空间两条直线的位置关系

空间两条直线的地位关系之杨若古兰创作常识点一空间两条直线的地位关系
1．异面直线
⑴定义：分歧在任何一个平面内的两直线叫做异面直线.
⑵特点：既不订交，也不服行.
⑶理解：①“分歧在任何一个平面内”，指这两条直线永
不具备确定平面的条件，是以，异面直线既不
订交，也不服行，要留意掌控异面直线的不共
面性.
②“分歧在任……”也能够理解为“任何一个平面都不成能同时经过这两条直线”.
③不克不及把异面直线曲解为分别在分歧平面内的两
条直线为异面直线．也就是说，在两个分歧平面内
的直线，它们既可所以平行直线，也能够是订交直
线．
2．空间两条直线的地位关系
⑴订交——在同一平面内，有且只要一个公共点；
⑵平行——在同一平面内，没有公共点；
⑶异面——分歧在任何个平面内，没有公共点．
例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是订交直线；②直线AM与BN
是平行直线；
③直线BN 与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1
是异面直线．
其中准确的结论为________．(注：把你认为准确的
结论的序号都填上)
答案：③④
例2、异面直线是指____．
①空间中两条不订交的直线； ②分别位于两个分歧平面内的两条直线；
③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④分歧在任何一个平面内的两条直线．
变式1、一个正方体中共有对异面直线．
常识点二 平行直线
变式1、如图E 、F 、G 、H 是平面四边形ABCD 四边中
点，四边形EFGH 的外形是平行四边形吗？为何？如果将ABCD 沿着对角线BD 折起就构成空间四边形ABCD ，那么A B D E F G H A B C D E F G H 折
四边形EFGH 的外形还是平行四边形吗？
例4、如图在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知E 1、E 分别 为A 1D 1、AD 的中点，求证：∠C 1E 1B 1=∠CEB ． 常识点三异面直线 1、 异面直线的画法：为了充分显示出它们既不服行又不订交的特点，经常须要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图(l)，若画成如下图(2)的情形，就分不开了，千万不克不及画成(2)的图形.
画平面衬托时，通常画成下图中的情形.
2、异面直线的判定
⑴异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直
线，和这个平面内不经过该点的
直线是异面直线．
⑵判定两条直线为异面直线的经常使用方法有：
①定义法：分歧在任一平面内的两条直线．
②定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个
平面内不经过该点的直线为异面直线．
③推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线．
④反证法：反证法是证实立体几何成绩的一种主要方法，
证实步调有三步：一是提出与结论相反的假
E E A
C
B D A B
C D
设；二是由此假设推出与题目条件或某一公
理、定理或某一已被证实是准确的命题相矛
盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相
反的结论，即命题的结论成立，
3、异面直线所成的角
a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b ′//b，直线a′和b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角．如下图所示．
⑴异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°；
(2)为了求异面直线a，b所成的角，可以在空间中任取一点
O，为了简便，点O经常取这里的点通常选择特殊地位的点，如线段的中点或端点或异面直线连线中点，也能够是异面直线中某一条上的一个特殊点.将这个角放入某个三角形入彀算这个角的大小，若该三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，便易求此角的大小.
(3)我们规定：两条平行直线所成的角为0°角，两条订交直
线所成的角为这两条订交直线所成的四个角中的锐角（或直角），是以在空间中的两条直线所成的角的范围为(0°，90°]；特别地，若两异面直线所成角为90°，则称两异面直线互相垂直；
(4)求异面直线所成角的普通步调是：
①构造恰当地选择一个点，用平移法构造异面直线所成的角．
②证实 证实①中所作出的角就是所求异面直线所成的角， ③计算通过解三角形（经常使用余弦定理）等常识，求①中所构造的角的大小，
④结论假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°，
则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°
<α<180°，则180°－α即为所求.
例5、已知平面l =βα ，直线,,P l a a =⊂ α直线l b b //,β⊂，
求证：直线a 和b 是异面直线．
例6、如图所示，正方体ABCD －A1B1C1D1中，M 、N 分别是A1B1、B1C1的中点，问：
(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由；(2)D1B 和
CC1是否是异面直线？说明理由．
解：(1)不是异面直线．理由如下：
∵M 、N 分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN ∥A1C1.
又∵A1A D1D ，而D1D C1C ，∴A1A C1C ，
A1ACC1为平行四边形，
∴A1C1∥AC ，得到MN ∥AC ，∴A ，M ，N ，C 在同
一个平面内，
故AM 和CN 不是异面直线．
(2)是异面直线．理由如下：
假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，∴BC⊂平面CC1D1，这与BC是正方体的棱相矛盾，∴假
例7、如图2．1．2—18，已知不共面的三条直线a，b，c 订交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD
和BC是异面直线．
证法一：（反证法）：假设AD和BC共面，所确定的平面
为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，
∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面
相矛盾．
∴AD与BC是异面直线．
证法二：（直接用判定定理）：∵a∩c＝P，
∴a和c确定一个平面，设为β，巳知CÏ平面β，B∈平面β，ADÌ平面β，BÏAD，
∴AD和BC是异面直线．
变式1、如图2．1．2—19，a，b是异面直线，A、B∈a，
C、D∈b，E、F分别为线段AC和BD的中点，
判断直线EF和a的地位关系，并证实你的结
论．
答案：EF和a是异面直线，可用反证法证实．
例8、正方体AC l中，E，F分别是A1B1，B1Cl的中点，求
异面直线DB1与EF所成角的大小.
变式1、空间四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若BC＝AD＝2EF，求直线EF与直线AD
所成的角.
例9、直三棱柱中，若，，
则异面直线与所成的角等于A．30°B．45°C．60° D．90°解：C
变式1、已知空间四边形ABCD各边长相
等，求异面直线AB和CD所成的角的大
小.
解：∴异面直线AB、CD成90°角.
巩固练习：
一、判断题
1. 若三条直线两两平行，则这三条直线必共面．( )
2. 互不服行的两条直线是异面直线．( )
二、单选题
1. 关于异面直线，有以下3个命题：
①分别在两个分歧平面内的两直线是异面直线
②平面内的不断线与平面外的不断线是异面直线
③都不在某一平面内的两条直线是异面直线其中真命题的个数是
A．0 B．1C．2 D．3
2. 直线a、b是两条异面直线，A、B与C、D分别为直线
a、b上分歧的点，则直线AC与BD的关系是
A．可能订交 B．可能平行C．异面 D．订交或异面3. 两条异面直线指的是
A．在空间不订交的两条直线B．分别位于两个分歧平
面内的两条直线
C．一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
D．分歧在任何一个平面内的两条直线
4. 以下命题中，真命题的是
A．两两订交的三条直线共面B．两两订交且不共点的四条直线共面
C．不共面的四点中可以有三点共线D．边长相等的四边形必定是菱形
5. 空间两条互相平行的直线，指的是
A．在空间没有公共点的两条直线B．分别在两个平行平面内的两条直线
C．位于同一平面内且没有公共点的两条直线D．分别与第三条直线成等角的两条直线
6. 平面M、N订交于EF，分别在平面M、N内作∠EAC=∠FBD，则AC和BD的关系是
A．异面 B．平行C．订交 D．不确定
7. 直线a和b是异面直线，直线c∥a，那么b与c
A．异面 B．不异面 C．订交 D．异面或订交
8. 如果一条直线和两条异面直线都订交，那么它们可确定A．4个平面 B．3个平面C．2个平面 D．1个平面
9. 若m和n是异面直线，n和l也是异面直线，则
A．当m∩l=φ时，m与l异面 B．m∩l=φ
C．当m与l共面时，m∥l D．m与l订交、异面、平行都可能
10．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( ) A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都订交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
11．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l 与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，如许的直线l可以作( )
A．1条B．2条C．3条D．4条
三、填空题
1. “直线a、b异面”的否定说法是“__________”．
2. 不服行的两条直线的地位关系是_________．
3. “直线a、b订交”的否定说法是“__________________________”．
4. 过已知直线外一点，可以作_____条直线与已知直线垂直．
5. 分别在两个平面内的两条直线的地位关系是_____________________．
6. 已知直线a和b是异面直线，直线c和a平行而和睦b订
交，则c和b的地位关系是_________．
7. 直线a、b确定一个平面，则a、b的地位关系是________________．
8. “直线a、b异面”还可以说成“直线a、b既不______，又不______”．
9. 空间有三条直线a、b、c，如果b⊥a，c⊥a，那么直线
b、c的地位关系是_________________．
10. 和两条异面直线中的一条订交的直线与另一条直线的地位关系是______________．
11. 已知直线a、b、c满足a∥b，b与c是异面直线，则a 与c的地位关系是____________．
12. 正方体ABCD─A1B1C1D1中，与正面对角线AD1成异
面直线的棱共有_____条，它们分别是___________________________．
13. 正方体ABCD─A1B1C1D1中，与棱AB成异面直线的
棱共有_____条，它们分别是____________________．14. 正方体的12条棱中，互为异面直线的有________对.
答案
一、判断题1. ×2. ×
二、单选题
1. A
2. C
3. D
4. B
5. C
6. D
7. D
8. C
9. D
三、填空题
1. a、b共面
2. 订交或异面
3. a、b不订交或a、b无公
4. 有数
5. 平行或订交或异面
6. 异面
7. 订交或平行
8. 订交，平行
9. 平行或订交或异面10. 订交或平行或异面11. 订交或异面
12. 6；BC ，B1C1，BB1，CC1，DC ，A1B113. 4；A1D1，B1C1，CC1，DD1
14. 24
空间两条直线的地位关系
1. 已知直线b a ,都在平面α外, 则以下推断错误的是（ ）
A ．αα////,//a b b a ⇒
B ．αα//,a b b a ⇒⊥⊥
C ．b a b a ////,//⇒αα
D ．b a b a //,⇒⊥⊥αα
【答案】C
2. 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线
( )
A ．只要一条，不在平面α内
B ．只要一条，在平面α内
C ．有两条，纷歧定都在平面α内
D ．有有数条，纷歧定都在平面α内
【答案】B
3. 以下命题准确的是（）
A ．若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线
B．若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面
C．若一条直线平行于两个订交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C
4. 以下四个条件中,能确定一个平面的是（）
A.
【答案】D
5. 在平整的地面上任意放一根笔挺的钢管,则在地面上必存在直线与钢管所在的直线( )
【答案】D
6. 平行于同一平面的两条直线的地位关系（）
A．平行B．订交C．异面D．平行、订交或异面
【答案】D
7. 以下命题中，错误的是( )
A．三角形的两条边平行一个平面，则第三边也平行于这个平面．
B．平面α∥平面β，a α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a.
C．α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a、b、c、d，则a∥b
∥c ∥d .
D ．一条直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行．
【答案】D
8. 直线m 不服行于平面α，且m α⊄，则以下结论成立的是（ ）
A ．α内所有直线与m 异面
B ．α内不存在与m 平行的直线
C ．α内存在独一的直线与m 平行
D ．α内的直线与m 都订交
【答案】B
9. 正三棱锥P-ABC 的高为2，侧棱与底面所成的角为450，则点A 到正面PBC 的距离是（） A.5B.22 C.2D.5
56 【答案】D
10. 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）
A ．23
B ．1010
C ．53
D ．52
【答案】D
11. 已知直线,l m ，平面,αβ，且l α⊥，m β⊂，给出以下四个命题：
①若α∥β，则l m ⊥；②若l m ⊥，则α∥β；
③若αβ⊥，则l ∥m ；④若l ∥m ，则αβ⊥．
其中真命题的个数为()
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
12. 设m 、n 是两条分歧的直线，α、β是两个不重合的平面，给定以下四个命题：
①若m n ⊥，n α⊂，则m α⊥； ②若a α⊥，a β⊂，则αβ⊥； ③若m α⊥，n α⊥，则//m n ； ④若m α⊂，n β⊂，//αβ则//m n ．其中真命题的是（ ）
A ．①和② B．②和③ C．③和④ D ．②和④
【答案】B
13. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．
的是（）
A ．EF 与1B
B 垂直
B ．EF 与BD 垂直
C ．EF 与C
D 异面 D ．EF 与11AC 异面
【答案】D
14. 异面直线a 、b ，a ⊥b ，c 与a 成30°角，则c 与b 成角A B C 1A
1C
1D
1B D
E F
的范围是()
【答案】A
15. 在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，AC 与B 1D 所成的角的大小（）
A ．6π
B ．4
π C ．3π D ．2
π 【答案】D
16. 已知空间直角坐标系中，O 为原点，A （0，0，3），B （0，4，0），C （5，0，0）则经过O 、A 、B 、C 四点的球的体积为 （）
A ．π50
B ．π32
125 C ．π321000
D ．π4
25 【答案】B
17. 设m,n 是两条分歧直线,βα,是两个分歧的平面,给出以下四个命题
①若n m n m //,//,则αα⊂②βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m
③若,//,//,//n m n m m αβαβ⋂=则且④若βαβα//,,则⊥⊥m m 其中准确的命题是()
A.①
B.②
C.③④
D.②④
【答案】D 18. 已知直线l 和平面βα,，（）
A ．若l ∥α，βα⊥，则β⊥l
B ．若l ∥α，α∥β，则l ∥β
C ．若l ∥α，β⊂l ，则α∥β
D ．若l ⊥α，β⊂l ，则βα⊥
【答案】D
19. 在以下条件下，可判断平面α与平面β平行的是（）
A. α、β都垂直于平面γ
B. α内不共线的三个点到β的距离相等
C. l,m 是α内两条直线且l ∥β,m ∥β
D. l,m 是异面直线,且l ∥α,m ∥α,l ∥β,m ∥β
【答案】D 20. 设,m n 是空间两条分歧直线，,αβ是空间两个分歧平面，
当,m n αβ⊂⊂≠≠
时,以下命题准确的是 A ．若m n ，则αβ B ．若m n ⊥，则αβ⊥
C ．若m β⊥，则m n ⊥
D ．若n α⊥，则m β⊥
【答案】C
21. 已知直线l 、m ,平面βα、，则以下命题中：
①．若βα//，α⊂l ,则β//l ②．若βα⊥，α⊥l ,则β//l ③．若α//l ，α⊂m ,则m l //④．若βα⊥，l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m ，其中真命题有（）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】B
22. 如图1所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD 的中点，G是EF的中点，此刻沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图2所示，那么，在四面体AEFH中必有( )．
A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面
【答案】A
23. 如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
24. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN,给出以下结论:
①AA1⊥MN ②异面直线AB1,BC1所成的角为60°
③四面体B1-D1CA的体积为1
3
④A1C⊥AB1,A1C⊥BC1,其中准确的结论的个数为
（）
A．4 B]3 C．2 D．1
【答案】A
25. 已知一平面平行于两条异面直线，不断线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的地位关系是( )
A ．平行
B ．垂直
C ．斜交
D ．不克不及确定
【答案】B
26. 已知两个不重合的平面,αβ，给定以下条件： ①α内不共线的三点到β的距离相等；②,l m 是α内的两条直线，且//,//l m ββ；
③,l m 是两条异面直线，且//,//,//,//l l m m αβαβ；
其中可以判定//αβ的是（）
A ．①
B ．②
C ．①③
D ．③ 【答案】D
27. 如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和AC 的中点．求证：平面BEF ⊥平面BGD .
【答案】∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC .
∴AC ⊥平面BGD .又EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BGD .又EF ？平面BEF ，∴平面BDG ⊥平面BEF .
28. 已知三条不重合的直线,,m n l ，两个不重合的平面,αβ，有以下命题：
①若//,//l m αβ，且//αβ，则//l m ②若,l m αβ⊥⊥，且//l m ，则//αβ
③若
,m n αα⊆⊆，//,//m n ββ，则//αβ④若,,,m n n m αβαββ⊥=⊆⊥，则n α⊥
其中真命题的个数是（）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C
29. 若M 、N 分别是△ABC 边AB 、AC 的中点，MN 与过直线BC 的平面β的地位关
系是（）
∥ββ订交或MN ⊂≠β
∥β或MN ⊂≠β∥β或MN 与β订交或MN ⊂≠β
【答案】C
30. 空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（）
A ．3
B ．1或2
C ．1或3
D ．2或3
【答案】C
31. 已知两个分歧的平面α，β和两条不重合的直线m,n ，则以下四种说法准确的为()
A 、若m ∥n,n ⊂α，则m ∥α
B 、若m ⊥n,m ⊥α，则n ∥α
C 、若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m,n 为异面直线
D 、若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β,则m ⊥n
【答案】D
32. 直径为32的球的内接正方体的棱长为()
A ．2
B ．2
C ．3
D ．5
【答案】B
33. 在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AC=1,M 为 AB 中点,将△ACM 沿 CM 折起,使（ ）
A ．
B 间的距离为
则 M 到面 ABC 的距离为
（ ）
A ．12
B ．2
C ．1
D ．32
【答案】A
【答案】由已知得AB=2,AM=MB=MC=1,BC=
由△AMC 为等边三角形,取CM 中点,则AD⊥CM,AD 交BC 于E,
则AD= 折起后,由BC 2=AC 2+AB 2,知∠BAC=90°,
又cos∠ECA=2=CA 2+CE 2-2CA•CEcos∠ECA=23
, 因而AC 2=AE 2+CE 2.∴∠AEC=90°.
∵AD 2=AE 2+ED 2,∴AE⊥平面BCM,即AE 是三棱锥A-
BCM 的高,AE=3.
设点M 到面ABC 的距离为h,∵S △BCM =
4,∴由V A-BCM =V M-ABC ,
可得1
34⨯×313⨯1
21×h ,∴h=1
2.故选A ．
34. 设m,n 是异面直线，则（1）必定存在平面α，使m ⊂α，且n ∥α；（2）必定存在平面α，使m ⊂α，且n ⊥α；（3）必定存在平面γ，使得m,n 到平面γ距离相等；（4）必定存在有数对平面α和β，使m ⊂α，n ⊂β且α⊥β.上述4个命题中准确命题的序号是（）
A ．（1）（2）（3）
B ．（1）（2）（4）
C ．（1）（3）
（4）D ．（1）（4）
【答案】C
45. 关于直线,,a b l 和平面βα,，上面命题中准确的是（ ）
A ．若,//,//βαb a 则.//b a
B ．若,,//a b a ⊥α则.α⊥b
C ．若,//,βαa a ⊥则.βα⊥
D ．若βα⊂⊂b a ,，且,//,b l a l ⊥，则.α⊥l
【答案】C。