湖南雅礼中学高三第三次月考数学理

湖南炎德英才大联考·雅礼中学2010届高三十月（第三次月考）质量检测
数 学（理工农医类）
命题：高三数学备课组 审卷：高三数学备课组
说明：本试题卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分．时量120分钟．满分150分．考试范围:集合、函数与导数、不等式、数列、三角函数、向量、复数．
第I 卷
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置. １．设集合则},2|{},0|{2<=<-=x x N x x x M （A ）φ=N M
I （B ）M N M =I
（C ）M N M =Y （D ）R N M =Y
２． 复数(1+i)2
1－i
等于( )
A.1－i
B.1+i
C. －1－i
D.－1+ i ３．已知函数y=sinx+acosx 的图象关于53
x π
=对称，则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是 （ ）
A. x =11π/6
B. x =2π/3
C. x =π/3
D. x =π
４．已知,OA a OB b ==u u u r u u u r r
r ，C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上
距C 较近的一个三等分点，则用b a ρ
ρ,表示OD u u u r 的表达式为 （ ）
B . )79(161b a ρρ+ C. )2(31b a ρρ+ D. )3(41b a ρ
ρ+ 提示：AB b a =-u u u r r r ，22,,33DB CB CB AB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ∴55()99AD AB b a ==-u u u r u u u r r r
，
OD OA AD =+u u u r u u u r u u u r
.
５．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等
比数列，则b 2(a 2－a 1)＝ （ ） A ．8 B ．－8 C ．8± D ．9
8
答案： B ．解析：2
212221198,9,()8413
a a d
b b a a -+-==
==∴-=--. ６．设函数21
()122
x x f x =-+，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 A .{}0 B . {}2,0- C . {}1,0,1- D .{}1,0- ７．若b a <<0，且1=+b a ，则下列各式中最大的是（ ） （A ）1- （B ）1log log 22++b a
（C ）b 2log （D ）)(log 3
2
2
3
2b ab b a a +++
８．设奇函数f (x )在[-1，1]上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at -+≤对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是（ ） A ．22t -≤≤
B ．112
2
t -≤≤
C ．220t t t -=或或≥≤
D ．1102
2
t t t -=或或≥≤
第II 卷
二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡．．．
中对应题号后的横线上． 9．在边长为1的正三角形ABC 中，设,,BC a AB c AC b ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则a c c b b a ρρρρρρ⋅+⋅+⋅的
值是 5.0 提示：12a b ⋅=r r ，12b c ⋅=r r ，12
c a ⋅=-r r
.
10．在直角坐标系xoy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y=
则sin()6
π
α+
的值为
11．若关于x 的方程3
23()2
5x
a a +=
-有负数根，则实数a 的取值范围为 23
(,)34
-
12．函数29()12f x x x =
+
-（1
(0,)2
x ∈）的最小值为 25 13．给出下列四个结论：
① 函数sin y x =在第一象限是增函数； ② 函数1cos 2y x =+的最小正周期是π ③若2
2
,am bm <则a b <；
④函数()sin f x x x =-（x R ∈）有3个零点； ⑤对于任意实数x ，有()(),()(),f x f x g x g x -=--= 且x>0时,()0,()0,f x g x ''>>则x<0时()().f x g x ''>
（填上所有正确结论的序号）
14．已知点P ()2,2在曲线3
y ax bx =+上，如果该曲线在点P 处切线的斜率为9，那么
（i ）ab =____________；（ii ）函数()3f x ax bx =+，3
[,3]2
x ∈-的值域为____________. 答案：－3；[－2,18] 15． 数列{}n a 中， 135
a =
， （i ）若13,21n n n a a a +=+则n a = ；332
n
n +
（ii ）若113,21n n n n a a a ++=+则n a = 答案：1
362
n
n n ++ 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知 (5,0)A 、(0,5)B 、(cos ,sin )C αα，且(,2)αππ∈,
（Ⅰ）若AB OC ⊥u u u r u u u r （O 为坐标原点），求角α的值；（Ⅱ）若2AC BC ⋅=u u u r u u u r ，求22sin sin 22(1tan )
αα
α-+的值.
解（Ⅰ）(5,5),(cos ,sin )AB OC αα=-=u u u r u u u r
Q ,而AB OC ⊥u u u r u u u r ,∴0AB OC ⋅=u u u r u u u r
代入化简得 ααcos sin = 又(,2)αππ∈,54
πα∴=
. （Ⅱ）由2AC BC ⋅=u u u r u u u r
，得(cos 5)cos sin (sin 5)2αααα-+-=
1sin cos 5αα∴+=
, 12sin cos 25αα∴⋅=- ,由于 242sin cos 025
αα⋅=-<,且(,2)αππ∈,则3(
,2)2παπ∈
,7
cos sin 5
αα∴-== 又22sin sin 22(1tan )ααα-+=22sin 2sin cos sin 2(1)cos ααααα-=+sin cos (cos sin )
sin cos αααααα--+
所以22sin sin 22(1tan )ααα-+=-8425
.
17．（本小题满分12分）
函数2)(2
-++=b au u u f ，其中)0,(1
≠∈+=x R x x
x u . （1）求u 的取值范围
（2）若a 、b 是使0)(=u f 至少有一个实根的实数，求2
2
b a +的最小值. 解：（1）(][)+∞⋃-∞-∈+
=,22,1
x
x u ， （2）解法一：2)(2
-++=b au u u f 至少有实根时 ①0)2()2(≤⋅-f f 得5
4)(min 2
2
=
+b a ②4,2,0
22022,0)2(0)2(22≥+-≤⎩⎨⎧≤++≤-+⎩⎨⎧≤≤-b a b a b a b f f 得 ③对称轴2|2
|||>-
=a
x 时，16,4||22>+>b a a 综合①②③得5
4)(min 2
2
=
+b a 。

（2）解法二：利用点到直线的距离 （2）解法三：利用柯西不等式。

18．（本小题满分12分）
已知n S 是数列{n a }的前n 项和，并且1a =1，对任意正整数n ，241+=+n n a S ；设
Λ,3,2,1(21=-=+n a a b n n n ）.
（I ）证明数列}{n b 是等比数列，并求}{n b 的通项公式； （II ）设}log log 1
{,32
212++⋅=
n n n n n C C T b C 为数列的前n 项和，求n T . 解：（I ）),2(24,2411≥+=∴+=-+n a S a S n n n n Θ 两式相减：),2(4411≥-=-+n a a a n n n
*),
(2)2(2,2)(42,
2),2)((41111121111N n b a a b a a a a a b a a b n a a a n n n n n n n n n n n n n n n n ∈=-=--=-=∴-=∴≥-=∴++++++++-+
,21
=∴
+n
n b b }{n b ∴是以2为公比的等比数列，…………………………………………4分
,325,523,24,2112121121=-==+=∴+=+-=b a a a a a a a b 而Θ
*)(231N n b n n ∈⋅=∴-…………………………………………………………7分
（II ）,23
1-==
n n
n b C ,)
1(1
2log 2log 1log log 11222212+=⋅=⋅∴
+++n n C C n n n n ……………………9分
而
,1
1
1)1(1+-=+n n n n
.1
1
1)111()4131()3121()211(+-=+-++-+-+-=∴n n n T n Λ……………12分
从边长为2a 的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x 的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x 与底面正方形的边长的比不超过常数t.问：（1）求长方体的容积V 关于x 的函数表达式；（2）x 取何值时，长方体的容积V 有最大值？ （1）长方体的容积x a x V 2
)(4-=，
由
t x a x ≤-22，得t
ta
t 2120+≤
<， （2）由均值不等式知
)2)()((2x x a x a a V --=27
16)32(
23
3a x x a x a =+-+-≤， 当x x a 2=-，即3
a
x =
时等号成立。

（1）当t ta a 2123+≤，即4
1
≥t ，27163max a V =；
（2）当
t ta a 2123+>
，即4
1
0<<t 时， 34)32(12)(22'
a a x x V --=，则)('
x V 在)3
,0(a 上单调递减，
0)3()212()('''=>+≥∴a V t ta V x V ，)(x V ∴在⎥⎦
⎤
⎝⎛+t ta 212,0单调递增， 3
2
max )21(8)212()(t ta t ta V x V +=
+=∴ 总之，若410<<t ，则当t ta x 212+=时，3
3
max )21(8t ta V += ；
若41≥t ，则当3
a
x =时，27163max a V =。

（注：直接对V 求导也可）
已知函数2
1f(x)=lnx,g(x)=
ax +bx (a 0).2
≠ （I ）若a= 2 , h(x)=f(x)g(x)－时函数－ 在其定义域是增函数，求b 的取值范围； （II ）在（I ）的结论下，设函数2x x (x)=e +be ,x [0,ln2],(x)ϕϕ∈求函数的最小值；
（III ）设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由. 解：（I ）依题意：.ln )(2
bx x x x h -+=
()h x Q 在（0,+∞）上是增函数，1
()20h x x b x
'∴=
+-≥对x ∈（0,+∞）恒成立，
∴≤
+>+≥Q 1
1
2.0,则
2b x x x x
x
(]
.22,∞-∴的取值范围为b
（II ）设].2,1[,,2
∈+==t bt t y e t x
则函数化为
22().1,2,[1,2],242
b b b
y t b y =+-∴-≤-≤≤Q 当即函数在上为增函数
当t=1时，y m I n =b+1；
…………6分
,
]2,1[4,22
;
42,24,2212
min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b b
b ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-< 当t=2时，y m I n =4+2b
…………8分
.
4
)(,24.1)(,222,2
b x b b x b --<<-+≤≤-的最小值为时当的最小值为时当综上所述ϕϕ
当)(,4x b ϕ时-≤的最小值为.24b +
…………9分
（III ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且
则点M 、N 的横坐标为.2
2
1x x x +=
C 1在点M 处的切线斜率为.2|12
12121x x x k x x x +==
+= C 2在点N 处的切线斜率为.2
)
(|
212
221b x x a b ax k x x x ++=+=+=
…………10分
假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则.21k k =
12122221212112222221121211
()2.2
2()()()
2
()()ln ln ln ,22a x x b x x x x a x x b x x x x x a a
x bx x bx y y x x x +=++--=+-+=+-+=-=-=即
则
.1)
1(
2)(2ln 1
2
1
2
2
11212x x x x x x x x x x +-=+-=∴
设,1,1)1(2ln ,112>+-=>=
u u
u u x x u 则 ……………… ① [)2
22
2(1)
()ln , 1.114(1)().1,()0.(1)(1)2(1)
()1,,()(1)0,ln .1
u r u u u u u r u u r u u u u u u r u r u r u u -=-
>+-''=-=>∴>++-+∞>=>
+Q 令则所以在上单调递增故则
这与①矛盾，假设不成立.
故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.
21．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 中，13a =，25a =，其前n 项和n S 满足()121223n n n n S S S n ---+=+≥.令11
n n n b a a +=
⋅.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若()12x f x -=，求证：()()()121
126
n n T b f b f b f n =+++<
L （1n ≥）； （Ⅲ）令()231231
2
n n n T b a b a b a b a =
++++L （0a >），求同时满足下列两个条件的所有a 的值：①对于任意正整数n ，都有16n T <
；②对于任意的10,6m ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，均存在0n N *∈，使得0n n ≥时，n T m >.
【解】（Ⅰ）由题意知()111223n n n n n S S S S n -----=-+≥即()1123n n n a a n --=+≥……1′ ∴()()()112322n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L
()1221222225222212213n n n n n n ----=++++=++++++=+L L ≥……3′
检验知1n =、2时，结论也成立，故21n n a =+.…………4′ 法二：1122n n n n a a ---=- 法三：
()1111
32222
n n n n a a n --=⋅+≥ （Ⅱ）由于()()()()()()()
11
111
212111111222212121212121n n n n n n n n n n b f n +-++++-+⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪++++++⎝⎭ 故
()()()122
231111111
1122121212122121n n n n T b f b f b f n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
L L 1111111
212212126
n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭.…………9′ （Ⅲ）（ⅰ）当2a =时，由（Ⅱ）知：1
6
n T <
，即条件①满足；又106m <<，
∴1
211113321110212211616n n n T m m n log m m ++⎛⎫⎛⎫>⇔
->⇔>-⇔>--> ⎪ ⎪++--⎝⎭⎝⎭
.
取0n 等于不超过23116log m ⎛⎫
-
⎪-⎝⎭
的最大整数，则当0n n ≥时，n T m >.…10′ （ⅱ）当2a >时，∵1n ≥，222n
n n a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
≥，∴22n n a a ⋅≥，∴2222n n n n n n a a
b a b b ⋅⋅⋅=⋅⋅≥.
∴()11111111222221221n
n
i i n i i n i i a a T b a b -+==⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅- ⎪
⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑≥. 由（ⅰ）知存在0n N *∈，当0n n ≥时，11111
212213n a
+⎛⎫-> ⎪++⎝⎭，
故存在0n N *∈，当0n n ≥时，111111*********
n n a a T a +⎛⎫=
⋅->⋅= ⎪++⎝⎭，不满足条件. …12′ （ⅲ）当02a <<时，∵1n ≥，222n
n n a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
≤，∴22n n a a ⋅≤，∴2222n n n n n n a a
b a b b ⋅⋅⋅=⋅⋅≤.
∴()()11111111222
221221n
n
i
i n i i n i i a a T b a b -+==⎛⎫==⋅-
⎪++⎝⎭∑∑≤. 取10,126a m ⎛⎫=
∈ ⎪⎝⎭，若存在0n N *∈，当0n n ≥时，n T m >，则111122122112
n a a
+⎛⎫⋅-> ⎪++⎝⎭. ∴
111112213
n +->++矛盾. 故不存在0n N *∈，当0n n ≥时，n T m >.不满足条件. 综上所述：只有2a =时满足条件，故2a =.…………14′。