高三数学一轮复习 第1课时知能演练轻松闯关 选修41 试题

2021年高三数学一轮复习 选修4-1第1课时知能演练轻松闯关 新人教版
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

一、填空题
1.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，那么AD 的长为________．
解析：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴AC 2
＝AB ·AD .
设AD ＝x ，那么AB ＝x ＋5，又AC ＝6， ∴62
＝x (x ＋5)，即x 2
＋5x －36＝0. 解得x ＝4或者x ＝－9(舍去)， ∴AD ＝4. 答案：4
2．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，假设AE EB ＝3
4，那么
EF 的长为________．
解析：如下图，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴PA PB ＝AD BC ＝25，∴PA AB ＝23，又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴
PA
AE
＝
149，∴PA PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝PA PE ＝14
23
，又AD ＝2， ∴EF ＝23
7.
答案：237
3.(2021·高考卷)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，那么BE ＝________.
解析：∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°， ∴CD 2
＝AD 2
－AC 2
＝128， ∴CD ＝8 2.
又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ， ∴△ABE ∽△ADC ， ∴
AB AD ＝BE
CD
， ∴BE ＝
AB ·CD AD ＝6×82
12
＝4 2. 答案：4 2
4．在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，那么DE ＝________. 解析：由勾股定理得：
BC ＝AB 2＋AC 2
＝5，
由射影定理得：
CD ＝AC 2BC ＝9
5，由三角形面积相等得：
AD ＝AB ·AC BC ＝125，又由三角形面积相等得：
DE ＝AD ·DC AC ＝3625
.
答案：3625
5.(2021·高考卷)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a
2，点E ，F 分别为线
段AB ，AD 的中点，那么EF ＝________.
解析：连接DE (图略)，由于E 是AB 的中点， 故BE ＝a 2，又CD ＝a
2
，
AB ∥DC ，CB ⊥AB ，∴四边形EBCD 是矩形．
在Rt △ADE 中，AD ＝a ，F 是AD 的中点，故EF ＝a
2.
答案：a
2
6.如图，在梯形ABCD 中，上底长为2，下底长为6，高为4，对角线AC 和BD 相交于点P .
(1)假设AP 的长为4，那么PC ＝________； (2)△ABP 和△CDP 高的比为________． 解析：(1)∵AB ∥CD ， ∴△APB ∽△CPD ， ∴
AP CP ＝AB CD
， 即
4
CP ＝2
6，解得PC ＝12. (2)由(1)及△ABP 和△CDP 的高的比等于它们的相似比，得这两个三角形的高的比为1∶3. 答案：(1)12 (2)1∶3 二、解答题
7.如图，D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，假设BG ∶GA ＝3∶1，BC
＝8，求AE的长．
解：∵AE∥BC，D为AC的中点，∴AE＝CF，
AE BF ＝
AG
BG
＝
1
3
，设AE＝x，又BC＝8，
∴
x
x＋8
＝
1
3
，3x＝x＋8，∴x＝4.∴AE＝4.
8.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：AE·AB＝AF·AC.
证明：∵AD⊥BC，
∴△ADB为直角三角形，
又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB.
同理可得AD2＝AF·AC，
∴AE·AB＝AF·AC.
9.如下图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后挪动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他间隔该塔18 m．小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.
(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
(2)求古塔的高度．
解：(1)△ABC∽△ADE，
∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°.
∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ADE . (2)由(1)，得△ABC ∽△ADE . ∴
AC AE ＝BC DE
. ∵AC ＝2 m ，AE ＝2＋18＝20(m)，BC ＝1.6 m. 2
20
＝,DE )，∴DE ＝16 m. 即古塔的高度为16 m.
10.如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AD AC ＝1
3
，AE ＝BE ，求证：△AED ∽△CBD .
证明：∵三角形ABC 是正三角形， ∴AB ＝BC ＝AC ， ∴
AE AB ＝AE BC ＝12， ∵
AD AC ＝13，∴AD CD ＝12. ∴
AD CD ＝AE BC
. 又∵∠A ＝∠C ＝60°， ∴△AED ∽△CBD .
11.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 的延长线交AC 、CF 于E 、F 两点，求证：PB 2
＝PE ·PF .
证明：如图，连接PC . 易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP .
∵CF ∥AB ， ∴∠F ＝∠ABP . 从而∠F ＝∠ACP .
又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公一共角， 从而△CPE ∽△FPC ，∴CP FP ＝
PE
PC
.
∴PC 2
＝PE ·PF .又PC ＝PB ， ∴PB 2
＝PE ·PF ，命题得证．
12.如下图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC
.
证明：由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DF AF ＝
BD
AB .①
在△ABC 中，AE EC ＝
AB
BC
，②
在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2
＝BD ·BC ， 即
BD AB ＝AB BC
.③ 由①③得：DF AF ＝AB BC ，④
由②④得：DF AF ＝AE EC
.
13.如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝10 cm ，腰AC 上的高BE ＝12 cm.
(1)求证：AB BD ＝5
3
；
(2)求△ABC 的周长．
解：(1)证明：在△ADC 和△BEC 中， ∵∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△ADC ∽△BEC ， ∴
AC BC ＝AD BE ＝1012＝56
. ∵AD 是等腰三角形ABC 底边BC 的高线， ∴BC ＝2BD ，又AB ＝AC ， ∴AC BC ＝AB 2BD ＝56，∴AB BD ＝53
.
(2)设BD ＝x ，那么AB ＝5
3x ，
在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°， 根据勾股定理，得AB 2
＝BD 2
＋AD 2
， ∴(53x )2＝x 2＋102
， 解得x ＝7.5. ∴BC ＝2x ＝15，
AB ＝AC ＝5
3
x ＝12.5，
∴△ABC 的周长为40 cm.
14.如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠
C .
(1)求证：△ABF ∽△EAD ；
(2)假设AB ＝4，∠1＝30°，AD ＝3，求BF 的长． 解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2. 又∵∠BFE ＝∠C ，∠BFE ＋∠BFA ＝∠C ＋∠D ， ∴∠BFA ＝∠D . ∴△ABF ∽△EAD .
(2)∵AE ＝4sin60°＝8 3
3，
又
BF AD ＝AB AE
， ∴BF ＝AB AE ·AD ＝3 32
.
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。