++ ，所以492525=
S ，于是98
75
25050=-=S x ，故m+n ＝173 5、B 把两个式子分别平方相加得0)cos(=-y x
把两个式子相乘得2
3
)cos sin cos (sin )cos sin cos (sin =
+++y y x x x y y x 所以23)cos()sin()sin(=-+++y x y x y x ，即2
3)sin(=+y x 6、C 设)2
,0(,)sin 3,cos 4(π
θθθ∈P ，则直线AB 的方程为9sin 3cos 4=+θθy x ，
故θθsin 3,cos 49==
ON OM ，4
27
2sin 42721≥
=⋅=∆θON OM S MON ， 当4
π
θ=，即点P 为)2
2
3,
22(时等号成立。

7、14
把三个式子相加得：0)2()1()3(2
2
2
=+++++z y x 即得
8、12
213⋅ 只要找出，对每个n 有多少集合，使得n 是模范数，再关于n 求和即可. 若n 是S 的一个模范数，S 含有k 个元素，则;2,,≥∴∈+∈k S k n S n 又n k -≤15.
S 的其他2-k 个元素有2
13-k C 种取法，故n 为模范数时，共有n C C C -+++1313113013 个. 当n ＝1，2，…，13，模范数的总数为12
131130131213C C C A +++= ，故
13
13
1311301313
13121321311312
13
113013213)(131312212132⋅=+++=++++++++=C C C C C C C C C C A
所以对集合｛1，2，…，15｝的所有非空子集S ，模范数的个数之和为12
213⋅ 9、
8
7 我们考虑2
5)]12()][1([)]1([--+x x x γβα的最大值，这里γ
βα,,是正整数，满足
)12()1()1(,045-=-=+=+-x x x γβαγβα，后者即
β
γγ
βαβαβ++=+-2，代入γαβ45+=得 ))(25(2)253(2022γαγαγααγ+-=-+=，取)5,30,2(),,(=γβα，由均值不等式得：
825)415()]12(5)][1(30[)]1(2[≤--+x x x ，当且仅当87
=x 时等号成立.
所以，2
5
)21)(1()1(x x x --+的最大值是22
5
72
53⋅. 10、39
取x ＝y ＝0，得3)0(2)0(=-=f f 或
若2)0(-=f ，令y ＝0，可得22
3
)(--
=x x f ，代入原式知不符合； 若3)0(=f ，解得3)(+=x x f ，代入检验知满足题意，所以39)36(=f
11、
21 若将ABCD 放在一个水平面上，易知其中心到点A 的距离是A 到底面距离的4
3
，所以反射的对称面是距离A 为A 到底面距离21的水平面.因此，它割A 点所在的小正四面体是原正四面体缩小2
1
.同
样，对B 、C 、D 三点处所切割的正四面体也是原正四面体的21
，当我们在原正四面体中切割掉这四个
小正四面体后，即得到两个正四面体的公共部分体积为2
1
)21(413=-。

.
12、10150200 易得)1
,1(),1,1(++++n n
n n B n n n n A n n ，所以1,-==k M B M A n n
故△M B A n n 是以n n B A 为底边的等腰三角形，且底边所在直线的斜率为－1.因为M 在直线y ＝x 上，所以底边的中垂线方程为y ＝x ，由此n n y x =
因为M A n 的中点为)21
2,2212(
n
n n n E +++，n n n n n n k M
A n 111
1
1
+-=-+-+= ，所以外心),(n n n y x P 在直线
)2
21
2(1212++-+=+-n n x n n n n y 上，由此得)111(212)1(212)1(2)12(2+-+=++=++=
n n n n n n n x n 于是101
50
200
)101110013121211(2120010021=-++-+-+
=+++ x x x . 13、证明（1）在直角三角形CEI 中，由射影定理可得：2
2
DI CI SI EI =⋅= 所以
DI
CI
SI DI =
，又DSI CID ∠=∠，故△CDI ∽△DSI. ……………………………… 10分 （2）因为D 、I 、M 、G 四点共圆，并且由（1）得∠ISD ＝∠IDC ＝∠IMD ，所以点S 在四边形DIMG 的外接圆上，故∠GSI ＝∠GMI ＝90°，即GS ⊥CI ……………………… 20分 14、解：设方程的两实数实数根为x1，x2，由韦达定理知，x1，x2均为负数，由
9
1
21<=x x a c ，得9>c a
，所以3619444222=⋅⋅>⋅=≥c c
a ac
b ，得,6>b 故7≥b .
又
323131)(21=+<+-=x x a b ，所以23>b a ，112
2123≥≥>b a …………………………… 5分 （1）当b ＝7时，由2
44b ac a ≤≤及11≥a 得，11=a 或12，c ＝1，但方程017112
=++x x 及
017122=++x x 的根不满足条件.……………………………… 10分
（2）当b ＝8时，由6442
=≤b ac 及11≥a 得，1,16,15,14,13,12,11==c a ，故由
3
12422-
>---=a ac b b x ，得
3
164a
a <
-+，易知
)16,15,14,13,12,11(4163)(=---=
a a a a f 为增函数，,03
4
)16()(>=≤f a f 而0)15(=f ，故16=a ，此时25=++c b a ，而方程018162=++x x 的两根满足条件。

………………………………
15分
（3）当9≥b 时，142
27
23≥≥>
b a ，于是24≥++
c b a ，若25<++c b a ，则只能1,9,14===c b a ，此时方程019142=++x x 的根不满足条件.终上所述，c b a ++的最小值是25.
15.证明：考虑一般的情形，设},,,{,,21k s s s B A n B m A =+==，
对任意的k i ≤≤1，设i s 有)(i f 种方式表示为b a +的形式，其中B b A a ∈∈,，即
,)()(2211i if i if i i i i i b a b a b a s +==+=+= 显然有mn k f f f =+++)()2()1( ………………… 5分
对任意的)(1i f t r ≤<≤，考虑集合},{it ir b b ，则有2
)(i f C 个这样的集合，对于,,,2,1k i =共有
2
)(2)2(2)1(k f f f C C C +++ 个集合，下面证明这些集合是两两不同的.若不然，则存在k j i ≤<≤1及
)(,t r B b b t r ≠∈，使得t r j t r i b y b v s b u b x s +=+=+=+=,，其中A v u y x ∈,,,，从而
v u y x +=+，由题设知，},{},{v u y x =.
若t r b b v y u x ===则,,，不可能；若i j s s u y v x ===则,,，也不可能。

从而
22)(2)2(2)1(n k f f f C C C C ≤+++ ………………… 10分
n n k f f f k f f f -≤+++-+++2222))()2()1(()))(())2(()1((( ，由柯西不等式
2222221
))()2()1((1)))(())2(()1(((n m k
k f f f k k f f f =+++≥
+++ ………………… 15分 所以,12
22n n mn n m k
-≤-即12-+≥n m n m k ，当m ＝10，n ＝9时，501910910012=-+⋅=-+≥
n m n m k . ……………………………………20分
高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．(·人大附中月考)设m＞0，则直线2(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为( )
A．相切B．相交
C．相切或相离D．相交或相切
2．(·福建高考)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )
A．25B．23
C.3D．1
3．(·安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1]B．[－1,3]
C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
4．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A.2
B.3
C．2D．3
5．(·兰州模拟)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为( )
A．(2＋1，＋∞) B．(2－1, 2＋1)
C．(0, 2－1) D．(0, 2＋1)
6．(·临沂模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A.2
B.21 2
C．22D．2
7．(·朝阳高三期末)设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是________．
8．(·东北三校联考)若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．
9．(·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．
10．(·福州调研)已知⊙M ：x2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．
(1)若|AB|＝42
3，求|MQ|及直线MQ 的方程；
(2)求证：直线AB 恒过定点．
11．已知以点C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．
(1)求证：△AOB 的面积为定值；
(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM|＝|ON|，求圆C 的方程． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x2＋y2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P(0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B.
(1)求k 的取值范围；
(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ ―→共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
1．已知两圆x2＋y2－10x －10y ＝0，x2＋y2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．
2．(·上海模拟)已知圆的方程为x2＋y2－6x －8y ＝0，a1，a2，…，a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a1，a2，…，a11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．
3.(·江西六校联考)已知抛物线C ：y2＝2px(p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π
3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、
B ，且|AO|＝|BO|＝2.
(1)求圆M 和抛物线C 的方程；
(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ―→,·PF ―→,的最小值；
(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．
[答 题 栏] A 级
1._________
2._________
3._________
4._________5
B 级
1.______
2.______
.__________6._________
7.__________8.__________9.__________
答 案
高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十八)
A 级
1．C2.B3.C4.C
5．选A 计算得圆心到直线l 的距离为
22
＝ 2＞1，如图．直线
l ：x －y －2＝0与圆相交，l1，l2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.
6．选D 圆心C(0,1)到l 的距离 d ＝
5k2＋1
，
所以四边形面积的最小值为
2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×1×d2－1＝2， 解得k2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.
7．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1， 即
|1－2m －1|1＋m2
＝1，解得m ＝±3
3.
答案：±
3
3
8．解析：由题意可知圆C ：x2＋y2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为2
4－⎝
⎛⎭
⎪⎫
c a2＋b22，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为2 3.
答案：23
9．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，
∴可设点P(x0，－x0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°， ∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x20＋
－x0＋22
2＝2，解得x0＝ 2.故点P 的坐标是( 2，2)．
答案：( 2， 2)
10．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP|＝22
3，又|AM|＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得
|MP|＝
12－89＝13
，
又∵|MQ|＝|MA|2
|MP|
，∴|MQ|＝3.
设Q(x,0)，而点M(0,2)，由x2＋22＝3，得x ＝±5， 则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．
从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.
(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以Q M 为直径的圆上，此圆的方程为x(x －q)＋y(y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为
qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，32. 11．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为 (x －t)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t2＋4t2， 化简得x2－2tx ＋y2－4
t y ＝0，
当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A(2t,0)； 当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ， 所以S △AOB ＝1
2|OA|·|OB|
＝12|2t|·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪4t ＝4为定值．
(2)∵|OM|＝|ON|，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ， ∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率 k ＝2
t t ＝2t2＝1
2，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，
∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，
由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.
12．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，
整理得(1＋k2)x2＋4(k －3)x ＋36＝0.①
直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，解得－34<k<0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34，0. (2)设A(x1，y1)、B(x2，y2) 则OA ＋OB ＝(x1＋x2，y1＋y2)， 由方程①得x1＋x2＝－
4
k －31＋k2
.②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③
因P(0,2)、Q(6,0)，PQ ＝(6，－2)，
所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式， 解得k ＝－3
4
.
而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k. B 级
1．解析：由两圆的方程x2＋y2－10x －10y ＝0，x2＋y2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝
25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230.
答案：2x ＋y －5＝0230
2．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－46
10
＝5－26
5
. 答案：5－265
3．解：(1)易得B(1，3)，A(－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a)2＋y2＝a2(a ＞0)，
将点B(1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y2＝4，因为点A(－1，－3)在准线l 上，所以p
2
＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y2＝4x.
(2)由(1)得，M(2,0)，F(1,0)，设点P(x ，y)，则PM ,＝(2－x ，－y)，PF ,＝(1－x ，－y)，又点P 在抛物线y2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x)(1－x)＋y2＝x2－3x ＋2＋4x ＝x2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2.
(3)证明：设点Q(－1，m)，则|QS|＝|QT|＝m2＋5，以Q 为圆心，m2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m)2＝m2＋5，即x2＋y2＋2x －2my －4＝0，①
又圆M 的方程为(x －2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x ＝0，② 由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，
显然直线ST 恒过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，0.。