数列综合选择20道练习

数列综合选择20道练习
一、单选题
1．等差数列{}n a 中，已知358a a +=，12a =，则公差d =（ ）
A ．43
B ．23
C ．1
D ．2 2．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且713n n S n T n
-=，则55a b =（ ） A ．3415 B ．2310 C ．317 D ．6227
3．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a ++
+=（ ） A ．15 B ．10 C ．5 D ．3
4．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4S B ．5S C ． 6S D ． 7S 5．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180 B ．160 C ．210 D ．250
6．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---⨯+，*n N ∈，
则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）
A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列
B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列
C ．·
n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·
n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 7．在数列{}n a 中，21n n a n +=
+，则{}n a （ ） A ．是常数列 B ．不是单调数列
C ．是递增数列
D ．是递减数列 8．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 9．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300
多年.下图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1，3，6，10，⋅⋅⋅构成的数列{}n a 的第n 项，则15a 的值为（ ）
A ．210
B ．150
C ．120
D ．118
10．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32
B ．33
C ．34
D ．35 1131-31+的等比中项是（ ） A ．－1 B ．1 C 2 D ．2±12．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（ ）
A ．350
B ．351
C ．674
D ．675 13．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ）
A ．40
B ．81
C ．121
D ．242
14．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ）
A ．45
B ．54
C ．99
D ．81
15．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，数列{}n b 满足1111n n n
b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
16．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是
等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ）
A ．3(4)f x x =+
B ．2()4f x x =
C ．3()4x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．4()log f x x = 17．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n
n N =∈，则{}n a 的通项公式为（ ） A ．2n a n =
B ．21n a n =-
C ．32n a n =-
D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩
18．已知等差数列{}n a ，55a =，88a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为（ ） A ．11n + B ．1
n n + C ．1n n - D ．11n n -+ 19．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3n n S b =+，则（ ）
A ．{}n a 是等比数列
B ．{}n a 是等差数列
C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列
D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列
20．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a ++
+=（ ） A ．()221n -
B ．()1213n -
C ．41n -
D ．()1413
n -
参考答案
1．B
【分析】
利用等差数列的基本量运算可得公差．
【详解】
351268a a a d +=+=，12a =，可得公差d =23
故选：B
2．D
【分析】
利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解.
【详解】 由713n n S n T n
-=， ()()1955199195519992791622923927
2
a a a a a a S
b b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选：D
3．A
【分析】
根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果.
【详解】
因为478a a ⋅=，
则()()5
2212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++= ()2475log 15a a =⋅=.
故选：A.
4．B
【分析】
根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值.
【详解】
依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩
，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S .
5．C
【分析】
首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案.
【详解】
因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列.
所以()()2155010=1050S --，解得15210S =.
故选：C
6．D
【分析】
由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项.
【详解】
解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，
∴当1n =时，有110S a a ==≠；
当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅，
又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，
1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，
令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，
故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；
因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数
列，故AB 错.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：
由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11
,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 7．D
【分析】 由21111
n n a n n +==+++，利用反比例函数的性质判断即可. 【详解】 在数列{}n a 中，21111n n a n n +=
=+++， 由反比例函数的性质得：{}n a 是*n N ∈时单调递减数列，
故选：D
8．C
【分析】
根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ．
【详解】
设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，
因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，
解得24q =或21q =-（舍），所以2q ，
又等比数列{}n a 的前4项和为30，
所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =，
∴2318a a q ==．
故选：C .
9．C
通过观察可得()11n n a a n n N
*+=++∈，通过累加法可得211,22n a n n n N *=+∈，从而可求出15a .
【详解】
解：由题意知，()11n n a a n n N *+=++∈，即()11n n
a a n n N *+-=+∈， 所以2132123 (1)
n n a a a a a a n +-=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=+⎩ ，则()21111323..12222n n n a a n n n n +--=++++=+=+， 即2211131312222
n a a n n n n +=++=++， 当2n ≥时，()()2213111112222n a n n n n =-+-+=+，当1n =时，111122
a =+=， 所以211,22n a n n n N *=+∈，则21511151512022
a =⨯+⨯=. 故选:C.
10．D
【分析】
设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出
(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=，结合等差数列的求和公式得出
111429m n =-，再由[]90,100m ∈求出n 的值.
【详解】
根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[]90,100m ∈，则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++= 则有291114n m +=，则111429m n =-，所以90111429100m ≤-≤
解得34.96635.31n ≤≤，因为年龄为整数，所以35n =.
故选：D
11．D
【分析】
利用等比中项定义得解.
2311(
)((2-==
，
的等比中项是故选:D
12．A
【分析】
先利用公式11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a +++
+的值.
【详解】 当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；
当2n ≥时，()()()2
2121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦
. 12a =不适合上式，
2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩. 因此，()()3251352512127512235022
a a a a a a ⨯+⨯++++
+=+=+=； 故选：A.
【点睛】 易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.
13．C
【分析】
根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.
【详解】
因为12234,12a a a a +=+=，所以2312
3a a q a a +==+，所以1134a a +=，所以11a =， 所以()5515113121113
a q S q --=
==--， 故选：C.
14．C
【分析】 利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可
【详解】
设数列{}n a 的公比为q ，因为341a a q =，所以3q =，所以24352299a a q q +=+=.
故选C
15．B
【分析】 由题意可得22
1114n n a a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-
，求得14
n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果 【详解】
解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n n a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1为首项的等差数列， 所以2114(1)43n
n n a =+-=-， 因为0n a >
，所以n a =，
所以1111n n n
b a a +=+=
所以14
n b ==，
所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+
11
1339(91)244
=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得
22
1114n n a a +-
=，从而数列21n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1
为首项的等差数列，进而可求n a =
，1
4
n b =
=，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 16．D 【分析】
把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1
n n
x x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果
为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】
对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所
以1n n
x x +为常数，
因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；
对于B ，函数2
()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝2
4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1
n n
x x +为
常数，
因此1n n y y +-＝()
2222
14441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；
对于C ，函数3()4x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n n x x +为常数，
因此1n n y y +-＝133()()44n n x x
+-＝3
3
()()144n q
x
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等
差数列；
对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n
x ，由于{x n }是等比数列，所以
1
n n
x x +为常数，
因此1n n y y +-＝11
4
44
4log log log log n n n n
x x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；
故选：D ． 【点睛】 方法点睛：
判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 17．B 【分析】
利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】
2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，
当1n =时，111a S ==，上式也成立，
()
*21n a n n N ∴=-∈，
故选：B. 【点睛】
易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即
11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，
考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 18．B 【分析】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出1,a d ，
即可得等差数列的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， ∵55a =，88a =，
∴11
4578a d a d +=⎧⎨+=⎩，
∴11
1a d =⎧⎨
=⎩
， ∴n a n =，
则
11111
(1)1
+==-++n n a a n n n n ， ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
的前n 项和为1111111111122334111n
n n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++； 故选：B. 【点睛】
方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
；（2）
1
k =；
（3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
；
（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦
； 此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 19．D 【分析】
根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项． 【详解】
由题意2n ≥时，11
1(3)(3)23n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯，
1
3n n
a a +=(2)n ≥， 113a S
b ==+，
若212333a a b
⨯==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列， 故选：D ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，
11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要求34
23
a a a a ==，还必须满足
3
212
a a a a =． 20．D 【分析】
由n a 与n S 的关系可求得12n n
a ，进而可判断出数列{}
2
n a 也为等比数列，确定该数列的
首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式. 【详解】
已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；
当2n ≥时，(
)(
)1
1122
2n
n n n n n a S S a a ---=-=---=.
由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n n
a ，所以，022a -=，解得1a =，
()1
2
n n a n N -*
∴=∈，则()
2
21
1
24n n n
a --==，2121444
n n n n a a +-∴==，且211a =，
所以，数列{}
2
n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，2
221
2
1441
143
n n n
a a a --+++==
-. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或1
1n n a a q -=进行求
解；
（2）前n 项和法：根据11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；
（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1
n
n a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，
0k ≠）.
一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1
b
m k =
-，可得出数列1n b a k ⎧
⎫+⎨⎬-⎩⎭
是以k 的等比数列，可求出n a ；
②取倒数法：这种方法适用于()1
12,n n n ka a n n N ma p
*--=
≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），
两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；
⑦1n
n n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的
两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.。