2020-2021全国中考数学圆的综合的综合中考模拟和真题汇总附详细答案

2020-2021全国中考数学圆的综合的综合中考模拟和真题汇总附详细答案
一、圆的综合
1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．
（1）求⊙M的半径；
（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．
（3）在（2）的条件下求AF的长．
【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．
【解析】
【分析】
（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；
（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；
（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】
（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，
∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，
∴BT=TC=1
2
3
∴124
；
（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，
∴∠HBC+∠BCH=90°
在△COF中，
∵∠OFC+∠OCF=90°，
∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，
在△AEH和△AFH中，
∵
AFH AEH
AHF AHE AH AH
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AEH≌△AFH（AAS），
∴EH=FH；
（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，
作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，
∵⊙O的半径为4，
∴CG=4，
连AG，
∵∠BCG=90°，
∴CG⊥x轴，
∴CG∥AF，
∵∠BAG=90°，
∴AG⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴AG∥CE，
∴四边形AFCG为平行四边形，
∴AF=CG=4．
【点睛】
本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
2．如图，在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长．【答案】（1）证明见解析（2）23
【解析】
试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出
∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG·AB，求出AC即可.
试题解析：（1）连接CD,如图,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∴∠CAD+∠D=90°，
∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，
∴∠CAD+∠PAC=90°，
即∠PAD=90°，
∴PA⊥AD，
∴PA是⊙O的切线；
（2）∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，
∴∠ACF=∠D，
∴∠ACF=∠B，
而∠CAG=∠BAC，
∴△ACG∽△ABC，
∴AC：AB=AG：AC，
∴AC2=AG•AB=12，
∴AC3
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E
(1) 求证：BE是⊙O的切线
(2) 若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA
【答案】（1）证明见解析；（2）∠DBA
3 5 =
【解析】
分析：（1）连接OB，OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF为线段AD的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，证得四边形BEDF是矩形，即
∠EBF=90°，可得出结论.
（2）根据中点的性质求出OF的长，进而得到BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三角函数求解即可.
详解：证明：(1) 连接BO并延长交AD于F，连接OD
∵BD＝BA，OA＝OD
∴BF为线段AD的垂直平分线
∵AC为⊙O的直径
∴∠ADC＝90°
∵BE⊥DC
∴四边形BEDF为矩形
∴∠EBF＝90°
∴BE是⊙O的切线
(2) ∵O、F分别为AC、AD的中点
∴OF＝1
2CD＝
3
2
∵BF＝DE＝1＋3＝4∴OB＝OD＝35
4
22
-=
∴cos∠DBA＝cos∠DOF
＝
3
3
2
5
5
2
OF
OD
==
点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.
4．如图1O
e，的直径12
AB P
=，是弦BC上一动点(与点B C
，不重合
)30
ABC o
，∠=，过点P作PD OP
⊥交O
e于点D．
()1如图2，当//
PD AB时，求PD的长；
()2如图3，当»»
DC AC
=时，延长AB至点E，使
1
2
BE AB
=，连接DE．
①求证：DE是O
e的切线；
②求PC的长．
【答案】（1）26；（2）333
-
①见解析，②．
【解析】
分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD
，的长；()2①首先得出OBD
V是等边三角形，进而得出ODE OFB90
∠∠
==o，求出答案即可；
②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．
详解：()1如图2，连接OD，
//
OP PD PD AB
⊥
Q，，
90
POB
∴∠=o，
O
Q e的直径12
AB=，
6
OB OD
∴==，
在Rt POB V 中，30ABC o ∠=， 3tan30623OP OB ∴=⋅=⨯
=o ， 在Rt POD V 中， 22226(23)26PD OD OP =-=-=；
()2①证明：如图3，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，
»»DC AC =Q ，
30DBC ABC ∴∠=∠=o ，
60ABD o ∴∠=，
OB OD =Q ，
OBD ∴V 是等边三角形，
OD FB ∴⊥，
12
BE AB =Q ， OB BE ∴=，
//BF ED ∴，
90ODE OFB o ∴∠=∠=，
DE ∴是O e 的切线；
②由①知，OD BC ⊥，
3cos30633CF FB OB ∴==⋅==o 在Rt POD V 中，OF DF =， 13(2
PF DO ∴==直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半)， 333CP CF PF ∴=-=．
点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出OBD V 是等边三角形是解题关键．
5．如图，已知AB 为⊙O 直径，D 是»BC
的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线交AD 的延长线于F ．
（1）求证：直线DE 与⊙O 相切；
（2）已知DG ⊥AB 且DE =4，⊙O 的半径为5，求tan ∠F 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【解析】
试题分析：（1）连接BC 、OD ，由D 是弧BC 的中点，可知：OD ⊥BC ；由OB 为⊙O 的直径，可得：BC ⊥AC ，根据DE ⊥AC ，可证OD ⊥DE ，从而可证DE 是⊙O 的切线； （2）直接利用勾股定理得出GO 的长，再利用锐角三角函数关系得出tan ∠F 的值． 试题解析：解：（1）证明：连接OD ，BC ，∵D 是弧BC 的中点，∴OD 垂直平分BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴AC ⊥BC ，∴OD ∥AE ．∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；
（2）解：∵D 是弧BC 的中点，∴»»DC
DB =，∴∠EAD =∠BAD ，∵DE ⊥AC ，DG ⊥AB 且DE =4，∴DE =DG =4，∵DO =5，∴GO =3，∴AG =8，∴tan ∠ADG =84
=2，∵BF 是⊙O 的切线，∴∠ABF =90°，∴DG ∥BF ，∴tan ∠F =tan ∠ADG =2．
点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG ，DG 的长是解题关键．
6．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【答案】（1）证明见解析（2）2
3 3
π
-
【解析】
【分析】
（1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题；
（2）连接OE，OE交AD于K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题．
【详解】
（1）连接OD．
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．
∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．
（2）连接OE，OE交AD于K．
∵¶¶
AE DE
=，∴OE⊥AD．
∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE
是等边三角形，∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE
2
6023
360
π⋅⋅
=-⨯22
2
3
3
π
=-．
【点睛】
本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．
(1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；
(2)若»CD的长为13
4
π，求“回旋角”∠CPD的度数；
(3)若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+133，直接写出AP的长．
【答案】(1)∠CPD是直径AB的“回旋角”，理由见解析；(2)“回旋角”∠CPD的度数为45°；
(3)满足条件的AP 的长为3或23．
【解析】
【分析】
（1）由∠CPD 、∠BPC 得到∠APD ，得到∠BPC ＝∠APD ，所以∠CPD 是直径AB 的“回旋角”；（2）利用CD 弧长公式求出∠COD ＝45°，作CE ⊥AB 交⊙O 于E ，连接PE ，利用∠CPD 为直径AB 的“回旋角”，得到∠APD ＝∠BPC ，∠OPE ＝∠APD ，得到
∠OPE+∠CPD+∠BPC ＝180°，即点D ，P ，E 三点共线，∠CED ＝12
∠COD ＝22.5°， 得到∠OPE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，则∠APD ＝∠BPC ＝67.5°，所以∠CPD ＝45°；（3）分出情况P 在OA 上或者OB 上的情况，在OA 上时，同理（2）的方法得到点D ，P ，F 在同一条直线上，得到△PCF 是等边三角形，连接OC ，OD ，过点O 作OG ⊥CD 于G ，
利用sin ∠DOG ，求得CD ，利用周长求得DF ，过O 作OH ⊥DF 于H ，利用勾股定理求得OP ，进而得到AP ；在OB 上时，同理OA 计算方法即可
【详解】
∠CPD 是直径AB 的“回旋角”，
理由：∵∠CPD ＝∠BPC ＝60°，
∴∠APD ＝180°﹣∠CPD ﹣∠BPC ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BPC ＝∠APD ，
∴∠CPD 是直径AB 的“回旋角”；
(2)如图1，∵AB ＝26，
∴OC ＝OD ＝OA ＝13，
设∠COD ＝n°，
∵»CD 的长为134π， ∴13131804
n ππ=n ∴n ＝45，
∴∠COD ＝45°，
作CE ⊥AB 交⊙O 于E ，连接PE ，
∴∠BPC ＝∠OPE ，
∵∠CPD 为直径AB 的“回旋角”，
∴∠APD ＝∠BPC ，
∴∠OPE ＝∠APD ，
∵∠APD+∠CPD+∠BPC ＝180°，
∴∠OPE+∠CPD+∠BPC ＝180°，
∴点D ，P ，E 三点共线，
∴∠CED ＝12
∠COD ＝22.5°， ∴∠OPE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，
∴∠CPD＝45°，
即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，
(3)①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，∴PF＝PC，
同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上，
∵直径AB的“回旋角”为120°，
∴∠APD＝∠BPC＝30°，
∴∠CPF＝60°，
∴△PCF是等边三角形，
∴∠CFD＝60°，
连接OC，OD，
∴∠COD＝120°，
过点O作OG⊥CD于G，
∠COD＝60°，
∴CD＝2DG，∠DOG＝1
2
√
∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝133
2
∴CD＝133
√，
∵△PCD的周长为24+133
√，
∴PD+PC＝24，
∵PC＝PF，
∴PD+PF＝DF＝24，
过O作OH⊥DF于H，
∴DH＝1
DF＝12，
2
在Rt△OHD中，OH5
=
在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，
∴OP＝10，
∴AP＝OA﹣OP＝3；
②当点P在半径OB上时，
同①的方法得，BP＝3，
∴AP＝AB﹣BP＝23，
即：满足条件的AP的长为3或23．
【点睛】
本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论
8．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为
∠DAB和∠CBA的平分线．
（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；
（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，
sin∠AGF=4
5
，求⊙O的半径．
【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5．
【解析】
分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．
详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：
证明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故答案为：AD=BC；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAG+∠FGA=90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠FAG=∠EAB，
∴∠AGF=∠ABE，
∴sin∠ABE=sin∠AGF=4
5
AE AB =，
∵AE=4，
∴AB=5，
则圆O的半径为2.5．
点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
9．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为»AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．
（1）当DC⊥AB时，则DA DB
DC
+
＝；
（2）①当点D在»AB上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；
②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；
（3）当
92
20
PD
AC
=时，求
DE
OA
的值．
【答案】（12；（2）①DA+DB 2DC ，②S ＝12t 2﹣14m 2 ；（3）242DE OA =. 【解析】 【分析】
（1）首先证明当DC ⊥AB 时，DC 也为圆的直径，且△ADB 为等腰直角三角形，即可求出结果；
（2）①分别过点A ，B 作CD 的垂线，连接AC ，BC ，分别构造△ADM 和△BDN 两个等腰直角三形及△NBC 和△MCA 两个全等的三角形，容易证出线段DA ，DB ，DC 之间的数量关系；
②通过完全平方公式（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB 的变形及将已知条件AB ＝m 代入即可求出结果；
（3）通过设特殊值法，设出PD 的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果． 【详解】
解：（1）如图1，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵C 为»AB 的中点，
∴»»AC BC
=， ∴∠ADC ＝∠BDC ＝45°， ∵DC ⊥AB ，
∴∠DEA ＝∠DEB ＝90°， ∴∠DAE ＝∠DBE ＝45°， ∴AE ＝BE ， ∴点E 与点O 重合， ∴DC 为⊙O 的直径， ∴DC ＝AB ，
在等腰直角三角形DAB 中， DA ＝DB 2
AB ， ∴DA+DB 2AB 2CD ， ∴
DA DB
DC
+2；
（2）①如图2，过点A 作AM ⊥DC 于M ，过点B 作BN ⊥CD 于N ，连接AC ，BC ，
由（1）知»»AC BC
=， ∴AC ＝BC ， ∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝∠BNC ＝∠CMA ＝90°，
∴∠NBC+∠BCN ＝90°，∠BCN+∠MCA ＝90°， ∴∠NBC ＝∠MCA ， 在△NBC 和△MCA 中，
BNC CMA
NBC MCA BC CA ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△NBC ≌△MCA （AAS ）， ∴CN ＝AM ，
由（1）知∠DAE ＝∠DBE ＝45°， AM ＝
22DA ，DN
＝22
DB ， ∴DC ＝DN+NC ＝
2DB+2DA ＝2
（DB+DA ）， 即DA+DB ＝2DC ；
②在Rt △DAB 中， DA 2+DB 2＝AB 2＝m 2，
∵（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB ， 且由①知DA+DB 2DC 2t ， ∴2t ）2＝m 2+2DA•DB ， ∴DA•DB ＝t 2﹣
12
m 2，
∴S △ADB ＝
12DA•DB ＝12t 2﹣1
4
m 2， ∴△ADB 的面积S 与t 的函数关系式S ＝12t 2﹣14
m 2
； （3）如图3，过点E 作EH ⊥AD 于H ，EG ⊥DB 于G ， 则NE ＝ME ，四边形DHEG 为正方形，
由（1）知»»AC BC
=， ∴AC ＝BC ，
∴△ACB 为等腰直角三角形， ∴AB
AC ，
∵
20
PD AC =
，
设PD ＝，则AC ＝20，AB ＝， ∵∠DBA ＝∠DBA ，∠PAB ＝∠ADB ， ∴△ABD ∽△PBA ， ∴AB BD AD
PB AB PA
==，
∴
=
， ∴DB ＝
， ∴AD
＝，
设NE ＝ME ＝x ， ∵S △ABD ＝12AD•BD ＝12AD•NE+1
2
BD•ME ， ∴
1
2＝12•x+1
2•x ，
∴x ＝
7
， ∴DE
HE x ＝967
，
又∵AO ＝1
2
AB ＝，
∴
96
735
DE OA ==
．
【点睛】
本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．
10．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB ． （1）d （点O ，AB ）= ；
（2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0，求r 的取值范围；
（3）点C （－3，－2），连接AC ，BC ，⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围．
【答案】（1）222）224r ≤≤；（3）25252t -<<-或6<r <8． 【解析】 【分析】
（1）如下图所示，由题意得：过点O 作AB 的垂线，则垂线段即为所求； （2）如下图所示，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，则：OB=2，2，即可求解；
（3）分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况，求解即可． 【详解】
（1）过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，
根据“非常距离”的定义可知，
d （点O ，AB ）=OD=2AB =22
442
+=22; （2）如图，
当d （⊙O ，AB ）=0时，
过点O 作OE ⊥AB,则OE=22,OB=OA=4， ∵⊙O 与线段AB 的“非常距离”为0， ∴224r ≤≤；
（3）当⊙T 在△ABC 左侧时， 如图，
当⊙T 与BC 相切时，d=0, 2236+35,
过点C 作CE ⊥y 轴，过点T 作TF ⊥BC,则△TFH ∽△BEC,
∴
TF TH
BE BC =, 即2635
,
∴TH=5, ∵HO ∥CE, ∴△BHO ∽△BEC, ∴HO=2， 此时T(-5-2，0); 当d=2时，如图，
同理可得，此时T （252--）； ∵0<d <2，
∴25252t --<<--； 当⊙T 在△ABC 右侧时，如图，
当p=0时，t=6，
当p=2时，t=8. ∵0<d <2， ∴6<r <8；
综上，25252t -<<或6<r <8． 【点睛】
本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位
置关系和分类讨论思想的运用．
11．如图，已知△ABC ，AB=2，3BC =，∠B=45°，点D 在边BC 上，联结AD ， 以点A 为圆心，AD 为半径画圆，与边AC 交于点E ，点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ．
（1）设BD 为x ，点D 、F 之间的距离为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；
（2）如果E 是»DF
的中点，求:BD CD 的值； （3）联结CF ，如果四边形ADCF 是梯形，求BD 的长 ．
【答案】(1) 2442y x x =-+(0≤x≤3); (2)
45; (3) BD 的长是1或1+5
. 【解析】 【分析】
（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD 的长度．联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度，在Rt △ADF 中，利用锐角三角形函数的定义求得DF 的长度，易得函数关系式． （2）由勾股定理求得：AC=
22AH DH +．设DF 与AE 相交于点Q ，通过解Rt △DCQ 和
Rt △AHC 推知
1
2
DQ CQ =．故设DQ=k ，CQ=2k ，AQ=DQ=k ，所以再次利用勾股定理推知DC 的长度，结合图形求得线段BD 的长度，易得答案．
（3）如果四边形ADCF 是梯形，则需要分类讨论：①当AF ∥DC 、②当AD ∥FC ．根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答． 【详解】
（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．
∵∠B =45°，AB 2∴·cos 1BH AH AB B ===． ∵BD 为x ，∴1DH x =-．
在Rt △ADH 中，90AHD ∠=︒，∴AD ==．
联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度．
∵点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ，∴AD AF =，45ADF ∠=︒．
在Rt △ADF 中，90DAF ∠=︒，∴cos AD
DF ADF
==∠
∴y =．()03x ≤≤ ;
（2）∵E 是DF 的中点，∴AE DF ⊥，AE 平分DF ．
∵BC=3，∴312HC =-=．∴
AC =．
设DF 与AE 相交于点Q ，在Rt △DCQ 中，90DQC ∠=︒，tan DQ
DCQ CQ
∠=． 在Rt △AHC 中，90AHC ∠=︒，1
tan 2
AH ACH HC ∠==． ∵DCQ ACH ∠=∠，∴
1
2
DQ CQ =． 设,2DQ k CQ k ==，AQ DQ k ==，
∵
3k =3
k =
，∴53DC ==．
∵43BD BC DC =-=
，∴4
:5
BD CD =． （3）如果四边形ADCF 是梯形
则①当AF ∥DC 时，45AFD FDC ∠=∠=︒．
∵45ADF ∠=︒，∴AD BC ⊥，即点D 与点H 重合． ∴1BD =． ②当AD ∥FC 时，45ADF CFD ∠=∠=︒． ∵45B ∠=︒，∴B CFD ∠=∠．
∵B BAD ADF FDC ∠+∠=∠+∠，∴BAD FDC ∠=∠． ∴ABD ∆∽DFC ∆．∴AB AD
DF DC
=． ∵
DF =
，DC BC BD =-．
∴2
AD BC BD =-．即
2
3x =-,
整理得 210x x --=，解得 x =
综上所述，如果四边形ADCF 是梯形，BD 的长是1 【点睛】
此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合
能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
12．如图，在ABC △中，10AC BC ==，
3cos
5
C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的P e 与边AB 的另一个交点为
D ，过点D 作D
E CB ⊥于点E .
()1当P e 与边BC 相切时，求P e 的半径；
()2联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；
()3在()2的条件下，当以PE 长为直径的Q e 与P e 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.
【答案】（1）409；（2）)25880010320
x x y x x -+=<<+；（3）105- 【解析】
【分析】 （1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=45，sinC=HP CP =R 10R -=45
，即可求解； （2）PD ∥BE ，则EB PD ＝BF PF ，即：2248805x x x y x
y --+=，即可求解； （3）证明四边形PDBE 为平行四边形，则AG=GP=BD ，即：5求解．
【详解】 （1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，
连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=35， sinC=HP CP =R 10R -=45，解得：R=409
； （2）在△ABC 中，AC=BC=10，cosC=
35， 设AP=PD=x ，∠A=∠ABC=β，过点B 作BH ⊥AC ，
则BH=ACsinC=8，
同理可得：
CH=6，HA=4，AB=45，则：tan ∠CAB=2BP=()2284x +-=2880x x -+， DA=25x ，则BD=45-25x ， 如下图所示，
PA=PD ，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，
tanβ=2，则cosβ=
5，sinβ=
5
，
EB=BDcosβ=（45-
25
x）×
5
=4-
2
5
x，
∴PD∥BE，
∴EB
PD
＝
BF
PF
，即：2
2
4880
5
x x x y
x y
--+-
=，
整理得：y=()
2
5x x8x80
0x10
-+
<<；
（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，
两个圆交于点G，则PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，
∵点Q时弧GD的中点，
∴DG⊥EP，
∵AG是圆P的直径，
∴∠GDA=90°，
∴EP∥BD，
由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，
∴AG=EP=BD，
∴5
设圆的半径为r，在△ADG中，
55
AG=2r，
5
5
51
+
，
则：
5
5
相交所得的公共弦的长为5
【点睛】
本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．
13．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC＝23，AC＝2，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）23
【解析】
【分析】
（1）根据题目中已出现切点可确定用“连半径，证垂直”的方法证明切线，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，则AF为直径，∠ABF＝90°，根据同弧所对的圆周角相等，则可得到∠BAE＝∠F，既而得到AE与⊙O相切于点A．
（2））连接OC，先由平行和已知可得∠ACB＝∠ABC，所以AC＝AB，则∠AOC＝∠AOB，从而利用垂径定理可得AH＝1，在Rt△OBH中，设OB＝r，利用勾股定理解得r＝2，在Rt△ABD中，即可求得AD的长为3
【详解】
解：（1）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，
则AF为直径，∠ABF＝90°，
∵»»
，
AB AB
∴∠ACB＝∠F，
∵∠BAE＝∠ACB，
∴∠BAE＝∠F，
∵∠FAB+∠F＝90°，
∴∠FAB+∠BAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切于点A．
（2）连接OC，
∵AE∥BC，
∴∠BAE＝∠ABC，
∵∠BAE＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB＝2，
∴∠AOC ＝∠AOB ，
∵OC ＝OB ，
∴OA ⊥BC ，
∴CH ＝BH ＝12BC ＝3， 在Rt △ABH 中， AH ＝22AB BH -＝1，
在Rt △OBH 中，设OB ＝r ，
∵OH 2+BH 2＝OB 2，
∴（r ﹣1）2+（3）2＝r 2，
解得：r ＝2，
∴DB ＝2r ＝4，
在Rt △ABD 中，AD ＝22BD AB -＝2242-＝23，
∴AD 的长为23．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，恰当的添加辅助线是解题关键.
14．在△ABC 中，0090,60ACB BAC ∠=∠=，AC=2，P 为△ABC 所在平面内一点，分别连PA,PB ,PC ．
（1）如图1,已知，APB BPC APC ∠=∠=∠，以A 为旋转中心，将APB ∆顺时针旋转60度，得到AMN ∆.
①请画出图形，并求证：C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上；
②求PA+PB+PC 的值.
（2）如图2，如果点P 满足090BPC ∠=，设Q 为AB 边中点，求PQ 的取值范围.
【答案】（1）①详见解析；②27；（2）31312PQ PQ -≤≤+≠且；
【解析】
【分析】
（1）①欲证明C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上，只要证明∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°即可；
②只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN ，在Rt △CBN 中，利用勾股定理求出NC 即可； （2）如图2中，由∠BPC=90°，推出点P 在以BC 为直径的圆上（P 不与B 、C 重合），设BC 的中点为O ，作直线OQ 交⊙O 与P 和P′，可得PQ 的最小值为3-1，PQ 的最大值为3+1，PQ≠2，由此即可解决问题；
【详解】
（1）①证明：如图，
∵△APB ≌△AMN ，△APM 是等边三角形，
∴∠APM=∠APM=60°，
∵∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
∴∠APB=∠BPC=∠APC=∠AMN=120°，
∴∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°，
∴C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上；
②解：连接BN ,易得ΔABN 是等边三角形
∴∠ABN=60°，∵∠ABC=30°，
∴∠NBC=90°，
∵AC=2，
∴AB=BN=4，BC=23，
∵PA=PM，PB=MN，
∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，
在Rt△CBN中，CN=22
BC BN27
+=，
∴PA+PB+PC=27．
(2) 如图2中，
∵∠BPC=90°，
∴点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），
设BC的中点为O，作直线OQ交⊙O与P和P′，
可得PQ的最小值为3-1，PQ的最大值为3+1，PQ≠2，
∴3-1≤PQ≤3+1且PQ≠2．
PQ31PQ31PQ2
的取值范围是且
∴-≤≤+≠
【点睛】
本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
15．如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．
（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；
（2）如图3，当弧DC=弧AC时，延长AB至点E，使BE=1
2
AB，连接DE．
①求证：DE是⊙O的切线；
②求PC的长．
【答案】（1）26；（2）①证明见解析；②33﹣3．
【解析】
试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP，PD的长；
（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；
②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．
试题解析：（1）如图2，连接OD，
∵OP⊥PD，PD∥AB，
∴∠POB=90°，
∵⊙O的直径AB=12，
∴OB=OD=6，
在Rt△POB中，∠ABC=30°，
∴OP=OB•tan30°=6×=2，
在Rt△POD中，
PD===；
（2）①如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，
∵，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∴∠ABD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴OD⊥FB，
∵BE=AB，
∴OB=BE，
∴BF∥ED，
∴∠ODE=∠OFB=90°，
∴DE是⊙O的切线；
②由①知，OD⊥BC，
∴CF=FB=OB•cos30°=6×=3，
在Rt△POD中，OF=DF，
∴PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），
∴CP=CF﹣PF=3﹣3．
考点：圆的综合题。