普通高等学校招生全国统一考试数学(四川卷)解析之欧阳物创编

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川
卷）
数学（理工农医类）解析
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10
页．满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本
试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上．
3。

本试卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式
P (A +B ) =P (A )+P (B ) 24s R π=
如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径
P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么
24
3
v R π=
在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径
一、选择题：
（1）i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝
（A ）－1 （B ）1 （C ）i - （D ）i 解析：由复数性质知：i 2＝－1 故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i )＝－1 答案：A
（2）下列四个图像所表示的函数，在点0x =处连续的是
（A ） （B ） （C ） （D ）
解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.
答案：D
（3）2log510＋log50.25＝
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4解析：2log510＋log50.25
＝log5100＋log50.25
＝log525
＝2
答案：C
（4）函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是
（A）2
m=
m=-（D）1
m=（C）1
m=-（B）2
m
解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－
2
m＝1m＝－2
于是－
2
答案：A
（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，
2
∣∣=
=∣+∣=∣-∣,则AM
16,
BC AB AC AB AC
（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1解析：由2BC ＝16，得|BC|＝4
∣+∣=∣-∣=||＝4
AB AC AB AC BC
而AB AC AM
∣+∣=2∣∣
故AM
∣∣=2
答案：C
π个单（6）将函数sin
=的图像上所有的点向右平行移动
y x
10
位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A ）sin(2)10
y x π
=-
（B ）sin(2)5
y x π=-
（C ）1sin()2
10
y x π=- （D ）1sin()2
20
y x π
=-
解析：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10
π个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x －10
π)
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()2
10
y x π=-.
答案：C
（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A
产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 解析：设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱
则70106480,x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈⎩
目标函数z ＝280x ＋300y
结合图象可得：当x ＝15,y ＝55时z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 答案：B
（8）已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且
112n n S S a +=+，则lim
n
n n
a S →∞=
（A ）0 （B ）12
（C ） 1 （D ）2 解析：由112n n S S a +=+,且2112n n S S a ++=+
作差得a n ＋2＝2a n ＋1
又S 2＝2S 1＋a 1，即a 2＋a 1＝2a 1＋a 1a 2＝2a 故{a n }是公比为2的等比数列
S n ＝a 1＋2a 1＋22a 1＋……＋2n －1a 1＝(2n －1)a 1
则111
21
lim lim (21)2n n n n n n a a S a -→∞→∞==-
答案：B
（9）椭圆22
221()x y a b a b
+=>>0的右焦点F
，其右准线与x 轴的交
点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点
F
，则椭圆离心率的取值范围是
（A ）20,⎛ ⎝
⎦
（B ）10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
（C ） )
21,1⎡-⎣ （D ）1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，
即F 点到P 点与A
点的距离相等而|FA |＝22
a b c c c
-=
|PF |∈[a －c ,a ＋c ]
B
C
D A
N M O
α于是
2
b c
∈[a －c ,a ＋c ]
即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2
∴222
222
ac c a c a c ac c ⎧-≤-⎪⎨-≤+⎪⎩ 1112c a
c c a
a ⎧≤⎪⎪⎨
⎪≤-≥⎪⎩或 又e ∈(0,1)
故e ∈1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
答案：D
（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法
①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24个
②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个
算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个 答案：C
（11）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，
BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC 、AD 分别 与球面交于点M ，N ，那么M 、N 两点间的球面距离是 （A ）17arccos 25
R （B ）18arccos 25
R
（C ）13R π （D ）4
15
R π
解析：由已知，AB ＝2R ,BC ＝R ,故tan ∠BAC ＝12
cos ∠BAC ＝2
55
连结OM ，则△OAM 为等腰三角形
AM ＝2AOcos ∠BAC ＝45
R ，同理AN ＝
45
R ，且
MN ∥CD
而AC ＝
5R ,CD ＝R
故MN ：CD ＝AN :AC
MN ＝45
R ，
连结OM 、ON ，有OM ＝ON ＝R 于是
cos ∠MON ＝22217
225
OM ON MN OM ON +-=
所以M 、N 两点间的球面距离是17arccos 25
R 答案：A
（12）设0a b c >>>，则2211
21025()
a ac c a
b a a b +
+-+-的最小值是（A ）2 （B ）4 （C ） 25（D ）5 解析：221121025()
a ac c a
b a a b +
+-+- ＝2211(5)()
a c a a
b ab ab a a b -+-+++-
＝211(5)()()
a c a
b a a b ab a a b -+++-+-
≥0＋2＋2＝4
当且仅当a －5c ＝0,ab ＝1,a (a －b )＝1时等号成立 如取a 2b 2
,c 2满足条件.
答案：B
第Ⅱ卷
α•
A
B
•β
二、填空题：本大题共
4小题，每小题4分，共16分.
把答
案填在题中横线上.
（13）6(2
的展开式中的第四项是.
解析：T 4＝3336160
2(C x
=-
答案：－160x
（14）直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则
AB ∣
∣=.
解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为圆心到直线
250
x y -+=
的距离为
d ＝
=
故
|AB |2
22(
)+=2
得|AB |＝23
答案：2
3
（15）如图，二面角
l αβ
--的大小是60°，线段
AB α⊂.B l ∈， AB 与l 所成的角为
30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是.
解析：过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作
l 的垂线.垂足为D
连结AD ，有三垂线定理可知AD ⊥l ， 故∠ADC 为二面角l αβ--的平面角，为60° 又由已知，∠ABD ＝30°
连结CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角
设AD ＝2，则AC CD ＝1
AB ＝
sin 30AD
＝4
α
•
A
B
•β
C D
∴sin ∠ABC ＝3AC AB =
答案：
3 （16）设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有
x y,x y,xy S +-∈，则称
S 为封闭集。

下列命题：
①集合S ＝{a ＋bi |（a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；
④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 解析：直接验证可知①正确.
当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，②正确
对于集合S ＝{0}，显然满足素有条件，但S 是有限集,③错误
取S ＝{0}，T ＝{0,1}，满足S T C ⊆⊆,但由于0－1＝－1T ，故T 不是封闭集，④错误 答案：①②
三、解答题：本大题共
6小题，共74分。

解答应写出文字
说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ.
本小题考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力。

解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么
P (A )=P (B )=P (C )=16
P (A B C )=P (A )P (B )P (C )=1525
2()66216
=
答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为
25
216
……………………………………6分
（2）ξ的可能值为0,1,2,3
P (ξ=k )=3315()()6
6
k k k C -(k =0,1,2,3)
所以
中奖
人数
ξ的分
布列
为
ξ
1
2
3
P
125
216
2572
572
1216
E
ξ
=0×
125216
+1×
2572
+2×
572
+3×
1216
=12
………………………………………………12分
（18）（本小题满分12分）已知正方体ABCD －A 'B 'C 'D '的棱长为1，点M 是棱AA '的中点，点O 是对角线BD '的中点.
（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线； （Ⅱ）求二面角M －BC '－B '的大小； （Ⅲ）求三棱锥M －OBC 的体积.本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知
识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量
•D '
A
B
C
D M O
A '
B '
C '•
知识解决数学问题的能力。

解法一：（1）连结AC ，取AC 中点K ，则K 为BD 的中点，连结OK
因为M 是棱AA ’的中点，点O 是BD ’的中点 所以AM 1//'//2
DD OK
所以MO //AK 由AA ’⊥AK ，得MO ⊥AA ’
因为AK ⊥BD ,AK ⊥BB ’，所以AK ⊥平面BDD ’B ’ 所以AK ⊥BD ’ 所以MO ⊥BD ’
又因为OM 是异面直线AA ’和BD ’都相交故OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线
（2）取BB ’中点N ，连结MN ，则MN ⊥平面
BCC ’B ’
过点N 作NH ⊥BC ’于H ，连结MH 则由三垂线定理得BC ’⊥MH
从而,∠MHN 为二面角M -BC ’-B ’的平面角
MN =1,NH =Bnsin 45°=1
22
2=
在Rt △MNH
中，tan ∠MHN =22
2
MN NH ==故二面角M -
BC ’-B ’的大小为arctan 22
(3)易知，S △OBC =S △OA ’D ’，且△OBC 和△OA ’D ’都在平面BCD ’A ’内
点O 到平面MA ’D ’距离h ＝12
V M -OBC =V M -OA ’D ’=V O -MA ’D ’=13S △MA ’D ’h =124
解法二：
以点D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D -xyz 则
A (1,0,0),
B (1,1,0),
C (0,1,0),A ’(1,0,
1),C ’(0,1,1),D ’(0,0,1)
(1)因为点M 是棱AA ’的中点,点
O 是BD ’的中点
所以M (1,0,12
),O (12,12,12
)
11
(,,0)22
OM =-,'AA =(0,0,1),'BD =(-1,-1,1)
'
OM AA =0,11
'22
OM BD =-++0=0所以
OM ⊥AA ’,OM ⊥BD ’
又因为OM 与异面直线AA ’和BD ’都相交 故
OM 为异面直线AA '和BD '的公垂
线.………………………………4分
(2)设平面BMC '的一个法向量为1n =(x ,y ,z )
BM =(0,-1,
12
),'BC ＝(－1,0,1)
1
10'0n BM n BC ⎧=⎪⎨
=⎪⎩ 即1020
y z x z ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩ 取z ＝2,则x ＝2,y ＝1，从而1n =(2,1,2)取平面BC 'B '的一个法向量为2n ＝(0,1,0)
cos 1212121
,3
||||91n n n n n n <>=
==
由图可知，二面角M -BC '-B '的平面角为锐角
故
二
面
角
M -BC '-B '的大小为
arccos 13
………………………………………………9分
(3)易知，S △OBC ＝14
S △BCD 'A '＝121
24
4
=
设平面OBC 的一个法向量为3n ＝(x 1,y 1,z 1)'BD ＝(－1,－1,1),BC ＝(－1,0,0)
31'0
n BD n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即111100x y z x --+=⎧⎨
-=⎩ 取z 1＝1,得y 1＝1，从而3n ＝(0,1,1) 点M 到平面OBC 的距离d ＝
31
||2
24||2
BM n ==
V M －OBC ＝
11221
334424
OBC S d ∆==
…………………………………………12分
（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）○1证明两角和的余弦公式
C :cos()cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-；
○2由
C αβ
+推导两角和的正弦公式
S :sin()sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+.
（Ⅱ）已知△ABC 的面积1,32
S AB AC =•=，且35cos B =，求
cosC .
本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。

解：(1)①如图，在执教坐标系xOy 内做单位圆O ，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于
P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于P 4.
则P 1(1,0),P 2(cos α,sin α)
P 3(cos (α＋β),sin (α＋β)),P 4(cos (－β),sin (－β))由P 1P 3＝
P 2P 4及两点间的距离公式，得
[cos (α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos (－β)－cos α]2＋[sin (－
β)－sin α]2
展开并整理得：2－2cos (α＋β)＝2－2(cos αcos β－
sin αsin β)
∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.……………………4分 ②由①易得cos (2
π－α)＝sin α,sin (2
π－α)＝cos α
sin (α＋β)＝cos [2
π－(α＋β)]＝cos [(2
π－α)＋(－β)]
＝cos (2
π－α)cos (－β)－sin (2
π－α)sin (－β)
＝sin αcos β＋cos αsin β……………………………………6分 (2)由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c 则S ＝12
bcsinA ＝12
AB AC •＝bccosA ＝3＞0
∴A ∈(0,2
π),cosA ＝3sinA
又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sinA ＝10,cosA ＝10
由题意，cosB ＝35
,得sinB ＝45
∴cos (A ＋B )＝cosAcosB －sinAsinB 故cosC ＝cos [π
－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )12分
（20）（本小题满分12分）
已知定点A (－1，0)，F (2，0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍.设点
P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N
（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由.本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力. 解：(1)设P (x ,y )
，则1
2||2
x =-
化
简得
x 2
－
23
y =1(y ≠0)………………………………………………………………4分
(2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0) 与双曲线x 2
－2
3
y =1联立消去y 得(3－k )2x 2＋4k 2x －(4k 2＋
3)＝0
由题意知3－k 2≠0且△＞0 设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，
则21222
12243433k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩
y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]
＝k 2(
2
22243
833
k k k k +---＋4)
＝2
293
k k --因为x 1、x 2≠－1
所以直线AB 的方程为y ＝1
11
y x +(x ＋1) 因此M 点的坐标为(1
131,
22(1)
y x +)
1133
(,)22(1)
y FM x =-+,同理
可得
2233
(,)
22(1)
y FN x =-+因此
2121293
()22(1)(1)
y y FM FN x x =-+++
＝
2
2
22
22
81
43
434
9
4(1)
33
k
k
k k
k k
-
-
+
+
++
--
＝0
②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)
AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为(13,
22)，33
(,)
22
FM=-
同理可得33
(,)
22
FN=--
因此2333
()()
222
FM FN=-+⨯-＝0综上FM FN＝0，即FM⊥FN 故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分
（21）（本小题满分12分）
已知数列{a n}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2a m＋n－1＋2(m－n)2
（Ⅰ）求a3，a5；
（Ⅱ）设b n＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{b n}是等差数列；
（Ⅲ）设c n＝(a n+1－a n)q n－1(q≠0，n∈N*)，求数列{c n}的前n项和S n.
本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.
解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分
(2)当n∈N*时，由已知(以n＋2代替m)可得
a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8
于是[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝8 即 b n ＋1－b n ＝8 所
以
{b n }
是
公
差
为
8
的
等
差
数
列………………………………………………5分
(3)由(1)(2)解答可知{b n }是首项为b 1＝a 3－a 1＝6,公差为8的等差数列
则b n ＝8n －2，即a 2n +=1－a 2n －1＝8n －2 另由已知(令m ＝1)可得
a n ＝2112
n a a ++-(n －1)2.
那么a n ＋1－a n ＝21212
n n a a +-+－2n ＋1
＝822
n -－2n ＋1
＝2n
于是c n ＝2nq n －1.
当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋……＋2n ＝n (n ＋1) 当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋……＋2n ·q n －1. 两边同乘以q ，可得
qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋……＋2n ·q n .
上述两式相减得 (1－q )S n ＝2(1＋q ＋q 2＋……＋q n －1)
－2nq n
＝2·11n
q q
--－2nq n
＝2·1
1(1)1n n n q nq q
+-++-
所以S n ＝2·12
(1)1
(1)
n n nq n q q +-++-
综上所述，S n ＝12(1)(1)
(1)1
2(1)(1)n n n n q nq n q q q ++=⎧⎪-++⎨≠⎪-⎩
…………………………12分
（22）（本小题满分14分） 设
11x
x
a f (x )a +=
-（0a >且1a ≠），g (x )是f (x )的反函数.
（Ⅰ）设关于x 的方程求2
17a
t
log g(x )(x )(x )
=--在区间[2，6]上
有实数解，求t 的取值范围；
（Ⅱ）当a ＝e （e 为自然对数的底数）时，证明：
2
2
n
k g(k )=>∑； （Ⅲ）当0＜a ≤12时，试比较1n
k f (k )n =∣-∣∑与4的大小，并说明
理由.
本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力. 解：(1)由题意，得a x ＝11
y y -+＞0
故g (x )＝1log 1
a x x -+，x ∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)
由21
log log (1)(7)1
a
a
t x x x x -=--+得t ＝(x -1)2(7-x )，x ∈[2,6]
则t '=-3x 2+18x -15=-3(x -1)(x -5) 列表如下：
x
2 (2,5) 5 (5,6) 6 t ' + 0 - t
5
↗
极大值32
↘
25
所以t 最小值＝5，t 最大值＝32 所
以
t 的取值范围为
[5,32]……………………………………………………5分
(2)21231
()ln ln ln ln
3
4
51
n
k n g k n =-=+++
++∑ ＝ln (1231345
1
n n -⨯⨯⨯
⨯+) ＝－ln (1)2
n n +
令u (z )＝－lnz 2
－2
1z z
-＝－2lnz ＋z －1z ，z ＞0
则
u '(z )＝－2211z z ++＝(1－1z
)2
≥0
所以u (z )在(0,＋∞)上是增函数
又因为1＞0，所以u
＞u (1)＝0
即ln (1)12
(1)
n n n n +-
+＞0
即
2
2
()n
k g k =>∑9
分
(3)设a ＝
1
1p
+，则p ≥1，1＜f (1)＝1211a a
p
+=+-≤3
当n ＝1时，|f (1)－1|＝2p
≤2＜4
当n ≥2时
设k ≥2,k ∈N *
时，则f (k )＝
(1)12
1(1)1(1)1
k k k p p p ++=+
+-+-＝1＋
1222
k k
k k k C p C p C p ++
+ 所以1＜f (k )≤1＋
12
2444
11(1)1
k k C C k k k k =+=+-+++ 从而n －1＜2
()n k f k =∑≤n -1+44
2
1n -
+＝n +1-41
n +＜n ＋1 所以n ＜1
()n k f k =∑＜f (1)＋n ＋1≤n ＋4
综上所述，总有|()n f k ∑－n |＜4。