2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯西部四旗高二上学期期末考试联考数学(理)试题

内蒙古鄂尔多斯西部四旗2018-2019学年高二上学期期末联考
数学（理）试题
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题：“R,30x x ∀∈>”的否定是（ ） A. R,30x x ∀∈≤ B. R,30x x ∀∈< C. 00R,30x
x ∃∈≤ D. 00R,30x
x ∃∈<
【答案】C 【解析】
命题“,30x
x ∀∈>R ”的否定是“00,30x
x ∃∈≤R ”.故选C.
2.数列{}n a 满足11a =，()130*n n a a n N ++=∈，则3a 等于（ ） A.
19
B. 19
-
C.
127
D. 127
-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递推公式可得数列{}n a 为等比数列,再求3a 即可.
【详解】因为()130*n n a a n N ++=∈,故11
3n n a a +=-,故数列{}n a 是以11a =为首项,13
-为
公比的等比数列.故2
311
139
a ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭.
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等比数列以及求数列中的某一项的方法.属于基础题.
3.下列点在曲线2229x xy y ++=上的是（ ） A. ()1,3- B. ()4,1- C. ()2,3-
D. ()3,2-
【答案】B 【解析】
由22
29x xy y ++=可以得到3x y +=或3x y +=-，依次代入各点，有413-+=-，故
点()4,1-在曲线上，选B.
4.已知等比数列{}n a 的前n 项和S n 32
n t
+=，则t ＝（ ）
A. ﹣3
B. ﹣2
C. ﹣1
D. 1
【答案】C 【解析】 【分析】
等比数列{}n a 的前n 项和32
n n t
S +=，分别求出1a ，2a ，3a ，由1a ，2a ，3a 成等比数列，
求出t 的值．
【详解】Q 等比数列{}n a 的前n 项和32
n n t
S +=，
1132
t
a S +∴==，
22193322t t
a S S ++=-=-=， 332279922
t t
a S S ++=-=
-=， 1a Q ，2a ，3a 成等比数列，
23392
t
+∴=
⨯， 解得1t =-． 故选：C ．
【点睛】本题主要考查实数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.“216x >”是“4x >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
试题分析：由216x >，解得4x <-或4x >，所以“216x >”是“4x >”的必要不充分条件，故选B ．
考点：充要条件的判定．
6.已知0x y >> 0m <，则下列结论正确的是（ ） A. mx my >
B.
m m
x y
> C. 22
mx my > D. 22
m m x y
> 【答案】B 【解析】 【分析】
由不等式的性质逐项分析判定即可
【详解】对A,
0x y >> 0m <,则mx my <,故A 错误； 对B,0x y >>，∴.
11x y <，又0m <，∴m m
x y
>,故B 正确； 对C
0x y >>则22,x y >又0m <，则22mx my <,故C 错误； 对D, 0x y >>，∴. 11,x y < ∴22
m m x y
<,故D 错误
【点睛】本题考查不等式性质，熟记基本性质，准确推理是关键，是基础题
7.若x，y满足不等式组
240,
220,
240,
x y
x y
x y
--≤
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪+-≤
⎩
，则z x y
=+的最小值为（）
A. 4
B. 8
5
C. 2
D.
2
5
【答案】D
【解析】
【分析】
画出可行域,再分析z x y
=+的最小值,即y x z
=-+的截距的最小值即可.
【详解】画出可行域有,故y x z
=-+在A处取得最小值,此时
8
2405
2206
5
x
x y
x y
y
⎧
=
⎪
--=
⎧⎪
⇒
⎨⎨
+-=
⎩⎪=-
⎪⎩
. 即
86
,
55
A
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
,故最小值
862
555
z=-=.
故选：D
【点睛】本题主要考查了线性规划的基础方法,属于基础题.
8.双曲线()
22
22
100
x y
a b
a b
-=>>
，的一条渐近线2
y x
=，则该双曲线的离心率e=（）A. 3 B. 5 C. 5 D. 2
【答案】B
【分析】
根据渐近线的斜率求解基本量之间的关系,再求解离心率即可.
【详解】因为一条渐近线2y x =,故2b a =,
故e ===故选：B
【点睛】本题主要考查了双曲线中的渐近线与基本量的求解.属于基础题.
9.P 为抛物线y 2＝﹣4x 上一点，A （0，1），则P 到此抛物线的准线的距离与P 到点A 的距离之和的最小值为（ ） A.
1
2
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】
【
分析】
通过抛物线方程可知焦点(1,0)F -，利用两点间距离公式可知||AF =
义可知点P 到准线的距离d 与||PF 相等，P 到此抛物线的准线的距离与P 到点A 的距离之
和的最小值．
【详解】Q 抛物线方程为2
4y x =-，∴焦点(1,0)F -， 又(0,1)A Q ，||AF ∴ 由抛物线定义可知点P 到准线的距离d 与||PF 相等， ||||||||d PA PF PA AF ∴+=+=…
故选：D ．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
10.已知P 是椭圆2
212
x y +=上任一点.O 是坐标原点，则OP 中点的轨迹方程为（ ）
A. 2
2
12
y x +=
B. 22
21x y +=
C. 22241x y +=
D.
2221x y +=
【解析】
设OP 的中点为(),x y ，则()2,2P x y ，又P 在椭圆上，故
()()2
2
2212
x y +=，化简得
22241x y +=，选C.
点睛：在轨迹问题中，如果所求动点M 的轨迹与已知曲线上的动点P 相关，我们可设出动点M 的坐标，再用M 的坐标去表示P 的坐标，把它代入已知曲线得到M 的轨迹方程（也就是常说的动点转移法），轨迹方程求出后注意检验.
11.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 锐角三
角形 【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案．
【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：
sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，
即有sin sin a A c C =，
又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ．
【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题． 12.若不等式ax 2+2x +2b ＞0的解集为{x |x 1
a
≠-}，则（2a +1）（4b +1）的取值范围是（ ） A. [2，8] B. [6，9]
C. [8，+∞）
D. [9，+∞）
【答案】D 【解析】
依题意，可得1
2
ab =
，所求式子展开，利用基本不等式即可得解． 【详解】由题意知，0a >，480ab ∆=-=，则12
ab =
， 故(21)(41)82415245289a b ab a b a b ab ++=+++=+++=…
， 当且仅当“21a b ==”时取等号． 故选：D ．
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及基本不等式的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若“x a >”是“2230x x -->”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________________. 【答案】[
)3,+∞ 【解析】
由2230x x -->，解得3x >或1x <-.
“x a >”是“2230x x -->”的充分不必要条件，所以3a ≥. 点睛：设,p q 对应的集合分别为,A B ，则有以下结论： （1）若p q 是的充分条件，则A B ⊆； （2）若p q 是的充分不必要条件，则A B ；
（3）若p q 是的充要条件，则A B =．
根据所给的命题间的充分必要性求参数的取值范围时，要学会根据以上结论将问题转化成集合间的包含关系去处理．
14.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的实轴长为2，虚轴长为4，则该双曲线的焦距为
________．
【答案】【解析】 【分析】
根据双曲线的基本量关系求解即可.
【详解】由题意,22a =,24b =,得1a =,2b =．
c ∴==
∴
双曲线的焦距为
故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线中基本量的求解,属于基础题.
15.若抛物线C 1：y 2＝4x 与抛物线C 2：x 2＝2py （p ＞0）异于原点O 的
交点A 到抛物线C 1的焦点的距离为3，则抛物线C 2的方程为_____ 【答案】x
2=【解析】 【分析】
利用抛物线交点，结合交点A 到抛物线1C 的焦点的距离为3，计算求得p ，即可求得抛物线2C 的方程．
【详解】由22
420y x x py x ⎧=⎪=⎨⎪≠⎩
，可得2316x p =，13x +=Q ，2x ∴=，
2816p ∴=
，p ∴=
∴抛物线2C
的方程为：2x =．
故答案为：2x =．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质、抛物线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，考查计算能力．
16.已知等差数列{}n a 中，13a =，57a =，则数列{
1
2
n n a a +}的前97项的和T 97＝_____．
【答案】
97150
【解析】 【分析】
设等差数列的公差为d ，运用等差数列的通项公式可得d ，求得12211
2()(2)(3)23
n n a a n n n n +==-++++，运用数列的裂项相消求和可得所求和． 【详解】等差数列{}n a 的公差设为d ，13a =，57a =， 可得347d +=，解得1d =，312n a n n +-=+=， 12211
2()(2)(3)23
n n a a n n n n +==-++++， 则971111111197
2()2()3445991003100150
T =-+-+⋯+-=-=．
故答案为：
97
150
． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 为ABC ∆的面积，
若
2cos 0S A =．
（1）求cos A ； （2
）若3a b c =
-=，求,b c 的值．
【答案】（1）1
2-；（2）52b c =⎧⎨=⎩
【解析】
【试题分析】（1）利用三角形的面积公式化简题目所给等式可求得A 的大小，进而求得
cos A 的值.（2）结合（1）用A 的余弦定理，化简得出10bc =，结合3b c -=可求出,b c
点的值. 【试题解析】
（1）由1
sin 2
S bc A =
有sin cos 0bc A A =，
得tan A = 由0A π<<可得23A π=，故21cos cos 32
A π==-． （2）由余弦定理有：222
22cos 3
a b c bc π=+-，得2239b c bc ++=，即
()2
339b c bc -+=，可得10bc =，由510b c bc -=⎧⎨=⎩，解得：5
2b c =⎧⎨=⎩
．
18.设双曲线M 的方程为2
219x y -=.
（1）求M
实轴长、虚轴长及焦距；
（2）若抛物线()2
:20N y px p =>的焦点为双曲线M 的右顶点，且直线()0x m m =>与抛物线N 交于A B 、两点，若OA OB ⊥(O 为坐标原点），求m 的值. 【答案】(1)实轴长26a =，虚轴长22b =，焦距2c =【解析】
试题分析：（1）由椭圆方程可得a,b,c ，即得实轴长、虚轴长及焦距；（2）先求p ，再根据
OA OB ⊥以及对称性得A,B 在直线y x =±上，代入抛物线方程可得m 的值.
试题解析：（1）∵2
2
2
2
2
9,1,10a b c a b ===+=， ∴3,1,a b c ===∴M 的实轴长26a =，虚轴长22b =，焦距2c =（2）∵M 的
右顶点为()3,0，
∴
32
p
=，∴6p =，N 的方程为212y x =. 当x m =时，y =(
(
,,A m B m ，
∵OA OB ⊥，∴2120OA OB m m ⋅=-=u u u v u u u v
，∵0m >，∴12m =.
19.命题:p “方程2410x mx -+=有两个正根”．命题:q “方程2
2(1)10x m x +-+=无实
根”，这两个命题有且只有一个成立，试求实数m 的取值范围． 【答案】1
12
m -<<或1m ≥ 【解析】
试题分析：先根据二次方程实根分布得命题p 为真时实数m 的取值范围，再根据判别式小
于零得命题q 为真时实数m 的取值范围，最后根据两个命题有且只有一个成立，分两种情况讨论，分别求解，再求并集
试题解析：命题p 为真时：2121640,40,
m x x m ⎧∆=-≥⎨+=>⎩解得12m ≥， 命题q 为真时：()2
180m ∆=--<
，解得11m -<<， 当p 真q
假时：1,211m m m ⎧≥⎪⎨⎪≥≤-⎩
或
故有1m ≥，
当p 假q
真时：1,211,m m ⎧<⎪⎨⎪-<<⎩
故有112m -<<， 实数m
的取值范围为：112
m -<<
或1m ≥. 20.设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，其中25=5=35a S ，．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若S n ，
a n +1+1），S n +2成等比数列，求正整数n 的值．
【答案】（1）a n ＝2n +1；（2）n 的值为4．
【解析】
【分析】
（1）等差数列{}n a 的公差设为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到通项公式；（2）运用等差数列的求和公式和等比数列的中项性质，解方程可得值．
【详解】（1）等差数列{}n a 的公差设为d ，前n 项和为n S ，其中25a =，535S =， 可得15a d +=，151035a d +=，解得13a =，2d =，
则32(1)21n a n n =+-=+；
（2）213(1)222
n S n n n n n =+-⨯=+， n S
，11)n a ++，2n S +成等比数列，可得2128(1)n n n a S S +++=，
即为2228(24)(2)[(2)2(2)]n n n n n +=++++，
化为24320n n +-=，解得4(8n =-舍去），
则n 的值为4．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
21.已知点P 是圆O ：x 2+y 2＝3上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M
满足PQ =u u u r u u u r ．
（1）求点M 的轨迹C 方程；
（2）若F 1，F 2
的坐标分别为()
，)
，点3122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，过F 1作直线l 1⊥NF 1，过F 2作直线l 2⊥NF 2，求证：l 1，l 2交点在M 的轨迹C 上．
【答案】（1）2
213
x y +=；（2）见解析 【解析】
【分析】
（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，则0(Q x ，0)，由向量等式把P 的坐标用M 得坐标表示，再把P 得坐标代入圆O 的方程可得点M 的轨迹C 方程；（2）分别求出1l ，2l 的方程，联立解交点，代入点M 的轨迹C 方程验证得答案．
【详解】（1）解：设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，则0(Q x ，0)，且22003x y +=，
Q 0(0,)PQ y =-u u u r ，0(MQ x x =-u u u u r ，)y -
，且PQ =u u u r u u u r ，
∴00
0x x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
，则00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 代入22
3x y +=，得点M 的轨迹方程为2233x y +=， 即2
213
x y +=；
（2）证明：Q 112332222F N k ==++， ∴过1F 且垂直于1F N
的直线方程为(322)(2)y x =-++，
Q 21
2332222F N k ==--，
∴过2F 且垂直于2F N 的直线方程为(322)(2)y x =---，
由(322)(2)(322)(2)y x y x ⎧=-++⎪⎨=---⎪⎩，得3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 1l ∴与2l 交点为31(,)22
-，
又22131191()()1322344-+=⨯+=， 1l ∴与2l 交点在M 的轨迹C 上．
【点睛】本题主要考查利用待定系数法求椭圆的标准方程，考查直线方程的求法，考查计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
22.如图，椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点为12,F F ，右顶点为M ，上顶点为N ，若OP MN P ，1PF 与x 轴垂直，且1422MF =+.
（1）求椭圆方程；
（2）过点()3,0且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于A B 、两点，
已知点(),0C t ，当()0,1t ∈时，求满足AC BC =的直线AB 的斜率k 的取值范围.
【答案】(1) 22
1168
x y += (2) ()()1,00,1k ∈-⋃
【解析】
试题分析：（1）由两条直线平行可得1bc PF a
=，由点P 在曲线上可得其纵坐标为2
b y a
=，由两者相等可得b c =，
结合14MF a c =+=+，解出方程组即可；（2）设直线AB 的方程为：()()30y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立利用根与系数的关系得到12x x +和12y y +，线段AB 的垂直平分线方程为，求出与x 轴的交，由交点横坐标列出不等式，解出即可得出结果.
试题解析：(1)设()1,0F c -，由1PF x ⊥轴，OP MN P 知，1
PF b C a
=，∴1bc PF a =， 又由22221c y a b +=得2
b y a
=，∴2b bc a a =，∴b c =，
又14MF a c =+=+2222a c b c -==，
∴216a =，22
8b c ==，∴椭圆方程为22
1168x y +=. (2)设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为：()()30y k x k =-≠，
联立()22
31168
y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222121218160k x k x k +-+-=，
()21212122212661212k k x x y y k x x k k k
+=+=+-=-++，， 设线段AB 的垂直平分线方程为：1212122y y x x y x k ++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
. 令0y =，得()
2
1212232212k y y x x k x k
++=+=+， 由题意知，C 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以222301112k k k
<<⇒<+，且0k ≠，所以()()1,00,1k ∈-⋃.
点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题；利用待定系数法求椭圆的方程，根据题意列出两个关于,,a b c 的方程组结合222a b c =+即可，直线与椭圆相交时正确运用一元二次方程的根与系数的关系是解题最常用的方法.。