高中数学优质课件精选人教版选修2-1课件第3章空间向量与立体几何3.1.4

理可知，存在有序ห้องสมุดไป่ตู้数组{x，y，z}，使得 p＝_x_e_1＋__y_e_2_＋__ze_3__.
把_x_，__y_，__z称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记 作_p_＝__(x_，__y_，__z_)
• 建立空间直角坐标系的方法
• (1)建立空间直角坐标系的关键是根据几何图 形的特征，尽量寻找三条互相垂直且交于一点 的直线，如若找不到，要想办法去构造．
又∵O→E＝12O→C，
∴O→E＝12(O→D－O→A＋O→B)
＝－12O→A＋12O→B＋12O→D.
③
又D→O＝－O→D，
④
将②③④代入①可得，
A→E＝(O→D－O→A)－O→D＋－12O→A＋12O→B＋12O→D ＝－32O→A＋12O→B＋12O→D，
∴A→E＝－32O→A＋12O→B＋12O→D.
7分 8分 11 分 12 分
•
用坐标表示空间向量的解题方法
与步骤为：
3．在直三棱柱 ABO－A1B1O1 中，∠AOB＝π2，AO＝4， BO＝2，AA1＝4，D 为 A1B1 的中点，在如图所示的空间直角 坐标系中，求D→O，A→1B的坐标．
解析： (1)∵D→O ＝－O→D ＝－(O→O1＋O→1D) ＝－[O→O1＋12(O→A ＋O→B)]＝－O→O1－12O→A－12O→B.
•
用基底表示向量时，
• (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法 的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向 量的运算律进行．
• (2)若没给定基底时，首先选择基底．选择时， 要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量， 再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易 求．
2．设 O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为 OC 的中
• 对空间向量基本定理的理解
• (1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共 面向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一 个向量，而且表示的结果是唯一的．
• (2)空间中的基底是不唯一的，空间中任意三 个不共面向量均可作为空间向量的基底．
空间向量的正交分解及其坐标表示
单位正 三个有公共起点 O 的__两__两__垂__直___的单位向量 e1，e2，e3 称为 交基底 单位正交基底
空间向量的坐标表示
如图所示，PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PA＝AB＝1，试建立适
当的空间直角坐标系，求向量 M→N 的坐标．
∵PA＝AD＝AB＝1，PA⊥平面 ABCD，AB
⊥AD，
∴A→B，A→D，AP 是两两垂直的单位向量.
2分
设A→B＝e1，A→D ＝e2，A→P＝e3，
点，试用向量O→A，O→B，O→D表示A→E.
解析： 由题意，可以作出如图
所示的几何图形．
在封闭图形 ADOE 中，有A→E＝A→D
＋D→O＋O→E，
①
在△AOD 中，A→D＝O→D－O→A.②
在△BOC 中，O→C＝B→C－B→O，
∵A→D＝B→C，∴O→C＝A→D＋O→B＝O→D－O→A＋O→B.
•3.1 空间向量及其运算
•3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
自主学习 新知突破
• 1．了解空间向量基本定理及其意义，并能用 基本定理解决一些几何问题．
• 2．理解基底、基向量的概念，掌握空间向量 的正交分解的意义．
• 3．掌握空间向量的坐标表示，会确定一些简 单几何体的顶点坐标．
• 某次反恐演习中，一特别行动小组获悉： “恐怖分子”将“人质”隐藏在市动物园往南 500米，再往东400米处的某大厦12楼．行动小 组迅速赶到市动物园，然后按标识顺利到达目
• (2)同一几何图形中，由于建立的空间直角坐 标系不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中 也不一定相同，但本质是一样的．
1．已知 i，j，k 是空间直角坐标系 O－xyz 的坐标向量，
并且A→B＝－i＋j－k，则 B 点的坐标为( )
A．(－1,1，－1)
B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1)
空间直 角坐标 系
以 e1，e2，e3 的_公__共__点___为原点，分别以e_1_，__e_2，__e_3__的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz
对于空间任意一个向量 p，一定可以把它_平__移____，使它的
空间向 量的坐 标表示
__起__点___与原点
O
→
重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定
这三个向量能做为该空间的一组基
能． 能否用e1，e2，e3把人质的位置表示 能．
空间向量基本定理
• 定理：如果三个向量a，b不，共c面_________，那 么对于空间任一向量p，存在有序实x数a＋组yb{＋xz，c y， z}，{a，使b，得c}p＝___________.其中a，_b_，_c_______叫做 空间的一个基底，________都叫做基向量．
思路点拨： O→G＝O→M＋M→G→O→G 用O→A，M→N表示→O→G用O→A，O→B，O→C表 示→结论．
解析： O→G＝O→M＋M→G＝O→M＋23M→N＝12O→A＋23(O→N－ → OM)
＝12O→A＋2312O→B＋O→C－12O→A ＝12O→A＋13(O→B＋O→C)－13O→A ＝16O→A＋13O→B＋13O→C， ∴O→G＝16O→A＋13O→B＋13O→C.
则 x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C，
a＋b＋c＝A→C1，由 A，B1，C，D1 四点不共面，可知 x， y，z 不共面，同理可得 a，b，y；a，x，y 和 x，y，a＋b＋c 也不共面．
所以作为基底的向量组有②③④⑤. 答案： ②③④⑤
空间向量基本定理及应用
如图，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB， AC，M，N 分别是对边 OA，BC 的中点，点 G 在线段 MN 上， 且M→G＝2G→N，用基底向量O→A，O→B，O→C表示向量O→G.
∵{e1，e2，e3}为空间的一个基底，
p－3q＋z＝2
p＝17
∴2p＋q＋z＝－1 ，解之得q＝－5 ，
－p＋2q－z＝3
z＝－30
∴O→D＝17O→A－5O→B－30O→C.
•
判断三个向量能否作为基底的方
法
• 判断三个向量能否作为基底，关键是判断它 们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用
反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何 图形帮助，进行判断．
－3x＋y＝1， ∴x＋y＝2，
2x－y＝－1，
此方程组无解，
即不存在实数 x，y 使O→A＝xO→B＋yO→C， ∴O→A，O→B，O→C不共面． 故{O→A，O→B，O→C}能作为空间的一个基底． 设O→D＝pO→A＋qO→B＋zO→C，则有 2e1－e2＋3e3 ＝p(e1＋2e2－e3)＋q(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3) ＝(p－3q＋z)e1＋(2p＋q＋z)e2＋(－p＋2q－z)e3.
1→ 2(AB1
＋C→D1
)
＋A→1C1
＝12(A→B1
＋B→A1
)
＋A→1C1＝
A→A1＋
→ A1C1
＝A→C1，④正确；①③明显正确． 答案： 3
4．如图所示，四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO
⊥平面 OABC，设 O→A ＝a，O→C ＝b，O→P ＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 a，b，c 表示：B→F ，B→E ，A→E ，E→F .
又|O→O1|＝4，|O→A|＝4，|O→B|＝2， ∴D→O＝(－2，－1，－4)．
(2)∵A→1B＝O→B －O→A1＝O→B －(O→A ＋A→A1) ＝O→B －O→A －A→A1. 又|O→B|＝2，|O→A |＝4，|A→A1|＝4，
∴A→1B＝(－4,2，－4)．
◎在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点．若A→1B1＝a，A→1D1＝ b，A→1A＝c，用基底{a，b，c} 表示向量C→1M.
解析： B→F ＝12B→P ＝12(B→O ＋O→P )＝12(c－b－a)
＝－12a－12b＋12c.
B→E ＝B→C ＋C→E ＝－a＋12C→P ＝－a＋12(C→O ＋O→P )
＝－a－12b＋12c.
A→E ＝A→P ＋P→E ＝A→O ＋O→P ＋12(P→O ＋O→C )
＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c.
D．不确定
• 解析： 向量确定时，终点坐标随着起点坐 标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终 点的坐标也不确定．
• 答案： D
• 2．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列 各组中不能构成空间一个基底的是( ) • A．a,2b,3c • B．a＋b，b＋c，c＋a • C．a＋2b,2b＋3c,3a－9c • D．a＋b＋c，b，c • 解析： －3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝ 0. • 答案： C
【错解】 C→1M＝A→1M－A→1C1 ＝A→1A＋A→M－(A→1B1＋A→1D1) ＝c＋A→M－a－b.
【错因】 用基底表示向量时，只用基底就可以表示空
间内任一向量，此题中A→M仍可用基底表示．最后结果应只含 基向量．
【正解】 C→1M＝A→1M－A→1C1 ＝A→1A＋A→M－(A→1B1＋A→1D1) ＝A→1A＋12(A→1B1＋A→1D1)－(A→1B1＋A→1D1) ＝A→1A－12(A→1B1＋A→1D1)＝c－12b－12a.
思路点拨： 判断{O→A，O→B，O→C}能否作为空间的一个 基底，关键是判断O→A，O→B，O→C是否共面，解决该题可以采 用反证法．
假设O→A，O→B，O→C共面，由向量共面的充
要条件知存在实数 x，y 使O→A＝xO→B＋yO→C成立．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3， ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3 不共面，
E→F ＝12C→B ＝12O→A ＝12a.
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基底的判断
已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且O→A＝ e1＋2e2－e3，O→B＝－3e1＋e2＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断 {O→A，O→B，O→C}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基 底表示向量O→D＝2e1－e2＋3e3；若不能，请说明理由．
• 1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b， c}是空间的一个基底，给出下列向量组：
• ①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}； ④{a，x，y}；
• ⑤{x，y，a＋b＋c}．
• 其中可以作为空间基底的向量组有 ________．
解析： 如图所示，
设 a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D ，
以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系 A－xyz.4 分
方法一：∵M→N ＝M→A ＋A→P ＋P→N
＝－12A→B＋A→P＋12P→C
＝－12A→B ＋A→P ＋12(P→A ＋A→C ) ＝－12A→B ＋A→P ＋12(P→A ＋A→B ＋A→D )
＝12A→D＋12A→P＝12e2＋12e3，
∴M→N ＝0，12，12.
7分 9分 11 分 12 分
方法二：如图所示，
连接 AC，BD 交于点 O，
则 O 为 AC，BD 的中点，
6分
连接 MO，ON， ∴M→O＝12B→C＝12A→D， O→N＝12A→P， ∴M→N＝M→O＋O→N＝12A→D＋12A→P＝12e2＋12e3.
∴M→N ＝0，12，12.
的地，完成解救“人质”的任务．从标识中可
以看出：确定市动物园的位置后，大厦的位置 就随之确定，“人质”的隐藏地由“南500 米”“东400米”“12楼”这三个量确定．设e1 是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3 是向上的单位向量．
• [问题1] 底吗？ • [提示1] • [问题2] 出来？ • [提示2]
3．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，下列关于A→C1的表达 式中：
①A→A1＋A→1B1＋A→1D1； ②A→B＋D→D1＋D→1C1； ③A→D＋D→D1＋D→1C1； ④12(A→B1＋C→D1)＋A→1C1. 正确的个数是________个．
解析： A→B＋D→D1＋D→1C1＝A→B＋D→C1＝A→B＋A→B1≠A→C1， ②不正确；