7-6安培力

1.电流的微观表示
由电流强度的定义：单位时间内通过导体 横截面的电量。
I q t
选取一段横截面
为 S 长为 v 的导体，
v
S
导体内电荷数密度为 n ，则该体积内电荷
nq
在 1 秒内全部穿过横
截面 S；
v 为电荷在电场作用下定向漂移速率， 则该体积内的电荷量为电流强度。
I nV 体q nvSq
V体 vS
F
a L
dF I 2B1 sin
a
dx
2
I1 dF x dx
aL B1
a L
a
I2
0 I1 2
dx x
0 I1I 2 ln a L
2
a
I2 x
例3：在均匀磁场中， 放置一半圆形半径 为 R 通有电流为 I 的 载流导线，求载流 导线所受的安培力。
I
oR
B
F⊙
解：由均匀磁场中曲线电流受力的结论： 半圆形电流受到的安培力相当于沿直径 电流受到的安培；
y
例: 半径为R的均匀带正电圆盘, 电荷面密度为 =kr，k为一常数。置于一匀强磁场中。当圆 盘以匀角速度绕过圆心，且垂直于圆盘平面 的轴逆时针方向旋转时（如图）, 求圆盘所受 磁力矩的大小和方向
z B
y
解：取半径为 r, 宽为dr的圆环, 电量
dq= 2rdr 环转动形成电流 dI = dq/T = dq / 2
§7-6
安培定律
一、安培定律
描写电流元在磁场中受安培力的规律。
由实验发现，
电流元在磁场中受
到的安培力大小： Id l
B
dF I dl B sin 写成等式：dF k I dl B sin
在 SI 制中：k = 1
dF I dl B sin
用矢量式表示：
dF Id l B 外磁场
方向：从 dl 右旋到 B，大拇指指向。
讨论
1）n 方向与 B 相同 2）方向相反
3）方向垂直
稳定平衡
不稳定平衡
力矩最大
++++++
I
++++++
+ F+ + + + +
+ + + + +B+
0, M 0
.....
.I
. F
.
.
.
.....
IF.F来自...π,M
.B .
0
B
π 2
,
M
M max
四、安培力与洛仑兹力的关系
载流导线内有大量的运动电荷，运动 电荷在磁场中要受到洛仑兹力，而载流导 体要受安培力，它们之间有什么关系？
2
Il1B
b
l2
Fbc
o'
Fab Fcd
F 0 .闭合载流回路整体上不受磁场力
回顾: 外力相对 于固 定O 点的力矩 M rF
俯视:
2Il1B
M
l2 sin 2
2 Fab
l2 sin
2
Il1l2B sin
ISB sin
o
Fda
d
l2 sin
2
o
Fcd
d (c) l2
a
Fcd
I
I
F ab d F ab Id l B 若a,b 两点重合？
I (ab d l ) B 由于 ab d l L
b
L
B
F IL B
a
I
F ILB sin
a,b
两点重合 b
b
F Idl B I ( dl ) B 0
a
a
dl
B
即，在匀强磁场中，闭合载 a
b
流回路整体上不受磁场力
I nvSq
安培力是大量运动电荷受 到的洛仑兹力的宏观表现。
选取一段电流元，
B
长为 dl，横截面积为 S，
假设在该体元内电荷
Id l
数为 dN，则dN 个电荷
受到的洛仑兹力为：
dN ndV 体 nSdl dF fLdN qvB sin n S dl
IdlB sin 与安培定律相同。
力。
aL
解：
建立坐标系,坐标原点选在 I1上，
分割电流元， 长度 为 dx ,
I1 在电流元处产生 的磁场方向垂直向 里，电流元受力方 向向上。电流元受 安培力大小为：
dF I 2dxB 1 sin
I1 dF
x dx o
aL B1
I2 x
其中
B1
0 I1 2x
,
2
分割的所有电流
元受力方向都向上， 离 I1 近的电流元受力 大，离 I1 远的电流元 受力小，所以 I2 受到 o 的安培力为：
2
0 I1I 2L 2a
I2 受到 I1 的引 力，同理 I1 也受到 I2 的引力，
I2
I1 F
L
a B1
即：同向电流相吸,异向电流相斥。
例2：在无限长载流
直导线 I1 傍，垂直
放置另一长为 L 的载
流直导线 I2 , I2 导线 左端距 I1 为 a，求导
I1
线 I2 所受到的安培
o
I2 x
四、利用安培定律解题方法 1.分割电流元； 2.建立坐标系； 3.确定电流元所受的安培力; 4.求分量 Fx、Fy；
Fx dF x , Fy dF y
5.由 F
Fx2
F
2 y
求安培力。
例1：在无限长载流直导
线 I1 傍，平行放置另一
长为L的载流直导线 I2 ,两 根导线相距为 a，求导线
I1
I2所受到的安培力。
解：
I2
L
a
由于电流 I2 上各点到电流 I1 距离相同， I2 各点处的 B 相同，
I2 受到的安培力方 向如图所示，安培
力大小：
F I 2LB 1 sin
其中
B1
0 I1 2a
2
I2
I1 F
L
a B1
F I 2LB 1 sin
F
I 2L
0 I1 sin 2a
环磁矩 dpm =r2dI 方向沿轴线向外,
环受磁力矩
z
r y
B
dM Bdpm kr4Bd
M dM
R kr 4Bdr
0
1 kBR 5
M Mk
5
B
l1
Fab
B a(b)
c n
n
b
l2
Fbc
o'
Fab
M ISB sin
o
载M流pm线圈 在IISS均nn匀磁B场单中位受：p的安m力培矩·为B米: 2
a l1
d
I
c
n
(
B pm )
N匝线圈:
pm NIS n
b l2 o'
注：线圈所受磁力矩的效果是使 pm与 B 趋于同向
上式不仅对矩形线圈成立，对于匀强磁场中任意形状的平面线圈 均成立；而且，对于带电粒子沿闭合回路运动以及带电粒子自旋 磁矩被看成为载流线圈时所受到的磁力矩也适用。
F ILB sin 2RIB
2
四、载流线圈在磁场中受力矩:
载流线圈在均匀磁场中受的力
da边受到安培力:
o
Fda
d
Fda
Il2B sin( 2
)
a
Fcd
I
bc边受到安培力: Fad Fbc
Fbc
Il 2 B
sin(
2
)
l1
Fab
c n B
ab 、cd边受到安培力:
Fab
Fcd
Il1B sin
Id l
B
dF
dF B
Id l
二、一段电流在磁场中受力
计算一段电流
在磁场中受到的安 培力时，应先将其 分割成无限多电流 元，将所有电流元 受到的安培力矢量 求和----矢量积分。
B Id l
F dF Id l B
三、均匀磁场中曲线电流受力
均匀磁场中曲线电流受的安培力，等 于从起点到终点的直线电流所受的安培力。
例: 半径为R的均匀带正电圆环, 电荷线密度为
，置于一匀强磁场中。当圆环以匀角速度
绕过圆心，且垂直于圆环平面的轴逆时针方向
旋转时（如图）, 求圆环所受磁力矩的大小和
方向
B
M
pm
B
沿z轴正方向
I dq q 2R R
pm
dt
T 2
ISi
R3 i
M
pm
B
ISi
Bj
z
R3Bk
B