导数的应用___解证等式及数列不等式

科
导数的几何意义
割线极限是切线 必须切点横坐标 知一有二基本功
一导本身是斜率 切点坐标及斜率 在即切点过待定
k
f / (x0 )
y0 x0
y1 x1
y0 kx0 b
P0 (x0 , y0 ) P1 (x1 , y1 )
y0 f (x0 )
二导意义是曲率 大凹小凸○拐点
导数法判定单调性
例3.求证: 1 cos x 2sin 2 x 2
析:构造辅助函数 f (x) 1 cos x 2sin 2 x 2
则 f / (x) sin x 4sin x cos x 1 0 2 22
所以 f(x) 是常值函数 ,又因 f(0)=0
即 1 cos x 2sin 2 x 2
法2：若 f /(x) = g /(x) ，则 f(x) = g(x)+C
（1）用 a 表ln示(出n b，1)c；（12）(若1 f x1≥ln x在11), 上1恒成立，求 a 的取值范围
2 23
n 2(n 1)
（3）证明即：
1
1 2
1 3
…
1 n
ln
n
1
2
n n
Hale Waihona Puke 1（n≥1
）
作业：
1.用导数法证明：1 cos x 2 cos2 x
2
2.已知n∈N*，n≥2，求证：
f
x
ax
b x
c的（图a 象 0
）的
在点方(1程,f为(1y))处x 的1 切线方程为 y = x-1
(Ⅰ)用 a 表示出 b, c
（(Ⅱ1）)若用fa(表x)示≥l出nxb在，[cbx1；,（+2∞）)若上f恒 x成≥立ln，x 求在a1的, 取 值上恒范成围立，求
（(Ⅲ3）)证证明明：：1
1 2
1 3
…
1 n
ln
n
1
2
n
n 1
（
n≥1
）
解： (Ⅰ) 因
f
/
(x)
a
b x2
f (1) a b c 0
则
f / (1) a b 1
解得 b a 1 c 1 2a
(7)(2010年湖北)已知函数
的图象
在点(1,f(1))处的切线方程为 y = x-1
(Ⅱ)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范围
§224 导数的应用——解证等式及数列不等式
一、导数法解证等式：
法1：若 f(x) = g(x)，则 f /(x) = g /(x) 法2：若 f /(x) = g /(x) ，则 f(x) = g(x)+C
二、导数法解证数列不等式：
近几年高考题的主要特征是： 1.①用导数法解证给出的“半成品”辅助函数
析1:从结构特征观察：符合二项式定理的某些特征
二项式定理
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnra b nr r Cnnbn ( )n Cn0n Cn1n1 Cnrnrr Cnnn
前项后项“+”相连 展开共有n + 1 三块组成每一项 前降后升和为n 析2:所以，可选辅助函数：
§224 导数的应用——解证等式及数列不等式
一、导数法解证等式：
法1：若 f(x) = g(x)，则 f /(x) = g /(x) 法2：若 f /(x) = g /(x) ，则 f(x) = g(x)+C
二、导数法解证数列不等式：
近几年高考题的主要特征是： 1.①用导数法解证给出的“半成品”辅助函数
1 ln 4 33
……
将上述各式迭加得
1 ln n 1 nn
1 1 1 1 ln( 2 3 4 n 1) ln( n 1)
23
n 123
n
(6)已知n∈N*，求证：1 2 3 n n ln( n 1)
234
n 1
证明：令
x
k 1 k
，由
ln
x
x
1
得
k
k 1
1
ln
k k 1
n
1
2
n
n 1
（
n≥1
）
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当 a 1 时 ，1 (x 1) ln x 在(1,+∞)上恒成立
例 10．（令令方2程0x1k为0 湖kyk南11x理,212,则13）,l已n2知k,k函n1数，2f12将x(1k所xa得xk1nbx个1)c不（等a 式0 ）迭的加图得像在点 1, f
令 k 1,2,3, , n ，将所得n个不等式迭加得
1 2 3 n n ln( 1 2 3 n ) ln( n 1)
234
n 1
2 3 4 n1
整理得 1 2 3 n n ln( n 1)
234
n 1
(7)(例201100．（年2湖01北0 湖)已南知理 函21数）已知函数
当x∈Domain时，解 f (x) 0 得f(x)在I1， I2…上↘
极值的求法
一、形法： 顶点即是极值点 谷底极小峰极大
二、数法：
1.一导法求极值：
一求驻点二单调 三写极值靠图象 书写格式要简明 含参反用须验根
2.二导法求极值：
一求驻点二筛选 大小小大○为非
一般地，若 f / (x0 ) 0 则
x x2 1 x 1
x 1
x2 x
③令 x k 1, x k , k k 1
(5)已知n∈N*，求证：1 1 1 1 ln( n 1)
23
n
证明：令 x k 1
k
，由 ln x x 1
得 1 ln k 1
kk
令 k 1,2,3, , n ，则 1 ln 2
1
1 ln 3 22
第一确定定义域 三解不等得结论
②
注1：最终结果要显然
第二求导到显然 ①
书写格式要简明 ③
乘积配方与○比
注2：增大减小○驻点 等号问题待大学 含参反用必须等 其他情况暂忽略
注3：书写格式要简明
①当f(x) 单调时
因 f (x) 0 在Domain上恒成立
故f(x)在Domain上↗（↘） ②当f(x) 不单调时 当x∈Domain时，解 f (x) 0 得f(x)在I1， I2…上↗
解：(Ⅱ)由 (Ⅰ)得 f (x) ax a 1 1 2a
x ⅰ:当x=1时，易得对任意的a∈R， f(x)≥lnx成立
ⅱ:当x ＞1时， f(x)≥lnx在(1,+∞)上恒成立
等价于
a
x ln x x 1 (x 1)2
在(1,+∞)上恒成立
而 x 1 时,
x ln x x 1 (x 1)2
2.“半成品”辅助函数多数是 1 1 ln x x 1 的衍变
①当x∈(0,1)时,
x
1 1 1 (x 1) x2 x
x
1 ln x
x
4(
x 1) 2(x 1) x 1 x 1
2(x 1) x 1
x2 1
②当x∈(1,+∞)时,
1 1 2(x 1) 2(x 1) 4( x 1) ln x x 1 1 (x 1) x 1
1 2
,故有必要条件 a 1 2
下证充分性：当 a 1 且x＞1时，f(x)≥lnx 恒成立 2
(7)(2010年湖北)已知函数
的图象
在点(1,f(1))处的切线方程为 y = x-1
(Ⅱ)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范围
(Ⅱ) ……已由端点效应猜得，必要条件：a 1 2
1 1 1 ln n 1 1 1 1
23
n
23
n 1
（提示：1 1 ln x x 1 中，令 x k )
x
k 1
预习：
定积分的概念，几何意义及其运算
① f // (x0 ) 0
f(x0)是极小值
② f // (x0 ) 0
f(x0)是极大值
③ f // (x0 ) 0
f(x0)是非极值
最值的求法
1.形法
函数图象
必有最值闭且连 最值来源顶端点
线性规划
2.数法
函数法(单调性法) 最值定理
导数法——单调性法的特例
看图说话是关键 最值来源顶端点 一论单调算顶端 三写最值是格式 能代则代罗比达 是则名为筛选法
f (x) (1 x)n ， g(x) Cn0 Cn1x Cn2x2 Cnn xn
例2：已知n∈N*,求证：
Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn n • 2n1 解:设 f (x) (1 x)n , g(x) Cn0 Cn1x Cn2x2 Cnn xn
则 f / (x) n(1 x)n1
又因 f(0)=(b+c)bc - (b+c)bc=0 ，故 f(a) =0
即 (a+b+c)(ab+bc+ca)- abc = (a+b)(b+c)(c+a)
二、导数法解证数列不等式：
近几年高考题的主要特征是：
1.①用导数法解证给出的“半成品”辅助函数
②对此“半成品”辅助函数作一简单的变形
③结合对数及数列知识从而解得目标不等式
1 x
则 f / (x) 1 2x 3x2 nxn1
g
/
(x)
nxn1
(n (1
1)xn x)2
1
又因 Sn=2f /(2)，而f /(2)=g /(2) ，故 Sn=2 g /(2)
化简得 Sn (n 1) 2n1 2
例2：已知n∈N*,求证：
Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn n • 2n1
例4.求证:(a+b+c)(ab+bc+ca)- abc = (a+b)(b+c)(c+a) 析1：对多变量等式，可固定其中一个变量为主元
视其他变量为参量，然后解证之
析2:视a主元，构造辅助函数 f(a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)- abc - (a+b)(b+c)(c+a) 则
所以 f(a) 是常值函数
设 g(x) f (x) ln x ax a 1 1 2a ln x
x
而
g/ (x) (x 1)(ax 1)
x2
＞0，当 a 1 且x＞1时恒成立 2
故 g(x)在(1,+∞)上↗
故 g(x)＞ g(0)=0 在(1,+∞)上恒成立
综上 a 1 2
例 10．（2010 湖南理 21）已知函数 f x ax c （ a 0 ）的图像在
②对此“半成品”辅助函数作一简单的变形 ③结合对数及数列知识从而解得目标不等式
2.“半成品”辅助函数，大多数是
不等式 1 1 ln x x 1 的衍变 x
导数概述
导
①求切线斜率 ②判定单调性
数 ③求极值 ④求最值
数 学 概求应
⑤堪根 ⑥解证不等式 ⑦证等式……
念导用
其 他 学
积 ⑧曲边梯形面积 分 ⑨数列求和
②对此“半成品”辅助函数作一简单的变形 ③结合对数及数列知识从而解得目标不等式
2.“半成品”辅助函数，大多数是
不等式 1 1 ln x x 1 的衍变 x
一、导数法解证等式：
法1：若 f(x) = g(x)，则 f /(x) = g /(x)
例1：求数列 {n 2n} 的前n项和Sn
解：设 f (x) x x2 x3 xn , g(x) x(1 xn )
(7)(2010年湖北)已知函数
x
的图象
方程为 y x 1
在点(1,f(1))处的切线方程为 y = x-1
(Ⅱ（)1）若用f(ax表)≥示ln出x在b，[c1；,（+2∞）若)上f 恒 x成≥l立n x，在求1, 得 上a恒成1立，求 a 的取 2
(Ⅲ（)3）证证明明：：
1
1 2
1 3
…
1 n
ln
g / (x) Cn1 2Cn2x 3Cn3x2 nCnnxn1
因 f (x)= g(x) ，故 f /(x)= g /(x)
所以 f /(1)= g /(1)
即 Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn n • 2n1
一、导数法解证等式：
法1：若 f(x) = g(x)，则 f /(x) = g /(x) 法2：若 f /(x) = g /(x) ，则 f(x) = g(x)+C