云南省昆明市2018年10月2018～2019学年度高二下学期期末考试文科数学试题及参考答案试卷教师专用

昆明市2019年10月2018～2019学年度高2021届高2018级
高二期末质量检测
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将答题卡交回.
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}
{}11,1,0,1,2A x x B -<≤-,则A B =( )
A. {}0,1
B. {}1,0-
C. {}1,2
D. {}1,0,1-
【参考答案】A
【试题解析】 根据交集的定义可求A
B .
{}0,1A B =,故选A.
本题考查集合的交集运算,属于容易题. 2.
21i
i
=-( ) A. 1i + B. 1i -+
C. 1i --
D. 1i -
【参考答案】B
【试题解析】
利用复数的除法可得计算结果.
()()()
2121111i i i i i i i ⨯+==-+--+,故选B. 本题考查复数的除法,属于基础题.
3.已知向量()1,,a x =()2,4b =-,()
//a a b -,则x =( ) A. 1
B. 2
C. 1-
D. 2-
【参考答案】D
【试题解析】
先算出a b -的坐标,利用向量共线的坐标形式可得到x 的值.
()3,4a b x -=-,因为()
//a a b -,所以34x x =-,
所以2x =-,故选D.
如果()()1122,,,a x y b x y ==,那么: (1)若//a b ,则1221x y x y =； (2)若a b ⊥,则12120x x y y +=；
4.已知双曲线22
:1164
x y C -=,则C 的渐近线方程为( )
A. 20x y ±=
B. 20x y ±=
C. 0x ±=
D.
0y ±=
【参考答案】A
【试题解析】
令22
0164x y -=,则可得双曲线的渐近线方程. 由22
0164
x y -=可得双曲线的渐近线方程20x y ±=,故选A. 本题考查双曲线的渐近线的求法,属于基础题.
5.命题“()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，”的否定是( ) A. ()0000,ln 1x x x ∃∈+∞≠+， B. ()0,ln 1x x x ∀∉+∞≠+，
C. ()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，
D. ()0000,ln 1x x x ∃∉+∞≠+，
【参考答案】C
【试题解析】
按规则写出存在性命题的否定即可.
命题“()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，
”的否定为“()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，”, 故选C.
全称命题的一般形式是:x M ∀∈,()p x ,其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈,()p x ,其否定为(),x M p x ∀∈⌝.
6.古印度“汉诺塔问题”:一块黄铜平板上装着,,A B C 三根金铜石细柱,其中细柱A 上套着个大小不等的环形金盘,大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上,移动规则如下:一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上,不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若A 柱上现有3个金盘(如图),将A 柱上的金盘全部移到B 柱上,至少需要移动次数为( )
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
【参考答案】B
【试题解析】
设细柱A 上套着n 个大小不等的环形金盘,至少需要移动次数记为{}n a ,则121n n a a -=+,利
用该递推关系可求至少需要移动次数.
设细柱A 上套着n 个大小不等的环形金盘,至少需要移动次数记为{}n a .
要把最下面的第n 个金盘移到另一个柱子上,则必须把上面的1n -个金盘移到余下的一个柱子上,故至少需要移动1n a -次.
把第n 个金盘移到另一个柱子上后,再把1n -个金盘移到该柱子上,故又至少移动1n a -次,所以121n n a a -=+,
11a =,故23a =,37a =,故选B.
本题考查数列的应用,要求根据问题情境构建数列的递推关系,从而解决与数列有关的数学问题.
7.函数2x y e e =-的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【参考答案】B
【试题解析】
根据()00f >可得正确的选项.
设()2
x
f x e e =-,()2
010f e =->,A,C,D 均是错误,选B .
本题考查函数图像的识别,注意从函数的奇偶性、单调性、特殊点函数值的正负等方面刻画函数的图像.
8.设,m n 为两条不同的直线,,αβ为两个不同的平面,则下列结论正确的是( ) A. ,,m n αβαβ⊥⊥⊥,则m n ⊥ B. ,,m n αβαβ⊥⊥⊂,则m n ⊥ C. ,,αβm αn β^烫,则m n ⊥ D. //,,αβm αn β烫,则//m n
【参考答案】A 【
分析】
依据空间中点、线、面的位置逐个判断即可.
直线,m n 所在的方向向量分别记为,a b ,则它们分别为αβ，的法向量, 因αβ⊥,故a b ⊥,从而有m n ⊥,A 正确.
B 、
C 中,m n 可能平行,故B 、C 错,
D 中,m n 平行、异面、相交都有可能,故D 错. 综上,选A
本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断,属于基础题.
9.已知实数[][]
1,1,1,1x y ∈-∈-,则满足不等式210x y --≤的概率为( )
A.
18
B.
14
C.
12
D.
34
【参考答案】D
【试题解析】
在坐标平面中画出基本事件的总体和随机事件中包含的基本事件对应的平面区域,算出它们的面积后可得所求的概率.
基本事件的总体对应的不等式组为11
11x y -≤≤⎧⎨-≤≤⎩
,
设A 为“不等式210x y --≤成立”,它对应的不等式组为2101111x y x y --≤⎧⎪
-≤≤⎨⎪-≤≤⎩
前者对应的平面区域为正方形边界及其内部, 后者对应的平面区域为四边形及其内部(阴影部分
),
故()2213
224
P A ⨯-=
=⨯,故选D.
几何概型的概率计算关键在于测度的选取,测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等.
10.已知函数()()sin 02f x x ωω=<<的图象关于直线34
x π
=对称,则( ) A. ()f x 在30,
4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减 B. ()f x 在33,42ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上单调递增 C. ()f x 在,4ππ⎡
⎤
--⎢⎥⎣
⎦
上单调递减
D. ()f x 在3,04π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 【参考答案】D
【试题解析】
先求出ω,再利用正弦函数的单调性计算()f x 的单调区间即可. 因为()f x 的图像关于直线34x π=对称,所以
3,42
k k Z πωπ
π=+∈, 故42
,33
k k Z ω=
+∈. 因为02ω<<,所以23
ω=
即()2sin 3f x x =.
令()222232k x k k Z ππππ-≤≤+∈,则333344
k x k ππ
ππ-≤≤+,故函数的单调增区间为
()333344k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，,故()f x 在3,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增.故选D. 对于三角函数()()()sin 0f x A x A ωϕ=+≠ 的图形,如果直线0x x =为其对称轴,则
()0f x A =±,如果以()0,0x 作为其对称中点,那么()00f x =.解题中注意利用这个性质求参
数的取值.
11.已知点,,,P A B C 在同一个球的球表面上,PA ⊥平面
ABC ,AB AC ⊥,PA =BC =,则该球的表面积为( )
A. 4π
B. 8π
C. 16π
D. 32π
【参考答案】B
【试题解析】
利用补体法把三棱锥补成一个长方体,原三棱锥的外接球就是长方体的外接球,故可求外接球的直径,从而求得球的表面积.
把三棱锥补成一个长方体,长方体的外接球就是原三棱锥的外接球,它的直径为
=故球的表面积为(2
8ππ⨯=,故选B.
几何体的外接球、内切球问题,关键是球心位置的确定,必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中.如果球心的位置不易确定,则可以把该几何体补成规则的几何体,便于球心位置和球的半径的确定.
12.已知函数()f x 在R 上是增函数,设11
31
,ln ln 3,3
e
a e
b
c π===,则下列不等式成立
的是( )
A. ()()()f b f a f c >>
B. ()()()f c f a f b >>
C. ()()()f c f b f a >>
D. ()()()f a f c f b >>
【参考答案】B
【试题解析】 令()ln x
g x x
=,利用()g x 在(),e +∞上为减函数可得,,a b c 的大小关系,从而得到正确的选项. 令()ln x g x x =
,则()2
1ln x
g x x -'=, 当()0,x e ∈时,()0g x '>,()g x 在()0,e 上为增函数, 当(),x e ∈+∞时,()0g x '<,()g x 在(),e +∞上为减函数,
故
ln ln ln 3
e e πππ<<,即113e e π<,故a c <即()()
f a f c <,
又1ln 2ln 3ln 4ln 3
ln 3=
032343
a -=-<<,故()()f
b f a <, 综上,()()()f
c f a f b >>,故选B.
不同底、不同指数的幂比较大小,可根据底、指数的特点构建新函数,利用导数考虑新函数的单调性从而得到幂的大小关系.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.在等差数列{}n a 中,47a =,2818a a +=,则公差d =__________. 【参考答案】2
【试题解析】
利用等差数列的性质可得5a ,从而54d a a =-.
因为2818a a +=,故59a =,所以54972d a a =-=-=,填2. 一般地,如果{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,则有性质:
(1)若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+,则m n p q a a a a +=+； (2)()
1,1,2,
,2
k n k n n a a S k n +-+=
= 且()2121n n S n a -=- ；
(3)2
n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列；
(4)232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.
14.曲线x y e x =+在点(0,1)处的切线方程为 . 【参考答案】21y x =+
【试题解析】
x y e x =+,1x y e ∴'=+,∴切线斜率为00|12x k y e ===+=',∴切线方程为
()120y x -=-,即21y x =+.
故答案为21y x =+.
知识考查点:利用导数求切线方程.
15.在ABC ∆中,4,3,AB AC D ==是BC 中点,则AD BC ⋅=______ 【参考答案】7
2
-
【试题解析】
用,AB AC 表示AD BC ，后可计算它们的数量积.
因为D 是BC 中点,所以()
1
2
AD AB AC =
+, 而BC AC AB =-,故()
221722AD BC AC AB =-=-,填72
-. 向量的数量积的计算,有四种途径:(1)利用定义求解,此时需要知道向量的模和向量的夹角；(2)利用坐标来求,把数量积的计算归结坐标的运算,必要时需建立直角坐标系；(3)利用基底向量来计算,也就是用基底向量来表示未知的向量,从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；(4)靠边靠角,也就是利用向量的线性运算,把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量.
16.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>,()0,0O ,()3,1P ,斜率为1-的直线与C 相交于,A B
两点,若直线OP 平分线段AB ,则C 的离心率等于__________.
【试题解析】
利用点差法求出2
2b a
-的值后可得离心率的值.
设()()1122,,,A x y B x y ,则2222
1122
222211x y x y a b a b
+=+=，,
故2222
1212
220
x x y y a b --+=即()()()()1212121222
0x x x x y y y y a b -+-++=, 因为P 为AB 的中点,故()()122212260y y a x x b -⨯+=-⨯即
2231
0a b -=, 所以()2
2
2
3a a c =-即2223c a =,
故e ,
填3
.
圆锥曲线中的离心率的计算,关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系.而离心率的取值范围,则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组.另外,与弦的中点有关的问题,可用点差法求解.
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.栀子原产于中国,喜温暖湿润、阳光充足的环境,较耐寒.叶,四季常绿；花,芳香素雅.绿叶白花,格外清丽.某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物,一段时间后,从该批栀子中随机抽取100棵测量植株高度,并以此测量数据作为样本,得到该样本的频率分布直方图(单位:m ),其中不大于1.50(单位:m )的植株高度茎叶图如图所示.
(1)求植株高度频率分布直方图中,,a b c 的值；
(2)在植株高度频率分布直方图中,同一组中的数据用该区间的中点值代表,植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率,估计这批栀子植株高度的平均值. 【参考答案】(1)0.5,1, 1.5a b c ===；(2)1.60.
【试题解析】
(1)根据茎叶图可得频率,从而可计算,,a b c . (2)利用组中值可计算植株高度的平均值.
(1)由茎叶图知,510
1001000.5,1
0.10.1
a b ====.
由频率分布直方图知
0.50.5 1.451 1.553 1.654⨯+⨯+⨯+⨯0.130.140.11c +⨯+⨯+⨯=,
所以 1.5c =.
(2)这批栀子植株高度的平均值的估计值
()1.350.5 1.451 1.553 1.654 1.75 1.50.1 1.60⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.
本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用,属于基础题.
18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,cos sin 0A a C -=. (1)求A ；
(2)若2
B π
=
,且b =D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,求ACD ∆的面积.
【参考答案】(1)3
A π
= ； (2
【试题解析】
(1)利用正弦定理可把边角的关系式转化为关于角的三角函数式,从中可计算cos A ,故可求出
A .
(2)利用解直角三角形可求出AD ,再利用面积公式可求ACD S ∆.
(1)解:sin sin sin 0A C A C -=,
因为sin 0C ≠,sin 0A A -=,即tan A =又0C π<<,所以.3
A π
=
(2)因为3
A π
=
,2
B π
=
,所以6
C π
=
,因为b =所以AB =又因为AD 为的角BAC ∠平分线,所以6
BAD π
∠=,
在Rt BD ∆中,cos AB
BAD AD
∠=,所以2AD =,
所以111
sin 2222
ADC
S AD AC DAC ∆=⨯⨯∠=⨯⨯=在解三角形中,如果题设条件是关于边的二次形式,我们可以利用余弦定理化简该条件,如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式,那么我们可以利用正弦定理化简该条件,如果题设条件是边和角的混合关系式,那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
19.已知等比数列{}n a 的前n 项和1
2n n S λ+=+,其中λ为常数.
(1)求λ；
(2)设2log n n b a =,求数列{}
n n a b +前n 项和n T .
【参考答案】(1)2λ=- (2)()11222
n n n n T ++=+-
【试题解析】
(1)利用1n n n a S S -=-求出当2n ≥时{}n a 的通项,根据{}n a 为等比数列得到1a 的值后可得
2λ=- .
(2)利用分组求和法可求{}n n a b +的前n 项和n T .
(1)因为1
2n n S λ+=+,
当1n =时,114a S λ==+,当2n ≥时,12n
n S λ-=+, 所以11222n n n
n n n a S S +-=-=-=,
因为数列{}n a 是等比数列,所以2n
n a =对1n =也成立,
所以42λ+=,即2λ=-.
(2)由(1)可得2n
n a =,
因为2log n n b a =,所以2log 2n
n b n ==,
所以n T (
)
()(
)()232121222212312
2
n n n n n -+=+++
+++++⋅⋅⋅+=
+-,
即()11222
n n n n T ++=
+-.
(1)数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系是11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,我们常利用这个关系式
实现n a 与n S 之间的相互转化.
(2)数列求和关键看通项的结构形式,如果通项是等差数列与等比数列的和,则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积,则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差,那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现,则用并项求和法.
20.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是菱
形,3
BAD π∠=
,2AB =,PC =,,E F 分别是棱,PC AB 的中点.
(1)证明:EF 平面PAD ； (2)求三棱锥C AEF -的体积.
【参考答案】(1)见解析；
【试题解析】
(1)取PD 中点为G ,连结,EG AG ,可证四边形AGEF 是平行四边形,故可得EF AG ,从
而得到要求证的线面平行.
(2)连结,AC BD ,交于点O ,连结EO ,可证EO 为E 到平面ABCD 的距离,最后利用体积公式计算三棱锥E ACF -即可.
(1)证明:如图,取PD 中点为G ,连结,EG AG ,
则11
,,,22
EG CD EG CD AF CD AF CD =
=, 所以EG 与AF 平行与且相等,所以四边形AGEF 是平行四边形, 所以,EF
AG AG ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD ,
所以EF 平面PAD .
(2)连结,AC BD ,交于点O ,连结EO , 因为E 为PC 的中点, 所以EO 为PAC ∆的中位线, 又因为PA ⊥平面ABCD , 所以EO ⊥平面ABCD , 即EO 为三棱锥E AFC -的高.
在菱形ABCD 中可求得AC =
在Rt PAC △中,PC =,所以4,2PA EO ===
所以111sin 222ACF ABC S S AB BC ABC ∆∆=
=⨯⨯⨯⨯∠=
,
所以1
123
3C AEF E ACF ACF
V V S EO --==
⨯==. 线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线,找线的方法是平行投影或中心投影,我们也可以通过面面平行证线面平行,这个方法的关键是构造过已知直线的平面,证明该平面与已知平面平行. 三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面,此时顶点到底面的距离容易计算.
21.已知函数,()2
ln ,f x ax x a R =-∈.
(1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)若函数()f x 有2个不同的零点,求实数a 的取值范围.
【参考答案】(1)当0a ≤时()f x 在()0,∞+上单调递减,当0a >时,()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭
上
单调递增,()f x 在⎛ ⎝上单调递减.(2)10,2e ⎛⎫
⎪⎝⎭
【试题解析】
(1)分0,0a a ≤>两种情况讨论导数的符号后可得函数的单调区间. (2)根据(1)可知0a >且(
)min 0f x f =<,后者可得实数a 的取值范围为1
02a e <<,再根据()10f a =>,11
1ln 0f a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭
结合零点存在定理可知当102a e <<时函数确有两个不同的零点. (1)解:因为()()1
20f x ax x x
'=-
>, ①当0a ≤时,总有()0f x '<, 所以()f x 在()0,∞+上单调递减. ②当0a >时,令1
20ax x -
>,
解得x >
故x >
,()0f x '>,所以()f x
在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. 同理1
20ax x -
<时,有()0f x '<,所以()f x
在⎛ ⎝
上单调递减. (2)由(1)知当0a ≤时,()f x 单调递减,
所以函数()f x 至多有一个零点,不符合已知条件,
由(1)知当0a >时,(
)2
min 1ln 2f x f a ==-=11ln 22a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭, 所以()min 0f x <当时,解得1
2a e <,从而102a e
<<.
又10,2a e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,
有1
1a
<
<,因为()10f a =>,11
1ln f a a
a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,
令()ln ,2g t t t t e =->,则()1
0t g t t
-'=
>, 所以()g t 在()2,e +∞为增函数,故()()2ln 20g t e e >->,
所以10f a ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
,根据零点存在定理可知:
()f x
在⎛ ⎝内有一个零点,在1a ⎫⎪⎪⎭
，内有一个零点, 故当函数()f x 有2个零点时,a 的取值范围为10,
2e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
. 导数背景下的函数零点个数问题,应该根据单调性和零点存在定理来说明.取点时要依据函数值容易计算、与极值点有明确的大小关系这两个原则,讨论所取点的函数值的正负时,可构建新函数,通过导数讨论函数的最值的正负来判断.
22.已知抛物线()2
:20C x py p =>的焦点为F ,准线为l ,点A C ∈,A 在l 上的射影为B ,且
ABF ∆是边长为4的正三角形.
(1)求p ；
(2)过点F 作两条相互垂直的
直线121,,l l l 与C 交于,P Q 两点,2l 与C 交于,M N 两点,设
POQ ∆的面积为1,S MON ∆的面积为2S (O 为坐标原点),求2212S S +的最小值.
【参考答案】(1)2；(2)16.
【试题解析】
(1)设准线与轴的交点为点H ,利用解直角三角形可得2HF p == .
(2)直线()1:10l y kx k =+≠,联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理可用关于k 的关系
式表示21S ,同理可用关于k 的关系式表示22S ,最后用基本不等式可求22
12S S +的最小值.
(1)解:设准线与轴的交点为点H ,连结,,AF AB BF , 因为ABF ∆是正三角形,且4BA AF BF ===,
在BHF ∆中,90,30,4BHF FBH BF ︒
︒
∠=∠==, 所以2HF p ==.
(2)设()()1122,,,P x y Q x y ,直线()1:10l y kx k =+≠,由()1知2
:4C x y =,
联立方程:241
x y
y kx ⎧=⎨=+⎩,消y 得2440x kx --=.
因为216160k ∆=+>,所以12124,4x x k x x +==-,
所以()
241PQ k ==+, 又原点O 到直线
1l 的距离为d =
所以()
22
141S k =+,同理222141S k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
,
所以(
)22
2
2
122
21141418416S S k
k k k ⎛⎫⎛⎫
+=+++=++
≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
,当且仅当1k =±时取等号. 故22
12S S +的最小值为16.
圆锥曲线中的最值问题,往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式,自变量可以为斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.。