高中数学 第四章 数系的扩充 高考复数五大热点拓展资料素材 北师大版选修1-2

高考复数五大热点
复数是初等数学与高等数学的重要衔接点，它的涉及面广，每年高考都有关于复数问题的内容. 为了帮助同学们复习好这部分内容，本文对历年高考复数题进行研究，总结出活跃在高考中的五大热点，供参考.
一、概念型
主要考查复数的实部、虚部、模、虚数、纯虚数及共轭复数等概念. 其解法是正确理解概念，充分运用模、纯虚数、共轭复数等性质来解题.
例1(2010年高考浙江卷) 对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是
（A ）2z z y -= （B ）222z x y =+
（C ）2z z x -≥ （D ）z x y ≤+
分析：只需紧扣共轭复数、模等等概念，即可解题．
解：由()i ,R z x y x y =+∈，则有i z x y =-，对于(A)、(C)，2||z z y -=，故排除
(A)、(C)；对于(B)，2222z x y xyi =-+，故排除(B)；对于(D)，由于z ＝
||||||x y x y =+≤+，故选(D)．
点评：求虚部或实部，应注意两点，一是代数形式中a ，b 必须是实数，二是虚数是实数，即不带i ．常见充要条件有：⑴共轭复数⇔实数相同，虚部相为相反数的两个复数；⑵复数是实数⇔虚部为零；⑶纯虚数⇔实数为零，且虚部不为零，等．
二、位置型
主要考查复数所对应向量所在象限及常见及对应关系，用数形结合法来解决
例2 (2010年高考北京卷) 在复平面内，复数21i i
-对应的点的坐标为 分析：本题是判断复数对应点坐标，应先化简为z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则点(a ，b )为复数对应的点的位置．
解：∵21i i -＝2(1)221(1)(1)2
i i i i i i +-==-+-+，∴复数z 所对应的点为()1,1-． 评注：此类题主要考查复数在坐标系内复数与点的对应关系.
三、计算型
主要考查用复数的代数形式的运算法则，进行加、减、乘、除、乘方等计算，同时还要掌握常见的结论，如i n 的周期性，ω的系列性质以及(1±i )2=±2i 能提高运算速度.
例3⑴例3⑴(2010年高考全国卷Ⅰ)复数3223i i
+-＝( ) (A) i (B) －i (C) 12－13i (D) 12＋13i
⑵(2010年高考福建文科卷) i 是虚数单位，4
11i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭
等于 (A) i (B) －i (C) 1 (D)－1
⑶(2010年高考四川卷) i 是虚数单位，计算23i i i ++=
（A ）－1 （B ）1 （C ）i - （D ）i
分析：直接用运算法则计算即可． 解：⑴分母实数化，得3223i i +-＝2
(32)(23)6136(23)(23)13
i i i i i i i ++++==-+，故选(A)． ⑵由于11i i i +=-，则有411i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭
＝i 4＝1，故选(C)． ⑶23i i i ++=i －1－i ＝－1，故选(A)．
评注：在复数的计算中，熟用常见的结论：(1±i )2＝±2i ，(1－i )(1＋i )＝2，11i i i +=-，n i 周期性以及ω的系列性质等，往往能快速解题．
四、参数型
主要是指解复数方程、或求复数方程中的参数．
例4⑴ (2010年高考辽宁卷) 设a ，b 为实数，若复数
121i i a bi +=++，则 （A ）31,2
2a b == (B) 3,1a b == (C) 13,22
a b == (D) 1,3a b == ⑵(2010年高考江西卷) 已知()(1)x i i y +-=，则实数,x y 分别为
A ．1,1x y =-=
B ．1,2x y =-=
C ．1,1x y ==
D ．1,2x y ==
分析：先计算，用复数相等的充要条件即可解决．
解：⑴由已知，得12(12)(1)311(1)(1)22
i i i a bi i i i i ++-+===+++-，由复数相等的充要条件，得31,22
a b ==，故选(A)． ⑵由题意得()(1)(1)(1)y x i i x x i =+-=++-，由复数相等的充要条件，得
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x y x +=⎧⎨-=⎩，解得x ＝1，y ＝2，故选(D)． 评注：通常是用复数的性质以及复数相等的充要条件，转化为实数方程来解决，同时要注意a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d ，应注意a ，b ，c ，d ∈R ．
五、交汇型
交汇型是指把复数和其它代数或几何知识有机结合起来的问题，同时也包括复数内容本身的综合，它涉及模、共轭复数以及运算等．
例5(2010年高考福建卷) 对于复数,,,a b c d ,若集合{},,,S a b c d =具有性质“对任意
,x y S ∈,必有xy S ∈”，则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩
时,b c d ++等于 ( )
(A) 1 (B) －1 (C) 0 (D) i
分析：本题是复数与集合的交汇题，利用复数知识，先求出b 与c ，再求d ．
解：由b 2
＝1及a ，b 不能相同，得b ＝－1，则c ＝±i ．
因此{a ，b ，c }有两种可能，即{1，－1，i }，或{1，－1，－i }．
对于第一种情况，由于－1×i ＝－i 不在a ，b ，c 中，故d 只能取－i ．
对于第二种情况，由于－1×(－i )＝i 不在a ，b ，c 中，故d 只能取i ．
以上两种情形都有b ＋d ＋c ＝－1，故选(B)．
评注：由于是选择题，只取符合题意的一种情形也可．在知识交汇点命题，是高考数学的一个重要特点．。