数值分析复习题及答案

数值分析复习题
一、选择题
１． ３．１42和3．141分别作为π的近似数具有（ )和( ）位有效数字. A.4和3 Ｂ．3和2 C ．3和4 D ．4和4
2. 已知求积公式
()()2
1
121
1()(2)636f x dx f Af f ≈
++⎰
,则A =（ ）
A. 16 B ．13 C ．12 D.2
3
3． 通过点
()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ )
Ａ.
()
00l x ＝０，
()110
l x = B.
()
00l x ＝０，
()111
l x =
Ｃ.
()
00l x ＝１,
()111
l x = Ｄ．
()
00l x =１,
()111
l x =
4. 设求方程
()0
f x =的根的牛顿法收敛,则它具有（ )敛速。

A.超线性 B ．平方 Ｃ．线性 D ．三次
５． 用列主元消元法解线性方程组12312312
20223332
x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ).
Ａ.232
x x -+= Ｂ．232 1.5 3.5
x x -+= C ．2323
x x -+= Ｄ．230.5 1.5
x x -=-
二、填空
１. 设 2.3149541...x *
=，取５位有效数字，则所得的近似值ｘ= .
２.设一阶差商
()()()211221
14
,321f x f x f x x x x --=
=
=---,
()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--
则二阶差商
()123,,______
f x x x =
3. 设(2,3,1)T
X =--， 则2||||X = ,=∞||||X 。

4．求方程 2
1.250x x --= 的近似根,用迭代公式 1.25x x =
+，取初始值 01x =, 那么
1______x =。

ﻫ5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨
=⎩近似解的梯形公式是 1______k y +≈。

6、
1151A ⎛⎫
= ⎪
-⎝⎭,则A 的谱半径 = 。

7、设
2()35, , 0,1,2,... ,
k f x x x kh k =+== ，则
[]12,,n n n f x x x ++=
和
[]123,,,n n n n f x x x x +++=。

８、若线性代数方程组ＡX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。

９、解常微分方程初值问题的欧拉(Ｅul ｅｒ）方法的局部截断误差为 。

10ﻫ、为了使计算
23123101(1)(1)y x x x =+
+-
---的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。

11. 设T
X )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .ﻫ12. 一阶均差()01,f x x =
ﻫ1３. 已知3n =时,
科茨系数
()()()
33301213,88C C C ===,那么()
33C = 14. 因为方程
()420
x f x x =-+=在区间
[]1,2上满足
,所以
()0
f x =在区间内有根。

１5． 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题
()211y
y y
x y ⎧'=+⎪⎨
⎪=⎩
的计算公式 .
1６．设*
2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值,则*
x 有 位有效数字。

１7． 对1)(3
++=x x x f , 差商=]3,2,1,0[f ( )。

１8. 设(2,3,7)T
X =-, 则||||X ∞= 。

1９.牛顿—柯特斯求积公式的系数和()
n
n k
k C
==
∑ 。

20． 若ａ＝２.４23１5是２.4２247的近似值,则a 有( )位有效数字.
21. )(,),(),(10x l x l x l n 是以n ,,1,0 为插值节点的Lagr ａng ｅ插值基函数，则=
∑=n
i i x il 0
)(( ).
22. 设f （x )可微,则求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ).
23. 迭代公式
f BX X k k +=+)
()1(收敛的充要条件是 。

24. 解线性方程组A ｘ=b (其中A 非奇异，b 不为0) 的迭代格式f x x
+=+)()
1(k k B 中的B 称为( ). 给定
方程组⎩⎨
⎧-=-=-458921
21x x x x ,解此方程组的雅可比迭代格式为（
)。

25、数值计算中主要研究的误差有 和 。

26、设
()(0,1,2
)
j l x j n =是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数,则
()j i l x =
(,0,1,2)i j n =;
()n
j j l x ==
∑ 。

2７、设
()(0,1,2
)
j l x j n =是区间[,]a b 上的一组n 次插值基函数。

则插值型求积公式的代数精度为 ；插值
型求积公式中求积系数
j A =
;且
n
j
j A
==
∑ 。

２8、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式为 。

29、
2
()1,f x x =+则[1,2,3]_________,[1,2,3,4]_________f f ==。

３0.设x * = １.２3４是真值x = 1.２344５的近似值,则x *有 位有效数字。

３1.
3()1,[0,1,2,3]f x x x f =+-=设 则差商(均差) ，[0,1,2,3,4]f = 。

3２．求方程
()x f x =根的牛顿迭代格式是 。

３ 3.已知
1234A ⎛⎫= ⎪
⎝⎭,则A ∞= , 1A = 。

3４． 方程求根的二分法的局限性是 。

三、计算题
1.设 3
2
01219
(), , 1, 44f x x x x x ====ﻫ(１)试求 ()f x 在 19,44⎡⎤⎢⎥⎣
⎦上的三次Ｈe ｒｍｉte 插值多项式()x H 使满足
''11()(), 0,1,2,... ()()j j H x f x j H x f x ===,
()
x H 以升幂形式给出。

ﻫ（2）写出余项 ()()()
R x f x H x =-的表达式
２.已知 的 满足 ,试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ,使
0,1…收敛?
３． 推导常微分方程的初值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩的数值解公式：'''1111(4)3n n n n n h y y y y y +-+-=+++
(提示: 利用Si ｍpson 求积公式。

)
4. 利用矩阵的ＬU 分解法解方程 组 123123123
2314252183520
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
5． 已知函数
21
1y x =
+的一组数据：
求分段线性插值函数，并计算
()
1.5f 的近似值．
6． 已知线性方程组123123123
1027.21028.35 4.2
x x x x x x x x x --=⎧⎪
-+-=⎨⎪--+=⎩（1）写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式；（2）于初始值
()()
0,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式分别计算()
1X
（保留小数点后五位数字).
7. 用牛顿法求方程3310x x --=在
[]1,2之间的近似根 (1）请指出为什么初值应取2?（2）请用牛顿法求出近似根,精确到0.000１.
８． 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分1
011dx x +⎰.
９．用二次拉格朗日插值多项式2()sin 0.34
L x 计算的值。

ﻫ插值节点和相应的函数值是(0,０),(０.30,０.２9５5),（0.
４0,0.3８９4）。

10.用二分法求方程
3
()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间内的一个根,误差限210ε-=。

11.用高斯－塞德尔方法解方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++2252182411
24321321321x x x x x x x x x ,取T
)0,0,0()0(=x ，迭代三次(要求按五位有效数字计
算)．。

12.求系数
123,,A A A 和使求积公式
1
1231
11
()(1)()()233f x dx A f A f A f -≈-+-+≤⎰对于次数的一切多项式都精确成立
１3. 对方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=--=++8
4102541015
1023321321321x x x x x x x x x 试建立一种收敛的Seidel 迭代公式,说明理由
１4. 确定求积公式
)
5.0()()5.0()(11
1
Cf x Bf Af dx x f ++-≈⎰
- 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代
数精度.
1５. 设初值问题 1
01
)0(23<<⎩⎨
⎧=+='x y y x y . （1) 写出用Ｅｕler 方法、步长h ＝０.1解上述初值问题数值解
的公式;
(２)写出用改进的E ｕle ｒ法（梯形法)、步长h =0.2解上述初值问题数值解的公式,并求解21,y y ,保留两位小数。

１
６. 取节点1,5.0,0210===x x x ，求函数x
e y -=在区间]1,0[上的二次插值多项式)(2x P ,并估计误差。

1７、已知函数()y f x =的相关数据
由牛顿插值公式求三次插值多项式3()P x ，并计算13()2P =的近似值。

1８、利用尤拉公式求解初值问题，其中步长0.1h =，1,(0,0.6)
(0) 1.y y x x y '=-++⎧∈⎨
=⎩。

19．确定求积公式012()()(0)()
h
h
f x dx A f h A f A f h -≈-++⎰。

中待定参数
i
A 的值(0,1,2)i =，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度
2０、已知一组试验数据如下 ：
求它的拟合曲线(直线)。

用列主元消去法解线性方程组123123123
2346,3525,433032.
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩22． 已知
(1）用拉格朗日插法求()f x 的三次插值多项式;(2)求x , 使()0f x =。

确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度
２4、用Gau ｓs 消去法求解下列方程组
. 试求12, x x 使求积公式1
1211
()[(1)2()3()]3f x f f x f x -≈-++⎰的代数精度尽量高，并求其代数精度。

. 取步长
h =0．2, 用梯形法解常微分方程初值问题 '25 (12)(1)1y x y
x y =-⎧≤≤⎨
=⎩
． 用列主元消去法求解方程组123123123
1233151833156
x x x x x x x x x -+=⎧⎪
-++=-⎨⎪++=⎩并求出系数矩阵A 的行列式ｄｅt Ａ的值.
用牛顿（切线)法求3的近似值。

取x ０=１.7, 计算三次,保留五位小数。

2９、已知数据如
下：
求形如
bx a y +=
1
拟合函数。

３0、用二次拉格朗日插值多项式
2()
L x 计算sin0.34。

插值节点和相应的函数值如下表。

31、利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长0.2h =
,(0,0.8)
(0) 1.
y y x x y '=+⎧∈⎨
=⎩。

３２、讨论用Jacobi 和Ｇauss-Seidel 迭代法求解方程组A ｘ＝b 的收敛性,如果收敛,比较哪种方法收敛快。

其中
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=212120203A .
简述题：叙述在数值运算中,误差分析的方法与原则是什么？
数值分析复习题答案
一、选择题1.A ２.D 3.D 4.Ｃ 5.Ｂ
二、填空1、２.3150 ２、
()()()()2312123315
3,,11
2,,416f x x f x x f x x x x x ---===
-- ３、６ 和
4、１.5 ５、()()11,,2k k k k k h
y f x y f x y +++⎡+⎤⎣⎦
６、()A ρ= ７、[][]12123,,3,,,,0n n n n n n n f x x x f x x x x +++++==;８、 收
敛 9、()h O 10、
11310121(1)(1)y x x x ⎛⎫
⎛⎫=+
+- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
１1． 9
;12.
()()
0101
f x f x x x -- 1
３． 18 14． ()()120f f < 1５． ()12
00.1
1.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪
=⎪
⎩；16、３ ；1７、1 ;1８、
7 ；1９、1;2０.3;２1．x ;２2.1()
1()n n n n n x f x x x f x +-=--’；23. ()1B ρ<；24、.迭代矩阵, 1()
121()21
1(8)91(4)5k k k k x x x x ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩;2
５.相对误差 绝对误差 ２６.1,,0,i j i j =⎧⎨
≠⎩
1；2７. 至少是n
()b
k
a l x dx
⎰
,b-a ;2
８． 3 4(4)
()(),(,)1802b a b a f a b ζζ---∈;29. 1 0；30、4;31、1,0；３2、 1()1'()n n n n n x f x x x f x +-=--；33、 7， 6；
３4、收敛速度慢,不能求偶重根。

三、计算题
１．解:(1）
()32142632331
22545045025x x x x H =-
++-
（2）
()522191919
()(1)(),()(,)
4!164444R x x x x x ξξξ-=---=∈ 2．解 ：由 ()x x ϕ=，可得 3()3x x x x ϕ-=-，1
(()3)()
2x x x x ϕψ=--=
1
()(()3) 2x x ψψ=--’’因，故
11
()122
x x ψϕ=
<<’’（）-3ﻫ
[]11
()()3 , k=0,1,.... 2k k k k x x x x ψϕ+==-
-故收敛。

3. .解 ： 数值积分方法构造该数值解公式:对方程
()y f x =’在区间 []11,n n x x -+上积分， 得
11
11()()(,())n n x n n x y x y x f x y x dx
+-+-=+
⎰
,记步长为h, 对积分
1
1
(,())n n x x f x y x dx
+-⎰
用Ｓim ｐs ｏn 求积公式得
[]1
1
11112(,())()4()()(4)63
n n x n n n n n n x h h f x y x dx f x f x f x y y y +--++-≈
++≈++⎰
’’’
所以得数值解公式: 1111(4)
3n n n n n h y y y y y +-+-=+++’’’
４.解
1123211435124A LU ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
(14,10,72), (1,2,3) .T T Ly b y Ux y x ==--==令得得
5. 解 []
0,1x ∈，
()10
10.510.50110x x L x x --=
⨯+⨯=---
[]
1,2x ∈，
()210.50.20.30.81221x x L x x --=
⨯+⨯=-+--
所以分段线性插值函数为
()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨
-∈⎪⎩
()1.50.80.3 1.50.35
L =-⨯=
6. 解 ：原方程组同解变形为
1232133120.10.20.72
0.10.20.830.20.20.84
x x x x x x x x x =++⎧⎪
=-+⎨⎪=++⎩ﻫ雅可比迭代公式为
()()()()()()
()()()1123121313
120.10.20.72
0.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =
高斯-塞德尔迭代法公式ﻫ()()()()()()
()()()11231121
31113120.10.20.72
0.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =
用雅可比迭代公式得
()()
10.72000,0.83000,0.84000X =
用高斯－塞德尔迭代公式得
()()
10.72000,0.90200,1.16440X =
7. 解：
()331
f x x x =--，
()130f =-<,()210
f =>
()233
f x x '=-，
()12f x x ''=,()2240
f =>,故取2x =作初始值
迭代公式为
()()3111112
113133
n n n n n n n n f x x x x x x f x x ---------=-=-'-()312121()31n n x x --+-或， 1,2,...n =
02x =，
()
312
231 1.88889
321x ⨯+=
=⨯-，
()
322
2 1.888891 1.87945
3 1.888891x ⨯+=
=⨯-
210.009440.0001
x x -=>
()
3322 1.879451 1.87939
3 1.879451x ⨯+=
=⨯-，
320.000060.0001
x x -=<
方程的根 1.87939x *
≈
8．解 梯形公式
()()()2b
a
b a
f x dx f a f b -≈
⎡+⎤⎣⎦⎰
应用梯形公式得1
01111[]0.75121011dx x ≈+=+++⎰
辛卜生公式为()()()[4()]62b
a
b a a b
f x dx f a f f b -+≈
++⎰
应
用
辛
卜
生公式得
()()1011010[04()1]162dx f f f x -+≈+++⎰ﻫ 1111[4]16101112
=+⨯++++2536= 9.解
020*******
010*********()()()()()()
()()()()()()()
=0.333336
x x x x x x x x x x x x L x f f f x x x x x x x x x x x x ------=
++------
１0.用二分法求方程
3
()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间内的一个根,误差限210ε-=。

解
1234566
1.25 1.375 1.31251.34375 1.328125 1.3203125N x x x x x x =======
１1.解 迭代公式
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧--=--=--=++++++)222(51)
218(41)211(41)
1(2)1(1)1(3
)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x
12.解:
12312312312311112
2033993
13022A A A A A A A A A A A A ++=--+=++=
===
１3. 解:调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优
1231231
231045
21048321015
x x x x x x x x x --=⎧⎪
+-=⎨⎪++=⎩
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为
(1)()()
123(1)(1)()
213(1)(1)(1)3121( 4 5)101(2 48)
101(32 15)10k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪
⎪=-++⎨⎪
⎪=--+⎪⎩
取T )0,0,0()
0(=x
,经7步迭代可得：T )010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*=≈x x
15. 解 1(1) 0.1(32)0.3 1.2n n n n n n y y x y x y +=++=+
1111120.20.2
(2) (32)3(0.2)22
=0.1(6220.6)
3332440
3336333
1.575,
2.585
240240440n n n n n n n n n n n n n y y x y x y y x y y y y x y y ++++⨯⨯+=+
++++++++∴=
++=+==+=迭达得
1６.解: )
5.0)(0(0
10
5.01
5.01)0(0
5.01)(5.05
.015.002------
--+
---+
=----x x e e e x e e x p =
１+２
(
)5.0()12(2)15.015.0-+-+----x x e e x e [])
1)(5.0(!3)()(,1max ,21,0'
'3'
'--'''=-==-=∈-x x x f x p e y M e y x
x x
ξ
时10≤≤∴x ，
)1)(5.0(!
31
)(2--≤
-x x x x p e x
17、解：差商表
由牛顿插值公式：
323332348
()()21,33141181
3()()2()()12
232232p x N x x x x p ==
-++=-++=
18、解：
010(,)1,1,0.1,0.1(1),(0,1,2,3,)1,
1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;1.056100;1.090490;1.131441.
n n n n k f x y y x y h y y x y n y y η+=-++====++-===
１9．解：分别将2
()1,,f x x x =，代入求积公式，可得
02114
,33A A h A h
===。

令3()f x x =时求积公式成立，而4
()f x x =时公式不成立，从而精度为3。

20、解：设y a bx =+则可得
515311555105.5
a b a b +=⎧⎨
+=⎩
于是 2.45, 1.25a b ==,即 2.45 1.25y x =+。

解：
23464330324
33032352535253
52543303223462
346433032433032011/441/219011/4
41/21903/21110002/114/1143303201182380012⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭
即123123233433032,13,
118238,8,2.2.x x x x x x x x x ++==⎧⎧⎪⎪
-=-⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩
２2. 解:用反插值得
11(4)(5)(7)(2)(5)(7)(2)(4)(7)
()24
(24)(25)(27)(42)(45)(47)(52)(54)(57)
(2)(4)(5)5
(72)(74)(75)
8
0(0)3y y y y y y y y y x f y y y y y x f -----------=≈
++------------+---==≈
令得 解 令2
()1,,f x x x =代入公式精确成立，得
1223
12023A B h hA Bx h A Bx h ⎧
⎪+=⎪
-+=⎨⎪⎪+=⎩
； 解得
1131
,,322x h B h A h
===，得求积公式 1()[()3()]
23h
h
h f x dx f h f h -≈-+⎰
对3
()f x x =;
334
140()[()3()]239h h h f x dx h f h h -=≠-+=-⎰故求积公式具有２次代数精确度。

24、解：本题是G ａuss 消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。

1232331
1194561
14
60
4513 15415x x x x x x ⎧++=⎪⎪
⎪--=-⎨⎪⎪
=-⎪⎩
故
323132154153177.691
60(4)476.924511
4(9)227.08
65x x x x x x =-⨯=-=--+
==--=- . 解:由等式对2
()1,,f x x x =精确成立得：122212231
231x x x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，
解此方程组得
12x x ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
又当3
)(x x f =时 左边≠右边
∴ 此公式的代数精度为2. 解:梯形法为1110.2[(25)(25)]n n n n n n y y x y x y +++=+-+- 即
1121()1515n n n n y x x y ++=
++
迭代得
123450.62667,0.55566,0.58519,0.64840,0.72280
y y y y y =====
. 解：先选列主元12i =，2行与1行交 换得
(1)(1)
183115|123315,
1116A b ⎡⎤
---⎢⎥⎡⎤=-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦消元；
3行与2行交换；消元;
回代得解3213,2,1x x x ===；行列式得
722det 1866167A =-⋅
⋅=-
解:3是2
()30f x x =-=的正根,'()2f x x =,牛顿迭代公式 为2
13
2n n n n x x x x +-=-
， 即 13(0,1,2,...)22n n n x x n x +=+=
取ｘ0=1.7, 列表如下：29、已知数据如
下: ﻫ求形如
bx a y +=
1
拟合函数。

解:
5
555
2
1
1
1
1
11
,,9,17.8,16.971,35.902
5
916.971917.835.39022.0535
3.02651
2.0535
3.0265i i
i i i i i i i a bx z z a bx y y
x
x z z x a b a b y x
=====+==+====⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
=-⎧⎨
=⎩=
-+∑∑∑∑令则解此方程组得拟合曲线为
30、解:过点001122(,),(,),(,)x f x f x f 的二次拉格朗日插值多项式为
020*******
010*********()()()()()()
()()()()()()()x x x x x x x x x x x x L x f f f x x x x x x x x x x x x ------=
++------
代值并计算得 2sin 0.34(0.34)0.33336L ≈=。

31、解：
1111(),
[()()],2n n n n n n n n n n y y h y x h y y y x y x ++++=++⎧⎪⎨=++++⎪⎩
0(0,1,2,3,)1,n y ==
1.000000;1.240000;1.576800;
2.031696;
2.630669;
3.405416.
k y =
32、解：
31G 2200033111100
02212
11
10122
0, () 1 ; Jacobi 10033000020021B 020001000012112000000111642J J J B l B B λ
λλ
λλ
λρ-⎡
⎤
-
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=--==-⎢⎥⎢
⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦
=∴=
⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-
⎢⎥⎣⎦即迭代收敛
,22003100;21100121111
()0,()1,
1212
1112G G l B B Gauss Seidel Q
Gauss Seidel λλλρ⎡
⎤⎢⎥⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
-=-==<-<∴-得迭代法收敛。

又迭代法收敛快一些。

简述题：解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。

误差分析的原则有:1)要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法;2）要避免两近数相减;3）要防止大数吃掉小数:4）注意简化计算步骤,减少运算次数。

一、 选择题（共30分,每小题3分)
1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（ ）。

（A ）方法收敛性; (B)方法的稳定性； (C)方法的计算量； （Ｄ）方法的误差估计。

２、已知方程3x 3−２ｘ−5=0在区间[2,３]存在唯一正根，若用二分法计算,至少迭代( ）次可以保证误差不超过3102
1-⨯。

(A ） 5; (Ｂ) 7； (C) 10; （D) 12。

３、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（ ）
（A ）调换方程位置； （B)选主元； （C ）直接求解; (Ｄ)化简方程组。

4、设1039)(48++=x x x f ，则]2,2,2,2,2,2,2,2,2[876543210f 和]3,3,3,3,3,3,3,3,3,3[9876543210f 的值分别为（ )
（A )1，1; （B ）9×8!，0； (C ）９,0; (Ｄ）9,１。

5、若用复化的辛浦生公式计算积分⎰
π
sin xdx ，问积分区间要（ ）等分才能保证误差不超过5102-⨯?
(Ａ)10; （Ｂ）15; （C )20； （D )25。

6、用一般迭代法g Bx x k k +=+)()1( 求解方程组Ａx =b 的解,则当（ )时,迭代收敛。

(A ）方程组系数矩阵A 对称正定； (B )方程组系数矩阵A 严格对角占优； (Ｃ）迭代矩阵B 严格对角占优； (Ｄ）迭代矩阵Ｂ 的谱半径ρ(Ｂ)<１。

7、在区间[0,1] 上满足ｙ(0)=１.5,y (1）=2.5 的0 次拟合多项式曲线是( )
(Ａ) y ＝ 2; (B) y = 1.5 ; (C) y ＝ 2.5 ； （Ｄ） y = ４ 。

8、复相关系数的取值区间为: （ )
(Ａ) 10≤≤R ; (B ） 11≤≤-R ； (C)1≤≤∞-R ; (D)∞≤≤-R 1 9、方差分析主要用于分析( )
(A)自变量和因变量都是分类变量 (B)自变量和因变量都是顺序变量 （C ）自变量和因变量都是数值变量 (D)自变量是分类变量,因变量是数值变量
10、方差分析中在由样本推断总体性质时,零假设是( ）
(Ａ)各分类间方差相等 (Ｂ）各分类间均值相等
（C)各分类间均值不相等 (D)各分类间至少有两组均值相等 二、填空题(共３0分，每小题３分)
１、数值计算中主要研究的误差有 和 。

2、*x 的相对误差约是*x 的相对误差的 倍。

3. 方程求根的二分法的局限性是 。

4、求方程根的割线法的收敛阶为_ _＿_ 。

5、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 。

6、若用高斯-赛德尔法解方程组⎩
⎨
⎧-=+=+324
2121x ax ax x ，其中ａ为实数，则该方法收敛的充要条件是a 应满足＿ _。

7、线性代数方程组Ａx ＝b 相容的充要条件是_＿＿ _ __。

8、单纯形算法的基本思路是： 。

9、参数假设检验的含义是 。

10、假设检验的基本思想的根据是 三、（7 分)确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高。

)()()(1101
1
x f A x f A
dx x f +≈⎰-
四、(8 分)已知方程组⎪⎩⎪
⎨⎧-=-+==-+=+-3
51110288321
321321x x x b Ax x x x x x x 或分别写出该方程组的Jacobi 迭代法和Ga ｕss-S ｅid ｅl 迭
代法的分量形式。

五、(９分）设步长为h ，分别用E ｕｌer 方法、隐式Ｅu ｌｅr 方法和梯形方法写出微分方程⎩⎨⎧=+-='1
)0(1
y y x y 的求解
公式。

六、（８分)设总体 X 在区间 [a ， b ] 上服从均匀分布，其中a 、b 未知,n X X X ,,,21 为总体 Ｘ 的样本，求a 、ｂ的极大似然估计量.
七、(8 分）将如下线性规划问题化成标准型:
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧≥=++-≥+-≤++-+-=无限制321321321321321,0,)
3(523)2(2)1(7
.
.32x x x x x x x x x x x x t s x x x Z Min
参加答案
一、 选择题(共3０分,每小题3分)
1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是( C )。

(A ）方法收敛性； （B ）方法的稳定性; （C ）方法的计算量; （D)方法的误差估计。

2、已知方程3x ３
−２ｘ−5=0在区间[2,3]存在唯一正根,若用二分法计算，至少迭代（ C ）次可以保证误差不
超过3102
1-⨯。

（A) 5； (B) 7； (C) 10; (D ） １2。

3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（ )
(Ａ）调换方程位置； (B)选主元; （Ｃ）直接求解; （D)化简方程组。

4、设1039)(48++=x x x f ，则]2,2,2,2,2,2,2,2,2[876543210f 和]3,3,3,3,3,3,3,3,3,3[9876543210f 的值分别为( B ）
(A ）１,1； （B )9×8!，0; （C )9，0; （D )9，１。

5、若用复化的辛浦生公式计算积分⎰
π
sin xdx ，问积分区间要（ A )等分才能保证误差不
超过5102-⨯？
(A )10； （Ｂ）15; （C ）２０； （Ｄ)25。

6、用一般迭代法g Bx x k k +=+)()1( 求解方程组Ａx =b 的解，则当（ Ｄ ）时,迭代收敛。

（A )方程组系数矩阵A 对称正定； (B )方程组系数矩阵A 严格对角占优; （C )迭代矩阵Ｂ 严格对角占优； (Ｄ)迭代矩阵B 的谱半径ρ(Ｂ)<1。

7、在区间［０,1］ 上满足ｙ(0）=1．５，y (1)＝2.5 的０ 次拟合多项式曲线是( A )
(A ） y = ２； （B) y = １.5 ; (C ） y = 2.5 ; (D) ｙ ＝ ４ 。

8、复相关系数的取值区间为： ( A )
（Ａ） 10≤≤R ; (Ｂ) 11≤≤-R ； (C ）1≤≤∞-R ； （D)∞≤≤-R 1 9、方差分析主要用于分析（ D ）
(A)自变量和因变量都是分类变量 （Ｂ)自变量和因变量都是顺序变量 (C)自变量和因变量都是数值变量 (D)自变量是分类变量,因变量是数值变量
11、方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是（ B ）
(A ）各分类间方差相等 (Ｂ)各分类间均值相等
(C)各分类间均值不相等 (D)各分类间至少有两组均值相等
二、填空题（共3０分,每小题3分)
１、数值计算中主要研究的误差有 和 。

2、*x 的相对误差约是*x 的相对误差的
2
1
倍。

3. 方程求根的二分法的局限性是 。

收敛速度慢，不能求偶重根。

4、求方程根的割线法的收敛阶为_ ___ 。

618.1或
2
5
1+ ５、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 。

5
6、若用高斯－赛德尔法解方程组⎩
⎨
⎧-=+=+324
2121x ax ax x ，其中a 为实数，则该方法收敛的充要条件是ａ 应满足＿＿_
＿ ＿ _。

2
2<
a 7、线性代数方程组Ax =
b 相容的充要条件是＿__ _ __。

rank (A )= ra ｎk (A ,b ）
8、单纯形算法的基本思路是: 根据问题的标准型,从可行域中某个基本可行解 (顶点)开始,转换到另一个基本可
行解(顶点)，并使得每次的转换,目标函数值均有所改善,最终达到最大值时就得到最优解。

９、参数假设检验的含义是对总体中某个数字特征或分布中的参数提出假设检验。

1０、假设检验的基本思想的根据是小概率事件原理：“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。

” 三、（７ 分)确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。

)()()(1101
1
x f A x f A
dx x f +≈⎰-
四、（8 分）已知方程组⎪⎩⎪
⎨⎧-=-+==-+=+-3
51110288321
321321x x x b Ax x x x x x x 或分别写出该方程组的Jaco ｂｉ 迭代法和Gauss-Seidel 迭
代法的分量形式。

五、（9分)设步长为h,分别用Eule ｒ方法、隐式E ｕler 方法和梯形方法写出下列微分方程的求解公式：
⎩
⎨
⎧=+-='1)0(1
y y x y 。

六、（８分）设总体 X 在区间 ［a , b ] 上服从均匀分布,其中ａ、b 未知，n X X X ,,,21 为总体 Ｘ 的样本,求a 、b 的极大似然估计量．
七、（8 分）将如下线性规划问题化成标准型：
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧≥=++-≥+-≤++-+-=无限制321321321321321,0,)
3(523)2(2)1(7.
.32x x x x x x x x x x x x t s x x x Z Min
试题
…
一. 填空题(本大题共4小题,每小题４分，共１６分）
１.设有节点012,,x x x ,其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数
0()l x 为 。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。

3.设110111011A -⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
,233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1A = ，1x = 。

４. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。

二.简答题（本大题共3小题，每小题8分,共２4分)
1. 哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定?
2． 什么是不动点迭代法?()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
()x ϕ的不动点？
３. 设n 阶矩阵A 具有ｎ个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥,请简单说明求解矩阵Ａ的主
特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ,满足下列插值条件：
并估计误差。

（10分)
四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1
01
1I dx x
=+⎰。

（10分) 五．用N ｅwton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。

(10分) 六.试用D ｏo ｌi ｔt ｌｅ分解法求解方程组：
12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（1０分）
七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231
23202324812231530
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式,并判断其是否收敛？
(10分)
八.就初值问题0(0)y y
y y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。

（10分）
参考答案
一． 填空题(每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()
()()
x x x x l x x x x x --=
--； 2.7；３. 3，８;4. 2n+1。

二.简答题(本大题共３小题,每小题8分，共2４分）
1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。

（４分)
对于对称正定阵 Ａ，从21
i
ii ik k a l ==
∑
可知对任意ｋ ≤ i
有||ik l ≤ L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。

(4分) 2. 解:（１）若()*
*x
x ϕ=,则称*x 为函数()x ϕ的不动点。

(2分)
（2)()x ϕ必须满足下列三个条件,才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点： 1)()x ϕ是在其定义域内是连续函数; (2分） 2）()x ϕ的值域是定义域的子集; (２分) ３)()x ϕ在其定义域内满足李普希兹条件。

(2分）
3.解:参照幂法求解主特征值的流程 (８分)
步１：输入矩阵Ａ，初始向量v0，误差限ｅ,最大迭代次数N ； 步2:置ｋ：=1，μ:＝0,u0=ｖ０/|｜v0|｜∞; 步3:计算ｖｋ＝Ａu ｋ-1; 步4：计算
并置mk:=[v ｋ]r, ｕk:=v ｋ/mk;
步５：若｜mk- μ ｜< ε，计算，输出m ｋ,uk;否则，转6； 步6:若ｋ<Ｎ,置k:=k+1, μ：=ｍｋ,转3；否则输出计算失败 信息,停止
三． 解:(1)利用插值法加待定系数法:
设()2p x 满足 ()()()22212,24,312,p p p ===则()2
2376,p x x x =-+（３分)
[][]1max ;k k r i i n
v v ≤≤=
再设()()()()()32123p x p x K x x x =+--- (３分)
2K = (1分) ()32329156p x x x x =-+- (1分）
（2)()()()()()()2
4311234!
R x f x x x ξ=
--- （2分） 四．解:应用梯形公式得()()11
012
I I f f ≈=+⎡⎤⎣⎦ （2分) 0.75= （１分)
应用辛普森公式得：()()21104162I I f f f ⎡
⎤⎛⎫
≈=
++ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦
(２分） 0.69444444= （1分)
应用科特斯公式得:
()()41113703212327190424I I f f f f f ⎡
⎤⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
≈=
++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
(2分) 0.6931746= (２分） 五．解：由零点定理，cos 0x x -=在(0,
)2
π内有根。

(2分）
由牛顿迭代格式1cos 0,1,......1sin n n
n n n
x x x x n x +-=-=+ （4分)
取04
x π=
得，
12340.73936133;0.739085178
0.7390851330.739085133
x x x x ==== (３分）
故取*
40.739085133x x ≈= （1分）
六.解:对系数矩阵做三角分解:
1112
1321222331323325610041319106361u u u l u u l l u -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(2分) 125621373414A LU -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
（4分)
若Ly b =,则12310,1,4y y y ==-=; （２分） 若Ux y =,则(3,2,1)T
x =。

（2分)
七．解:(1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为
00.50.51010.50.50B -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2分）
其特征多项式为()2
det() 1.25I B λλ
λ
-=+,且特征值为
1230,,λλλ== （2分） 故有() 1.251B ρ=>，因而雅可比迭代法不收敛。

(1分） （2）对于方程组,G ａus ｓ-Sei ｄel 迭代法迭代矩阵为
00.50.500.50.5000.5B -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
（2分) 其特征值为1230,0.5λλλ=== （2分） 故有()0.51B ρ=<,因而Ｇａus ｓ-Ｓei ｄel 迭代法收敛。

(１分) 八．证明题（本大题共2小题，每小题7分,共14分）
1. 证：该问题的精确解为0()x
y x y e λ= （2分)
欧拉公式为1(1)i i i i y y h y h y λλ+=+=+ (2分） 对任意固定的i x x ih ==， 有/1/00(1)[(1)]i i x h
x h i y y h y h λλλλ=+=+， (2分)
则0()i
x i y e
y x λ= (1分)
2.证：牛顿迭代格式为125,0,1,2,
66n n n
x a
x n x +=
+
= (３分）
因迭代函数为()25,66x a x x ϕ=+而()35,63a
x x
ϕ'=+
又*x =, （２分) 则
()
3
51
062
3a
ϕ'
=
+
=
≠。

故此迭代格式是线性收敛的。

（2分)
试题
一、填空题(本题２4分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f ，可以表成)(x x
ϕ=，那么)(x ϕ满
足 ；则由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定
收敛于方程0)(=x f 的根。

4．区间[,]a b 上的三次样条插值函数()S x 是满足: ; 5.设总体2
~(,),X N μσμσ未知，写出μ的95%的置信区间： ；
6
．
正
交
表
()
p q N L n m ⨯中各字母代表的含义
为 ;
7．取步长2.0=h ，解]1,0[,1)0(2'∈⎩
⎨⎧=-=x y y x y 的Eul ｅr 法公式为：
； 8.对实际问题进行建模求解时
可
能
出
现
的
误
差
有: ;
7． 已知二元非线性函数 221122120()+-2+4,(1,2)T
f x x x x x x x X =+=，该函数从Ｘ0 出发的最速下降方向
为:
;
８.已知二元非线性函数 221122120()+-2+4,(1,2)T
f x x x x x x x X =+=,该函数从X ０ 出发的Newton 方向
为: ；。

二、(本题８分)某商场决定营业员每周连续工作５天后连续休息2天,轮流休息。

根据统计，商场每天需要的营业
（不要求计算出结果）；
（2） 写出所建立的模型的对偶形式。

三、(本题8分）已知)(x f 的数据如表：
试求三次插值多项式P(x ），给出相应的误差估计式,并求f (2)的估计值。

四、（本题1２分)为了改进录音效果,今比较三种不同磁粉的录音带的放音效果,用这三种不同的磁粉(记为
,,A A A )的录音带录音,假设2~(,)A N μσ,1,2,3i =,得到的数据已汇总成方差分析表如下
(2)问这三种磁粉的平均放音效果有无显著差异?(取0.05α=，0.05(2,12) 3.89F =） 五、（本题10分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）:
12121212max 4045..3502 2.5700,
Z x x s t
x x x x x x =++≤+≤≥≥
六、（本题1０分)试确定求积公式⎰--++-≈h h h f A f A h f A dx x f 101)()0()()(中的待定系数，使其代数精度尽量
高。

七、（本题1２分)为研究家庭收入X (元)和食品支出Y (元）关系,随机抽取
假设Y 与X 之间符合一元线回归模型,(1)试用上表数据建立线性回归方程;（2)检验回归效果是否显著(0.05α=）;（3)试解释回归方程的经济意义。

（0.0250.05(10) 2.2281,(10) 1.8125t t ==) 八、(本题16分）设方程组为
⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-7
9897
8321
3121x x x x x x x
（1)对方程组进行适当调整,使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛；
（2)写出对应的高斯－塞德尔迭代格式; (3)取初始向量T x )0,0,0()0(=，求迭代次数k 使得3)
()1(10-∞
+≤-k k x x 。

答案
一、填空题（本题24分,每小题３分） 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x x
ϕ=,且在[,]a b 内有唯一根*x ,那么)(x ϕ满足
，则由迭代公式)(1
n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于
*x 。

（)(x ϕ满足：1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈, '()1x L ϕ≤<;)
2． 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)T
f x x x x x x x X =-++-=,该函数从Ｘ0 出发的最速下降方向为
（最速下降方向为：()4,2T
p =-）
； 3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)T
f x x x x x x x X =-++-=,该函数从X ０ 出发的New ｔon 方向为
（N ｅｗton 方向为： ()2,0T
p =-)；
4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,
,i i x y i n =,则其三次样条插值函数)(x S 是满足
(（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式,(２)在区间[,]a b 上二阶导数连续,(3）满足插值条件
(),0,1,2,
,i i S x y i n == ）;
5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ,且当原假设Ｈ０成立时，样本值12(,,,)n X X X 落入W 的概率为0.１５,
则犯第一类错误的概率为______＿_(０.1５） ;
６．在实际问题中求某参数的置信区间时,总是希望置信水平愈 大 愈好,而置信区间的长度愈 短 愈好。

但当增大置信水平时,则相应的置信区间长度总是 变长 ; ７
.取
步
长
2
.0=h ，解
]1,0[,1
)0(2'∈⎩⎨
⎧=-=x y y
x y 的Ｅu ｌer 法公式为:
(1(2)0.60.2,0,1,2,
,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+= ）；
8.对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差,观测误差,方法误差，舍入误
差。

) 。

二、(本题８分)某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28％，锌不多于15%，铅恰好10%,镍介于３５％到55%之间，不允许有其他成分。

钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼,每种矿物的成分含量和价格如下表。

矿石杂质在冶炼中废弃,并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。

（1)建立线性优化模型,安排最优矿物冶炼方案,使每吨合金产品成本最低。

（不要求计算出结果）； (2)写出所建立的模型的对偶形式。

（１)设 ,1,2,5)j x j =（
是第j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下:
123451245124513512345123451min 340260*********..0.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.1
0.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70Z x x x x x s t
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++≥+++≤++=++++≤++++≥+2345.70.40.80.4510,
1,2,
5
j x x x x x j +++=≥= 4分
(2)上述线性规划模型的对偶形式如下:
1234561234561456234561245612max 0.280.150.10.550.35..0.25-0.10.10.250.250.73400.40.30.30.7260
0.150.050.20.20.41800.20.20.40.40.8230
0.080.050.1f y y y y y y s t
y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =-+-+++-++≤-++≤-+-++≤--++≤-+345611
12453650.170.170.451900,0,0,0,,y y y y y y y y y R y R -++≤≥≥≥≥∈∈ 4分
三、(本题８分）已知)(x f 的数据如表：
试求三次插值多项式P(x),求(4)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。

解:
用N ｅw ｔｏｎ插值法求)(x f 的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下:
由差商表得出)(x f 的三次插值多项式为:
30.25 1.375
()0.5(1)(1)(3)342
N x x x x x x x =+
---- 3分 于是有
30.25 1.375
(4)(4)0.5443431342
2.7518.25
2177
f N ≈=⨯+
⨯⨯-⨯⨯⨯=+-=
２分
相应的误差估计式为：
3()[0,1,3,7,](1)(3)(7)
[0,1,3,7,4]431(0.000075(36)3)0.0027
R x f x x x x x f -⨯-==---=⨯⨯⨯⨯-≈
2分
四、(本题12分)为了考察硝酸钠N ａＮＯ3的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度（C 0
），观察它在１０0的水中溶解的Ｎa ＮO 3的重量(g),得观察结果如下:
温度x ２0 30 3３ 40 1５ 13 2６ 38 35 43 重量ｙ 7 9 ８ 1１ 5 ４ ８ 1０ 9 10
(１） 求Y 对Ｘ的线性回归方程。

(结果保留小数点后两位。

)
29310
1
=∑=i i
x
,
8110
1
=∑=i i
y
，
∑==10
1
2574i i i
y x
，
957710
1
2=∑=i i
x
，
70110
1
2=∑=i i
y
（２）对回归方程的显著性进行检验。

(取显著水平为0．05,０．0１)，0.05(1,8)=5.32F 0.01(1,8)11.26F =，
0.050.01(8) 1.8595(8) 2.8965t t ==。

解：
（１)29.3
8.1x y ==
25741029.38.1200.7xY i i L x y nx y =-⋅=-⨯⨯=∑ 2
2225741029.3992.1xx i L x nx =-=-⨯=∑
222701108.144.9YY i L y ny =-=-⨯=∑ 4分
200.7ˆ0.20230.20992.1
xy xx L b
L ==≈≈ ˆˆ8.10.202329.3 2.17a y bx =-≈-⨯≈ 回归函数为 ˆ() 2.170.20x x μ
=+ 4分 （２)2
11ˆˆ()(44.90.2023200.7)0.5428
YY xY
L bL n σ
=-=-⨯=- 222ˆ0.2023200.715.21ˆ0.54
xY
b L F σ⨯===,
或 3.9T == ２分 0.050.01(1,8)
(1,8)F F F F >> 故在显著水平为0.０5，0．01下线性回归是显著的 或0.050.01(8)
(8)T t T t >> 故在显著水平为0．05,0.01下线性回归是显著的。

12分
五、（本题10分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程):
12121212max 300400..2401.5300,
Z x x s t
x x x x x x =++≤+≤≥≥
解：
第一步： 化为标准型，……………… ……………………..(2分)
第二步： 列出是单纯形表,…………………………… ….．（2分） 第三步： 第一次单纯形迭代计算,…………………………..（3分) 第四步: 列出是单纯形表,…………………………… ……..（3分)
第五步: 正确写出结果，最优解*
*
(15,10),8500T
x f ==…(2分）
六、（本题10分)试确定求积公式⎰--++-≈h h h f A f A h f A dx x f 101)()0()()(中的待定系数,使其代数精度尽量高。

解:
11012110231113334441324()1,,,()032
1()33()()()()33334()()(0)().333h h h h h h A h
A A A h f x x x h A A A h
h A A h A h h h h h x dx h h x dx h h h h h f x dx f h f f h -------⎧=⎧⎪⎪++=⎪⎪⎪
=⇒--=⇒=⎨⎨⎪⎪⎪⎪+==⎩⎪⎩
=-+≠-+∴≈-++⎰⎰⎰具有三次代数精度
算出系数6分,验证3次2分，给出结论２分
七、（本题1２分)设有4种治疗荨麻疹的药,要比较它们的疗效。

假定将2４个病人分成４组，每组６人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：
试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别?(05.0=α，0.05(3,20) 3.10F =） 解:
222161
129124()21124
ij SST x nx =-=-⨯=∑∑
222221234666612911090.5200.5ij SSE x x x x x =----=-=∑∑
由于0.05(3,20) 3.10F F <=，故接受假设，即不同药物对病人的痊愈时间无显著差别 （正确算出Ｆ值给10分,结论正确给2分）
八、(本题16分)设方程组为
⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-7
9897
8321
3121x x x x x x x
（1）对方程组进行适当调整,使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛;
（2)写出对应的高斯-塞德尔迭代格式； （3）取初始向量T x )0,0,0()
0(=，用该方法求近似解)
1(+k x
,使
3)
()1(10-∞
+≤-k k x x 。

解：
（1）将原方程组调整为⎪⎩
⎪
⎨
⎧=+-=+-=--8
978793121321x x x x x x x ,此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用高斯—塞德尔迭代
法求解时收敛。

5分 （2)高斯－塞德尔迭代格式为
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+=+=++=+++++989187
919
7
9191)1(1)1(3)1(1)1(2
3)(2)1(1
k k k k k k k x x x x x x x 5分
(2）取T )0()0,0,0(=x ,用上述迭代格式计算得
k )(1k x )(2k x )
(3k x
1 ０.７７77778 0.972222
2 0.9753086 2 0.994１7０1 0．9992７１
3 0.999352２ 3 0.9998471 0.９999８0９ 0．9999830
4 0.9９99960 0.9９9999５ 0.99９9996
因
(4)(3)
30.000148910x x -∞
-=<,
故取近似解
*(4)(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T
x x ≈=。

6
分
*(4)(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T x x ≈=。

６分。