广东省揭阳市高二数学下学期学业水平考试(期末)试题文

揭阳市2016－2017学年度高中二年级学业水平考试
数学（文科）
（测试时间120分钟，满分150分)
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3。

回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a
（A ）2-
（B ）1- （C ）1 （D ）2
（2）若集合{}0,1,2A =，{}
2
4,B x x x N =≤∈，则A B =
（A){}20≤≤x x （B ）{}22≤≤-x x （C ）｛0,1，2｝ （D ）{1，2}
（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α,β内。

则“直线a 和直线b 没有公共点”是
“平面α和平面β平行”的 （A)充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 (C ）充要条件
（D)既不充分也不必要条件
（4）若()1sin 3πα-=，且2
π
απ≤≤,则sin 2α的值为
（A ）42 （B ）22 （22 （D 42
输入x 图1
否
是
结束
输出y x=y
|y-x|<1?
y=1
2x-1开始
图2
俯视图
侧视图
主视图
25
4
4
(5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为
（A)23 （B)15 （C ）52 （D ）1
4
（6）已知抛物线2
y x =的焦点是椭圆22
213
x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为
（A ）
3737 （B)13
13
（C ）14 （D ）17
（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是
（A)3()35f x x x =--+ （B)()24x f x =-
（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）
1
()2f x x
=-+ （8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=
（A)
10 （B ）310 (C ）10 （D ）
15
（9)在图1的程序框图中，若输入的x 值为2,则输出的y 值为
（A ）0 （B ）12 （C)1- (D)32
-
(10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是
(A)76 （B ）70 （C ）64 （D ）62 （11)设2()3,()ln(3)x f x e g x x =-=+,则不等式
(())(())11f g x g f x -≤的解集为
（A)[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- (D ）(3,5]-
(12） 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x <，则a 的取值范围为 （A)∞（-,-2） （B ）
1∞（-,-) （C ）(1,+)∞
（D ）(2,)+∞
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第(21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22）题~第（24)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
D
C 1
C
A
（13）函数()3sin cos f x x x =+的最小正周期为 ．
（14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 。

(15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B 。

若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥，
则实数a 的取值范围为 .
(16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c .已知2,b =3
B π
=
，且△ABC 的面
积3S =，则a c += .
三、解答题:本大题必做题5小题,选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =,数列{}n n b a -为等比数列．
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18)(本小题满分12分）
某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车"的使用.问：
（Ⅰ)应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；
（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车,高一级学生都租Y 型车。

如果从组内随机抽取2人,求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率. (19）（本小题满分12分）
如图3,已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点,AC⊥平面BCC 1B 1．
（Ⅰ）证明:AB//平面CDB 1； (Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1=3， (1）求BD 的长；
(2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积。

图3 （20）（本小题满分12分）
已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点.
（Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21)(本小题满分12分）
已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ)求函数()f x 的极值；
(Ⅱ）若对任意1,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，都有()213022f x x ax +++≤成立,求实数a 的取值范围．
请考生在(22)、（23)两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分。

（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1
4
，得曲线C . （Ⅰ)写出C 的参数方程；
(Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程。

(23)（本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-,解不等式5)(≥x f ；
(Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-,求a 的取值范围．
揭阳市2016－2017学年度高中二年级学业水平考试
数学(文科）参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：
部分解析：
（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯. （11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意
到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.
（12)当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，
2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2
x a
=
，由题意知，0a >，且2
()0f a
>，解得2a >． 二、填空题：
（15）问题转化为求直线l 与圆2222x y +=有公共点时，a 的取值范围，数形结合易得
2222a -≤≤.
（16）由余弦定理得2222cos 4b a c ac B =+-=，即224a c ac +-=，
13sin 324
S ac B ac =
==，得4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：
（17）解:(Ⅰ)由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==
∴公差41
13
a a d -=
=， —----—------———-———-—--——--——--—-—--—---——----—------—--—--—-----—----——————-—1分
∴1(1)n a a n d n =+-=，--—-——--—-——-—--——--—----—----————--—-—-—------—---—-—--—-————--——---——--————-3分
∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22
11
3b a q b a -=
=-，--—-——-———--—-------—-——----------——---------————-—--—-———-5分
∴11
11()3n n n n b a b a q ---=-=，
∴1
3n n b n -=+；--——---———--———---—-————--——-—---—-—-—--——
——---——---———--——----—-—-—-——-—-—----——--—--——-——7分
(Ⅱ）由1
3n n b n -=+得
21(12)(1333)n n S n -=++
+++++
+-------——-—-——---——--——---——--——
-——---—--——--——----—-—--9分
(1)31
231
n n n +-=+
- 3(1)12
n n n ++-= -——--——--———-———---—----—--—----—-—-——-—--—-—--———-——----—--————-—————————-——--————— 12分
（18）解：（Ⅰ)依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为5
6=29+6
⨯， ---—-—2分
高二学生的人数为:5
9=39+6
⨯； ———-—--—-——-——-——-—-———--—————-—-————--—-——-——--————-—--———-—-—--——4分
(Ⅱ）解法1:记抽取的2名高一学生为12,a a ,3名高二的学生为123,,b b b ，-—--————---—5分
则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2，b 1）, (a 2，
b 2），
（a 2,b 3)， (b 1，b 2）, （b 1,b 3）, (b 2，b 3),共10种可能； --—-—--—---——-———-——-—---—-—-—-——-————————--——--—-——------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的
有:111213(,),(,),(,)a b a b a b ,212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，--—-—-——--—-—-—--———---—---—-——-—-—--—-—-—10分 故所求的概率9
10
P =
.---——---—--——--————-——------—-—-——--—-—---——--———-—-————--——--—-—-—-———-—-—-—-—-—---—-———12分 【解法:2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，—--—---—--———-——-——----—5分
则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，
212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；————----—--------—---——---
———-————-—-—8分
其中所抽的2人都不租X 型车的有:12(,)a a 一种，——--------—-——-—--———————-————-—---—————-——--—---9分 故所求的概率19
11010
P =-
=。

E
A
B
C
B 1
C 1
D
—--———-————-———-—-—---—--———---——-———-—-———————-——-—-—-----—----———---——-—-12分
(19）解：(Ⅰ）证明:连结1BC 交1B C 于E ，连结DE, -———-————-—-—-—-—-———--———---———--—----——-1分 ∵D、E 分别为1AC 和1BC 的中点,
∴DE//AB，——------—---—————--——————--—----—-—---——---—----—--——-2分
又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,
∴AB//平面CDB 1；—--—---—--———-—-——-——--———--—-—--—--——-—--—-—4分
（Ⅱ）(1)∵AC⊥平面BCC 1B 1,BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥，
又∵1BC CC ⊥，1AC CC C =， ∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,
∴BC CD ⊥,——-—--—-————-----—-——--—-—--—--—-——-——-———--——--—-----—-----———-—-------—--—-—————----—--———-——--———6分 在Rt BCD ∆，∵BC=1,221111122
CD AC AC C C =
=+=, ∴2BD =； -——---——--——--—-————-——--————-—---—-—————-————--—--—---—---——-—---—-——------———---——-—--—-—————--—--8分
【注:以上加灰色底纹的条件不写不扣分!】 (2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1
∴11B C ⊥平面1CC A ,—————--————-——--—--—-—------——-————---—-—-
————————-———-—-----———--—---———-——-———--——-----10分
∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅113
13134=⨯⨯⨯⨯=. -—--—-———--——-----—-—-—
-—-—-——-——12分
【解法2：取1CC 中点F,连结DF ，
∵DF 为△1ACC 的中位线，∴DF//AC ，—--—--—----—-—-——--——--—-—-—--—-—-—-----—-————-—————--—-—————--————9分
∵AC ⊥平面11CBB C ,从而可得DF ⊥平面11CBB C ，———---———-—---——-————-—--—-—------————-——-—---10分
∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅1113
1332212
=⨯⨯⨯⨯=. ————-————--------———
—-—-———-—---12分
（20）解法(Ⅰ）将2
2
4230x y x y +---=化为标准方程
得:222(2)(1)(22)x y -+-=， —----—------———-—-————-—--———-—-—--——--——------——---——-—-----———--—---———-——1分
可知圆心C 的坐标为(2,1)，半径22r =,
设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-，———-——-——---——-—---———--—----——-—-—-———2分 依题意知CP AP ⊥,
∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--=
整理得:222210x y x y +--+=， -———----————-——-—-—-—-———-——-—--—-———---—-——-—----————————-—-———————-———4分 ∵点A 在圆C 内部， ∴直线l 始终与圆C 相交, ∴点P 的轨迹方程为222210x y x y +--+=。

—--—————----—————----—————-----—---————--———------—-——---—6分
（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,
若直线l 与x 轴垂直，则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---=
得2230y y --=，解得1y =-或3y =,
不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-，不符合题设， —--—————---—-—-—-—--——---—-———--—--—-—-—-—---—--7分
设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+，
由224230,1.
x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得：22(1)440k x x +--=, --—---—-——-——--—--—--————----———8分
216(2)0k ∆=+>, 则12122244,11x x x x k k
+==-++,--——-———-----—-----———-—————--——--—--———--—————-—--———--—--—————-—--——-—9分
由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-, ∴22244(1)1211k k k k
-+++=-++2410k k ⇒-+=，
解得：2k =±-——-— ——————-——---—-----—-----—--—-———-----—---—-——-—--———---—-————--—--——-——----—---—-——----11分
∴当2OM ON ⋅=-时，直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =+. --—————--—-———12分
（21)解：（Ⅰ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,
∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e
=,——----——-———-——--——-———-————-—-——--—--—-——---———---—--—-—-—--2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e
>时，'()0f x >,
∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e
+∞上单调递增，-——-——-—-----———-—--—---—--—-----———---—4分
∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e
==-极小,-—-———-----——————-—————--—5分 （Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，由()213022f x x ax +++≤,得3ln 22x a x x ≤---，———--————--—--6分
记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 则()()()22
31113222x x g x x x x +-'=--+=-， 当∈x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x < ∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增,在()1,e 上单调递减，--—-———-—---—-———--——————————-——-——————-—----————-—9分 又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，()3122e g e e =---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭
，—---—--——-——--—---—————-———--——--——-----—---——-——10分
故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 即实数a 的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝
⎦．-—————————-——---—-————-—----——-------——-————---—————---—-—--12分
选做题：
（22)解：(Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-—-—-————————-——---———--————————————-2分
代入221x y +=中得2216''1x y +=，-—--------—-——-———-——--——-—-——-——-—-—-————--———-———-—--—-—-————---——3分
故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .
x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；-—-——--------—--------—--—-—-——-——--—-—--——-——-—-——-5分
（Ⅱ）由题知,121(,0),(0,1)4
P P --,-—-——-—--———--——————-----——---——-——————-—--—-———-—-—-—--——-——--—-——-6分
故线段P 1 P 2中点11(,)82
M --，-—--—---———---—----—-—---—-—--—--——----—-—------—-—--—-——-——---——---——-——-—7分
∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14
， 故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248
y x +=+-—--—---—---—-———-—---——--—--———-———-———-——----——-—-—-8分
即832150x y --=,将cos ,sin x y ρθρθ==代入得
其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=——-—-—-——-———---————-—--—-——---——————-—----——----—--——-—--10分
(23）解:（Ⅰ)当a ＝－2时，f （x ）＝｜x －2|＋｜x ＋2|，
①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52
x ≤-；-——---—————-----—-—----—-1分
②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；—---—----————-—————---————----—------——-—---——-----2分
③当2x >时,原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥,从而52
x ≥;—-—--—--———--
—-———-———-——----———-—3分 综上得不等式的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或。

--—--————--——-———----—--———-—————————-——-——----———-—-————-----—-5分
（Ⅱ)当x R ∈时,|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ——--————--————--——-—-----------——-—--—-7分
所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥---—-—（*）
当2a ≥时,（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52
a ≥;—-—-—-—---—----——----——-—-——-—-——-8分
当2a <时,（*）等价于23,a a -≥-无解；—--—-—--———-——-———————————-—---—---———-————-——--——————-—--—-9分
故所求a 的取值范围为5[,+2∞）. -——----—---—-————----—-—-----—---———-—---———----————-——-——----———--—————--10分
尊敬的读者：
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