高考理科数学2月教学质量检测联考

高考理科数学2月教学质量检测联考
数学（理工农医类）
本试卷共4页；分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项；
1．答第Ⅰ卷前；考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每题选出答案后；用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．（特别强调；为方便本次阅卷；每位考生在认真填涂“数学”答题卡的前提下；再将Ⅰ卷选择题答案重涂在另一答题卡上．）如需改动；用橡皮擦干净后；再改图其他答案标号．
一、选择题；本大题12小题；每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的．
1．若复数
1
1
i
z
i
-
=
+
；则z等于
A．-I B．i C．2i D．1+i
2．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计入右面的茎叶图所示；若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲X乙；则下列结论正确的是
A．X甲<X乙；乙比甲成绩稳定
B．X甲>X乙；甲比乙成绩稳定
C．X甲>X乙；乙比甲成绩稳定
D．X甲<X乙；甲比乙成绩稳定
3．已知向量a；b均为单位向量；若它们的夹角60°；则|a-3b|等于
A．7B．10C．13D．4
4．在下列各函数中；最小值等于2的函数是
A．
1
y x
x
=+B．
1
cos(0)
cos2
y x x
x
π
=+<<
C．
2
22
y
x
=
+
D．
4
2
x
x
y e
e
=+-
5．已知椭圆x2+2y2-4=0；则以M（1；1）为重点的弦所在的直线方程是A．x+2y-3=0 B．2x+y-3=0 C．x-2y+3=0 D．2x-y+3=0
6．如图所示的程序框图输出的结果是
A ．
34 B ．45
C ．56
D ．67
7．用单位正方体搭几何体；使它的主视图和俯视图如图所示；则符合条件的几何体体积的最小值与最大值分别是
A ．9；13
B ．7；16
C ．10；15
D ．10；16
8．函数()sin()(||)2
f x x π
ωϕω=+<
的最小正周期为π；且其图像向左平移
6
π
个单位后得到的函数为奇函数；则函数f （x ）的图象
A ．关于点(
,0)12π
对称
B ．关于直线5()12
x π
=对称 C ．关于点5(,0)12
π
对称
D ．关于直线()12
x π=
对称
9．函数||y x =与21y x =
+在同一坐标系的图象为
10．三棱锥P -ABC 的四个定点都在体积为5003
π
的球的表面上；地面ABC 所在的小圆面积为16π；则该三棱锥的高的最大值为
A ．7
B ．7．5
C ．8
D ．9
11．抛物线2
(0)x ay a =>的准线l 与y 轴交于点P ；若l 绕点P 以每秒12
π
弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒钟后；恰与抛物线第一次相切；则t 等于
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．函数y =f （x ）是定义在[a ；b ]上的增函数；期中a ；b ∈R ；且0<b <-a ；已知y =f （x ）无零点；设函数F （x ）=f 2（x ）+f 2（-x ）；则对于F （x ）有如下四个说法；
①定义域是[-b ；b ]； ②是偶函数； ③最小值是0； ④在定义域内单调递增 A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项；
1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上． 二、填空题；本大题共4小题；每小题4分；共16分．
13．已知双曲线22
19x y a
-=的右焦点为(13,0)；则该双曲线的渐近线方程为__________． 14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ；若61420a a +=；则S 19=______________． 15．二项式6()2n x x
+
展开式中；前三项洗漱一次组成等差数列；则展开式中的常数项
等于____________________．
16．如图；平面上一长12cm ；宽10cm 的矩形ABCD 内有一半径为1cm 的圆O （圆心O 在矩形对角线交点处）．把一枚半径1cm 的硬币任意掷在矩形内（硬币完全落在矩形内）；则硬币不与圆O 相碰的概率为_________________．
三、解答题；本大题共6小题；共74分．解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中；角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ；且A 为锐角；
22()2sin()sin()cos ()cos ()222222
A A A A
f A ππππ=-++--+
（1）求f （A ）的最小值； （2）若7
()2,,612
f A A B a π=-+==；求b 的大小．
18．（本小题满分12分）
甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏；按照规则；甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答；然后由乙回答剩余3题；每人答对其中2题就停止答题；即闯关成功．已
知在6道被选题中；甲能答对其中的4道题；乙答对每道题的概率都是2
3
．
（1）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（2）设甲答对题目的个数为ξ1；求ξ的分布列及数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图；直四棱柱ABCD—A1B2C3D4中；侧棱AA1=2；底面ABCD是菱形；AB=2,∠ABC=60°；P为侧棱BB 2上的动点．
（1）求证；D1P⊥AC；
（2）当二面角D1—AC—P的大小为120°；求BP的长；
（3）在（2）的条件下；求三棱锥P—ACD1的体积．
20．（本小题满分12分）
已知函数2
3()ln(23)2
f x x x =+-
． （1）求()f x 在[0；1]上的单调区间；
（2）若对任意1
[,1]3
x ∈；不等式|()|ln 5a f x ->；求实数a 的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知可行域0,20,0,
y x y ≥⎧⎪
+≥⎨+-的外接圆C 与x 轴交于点A 1、A 2；椭圆C 1以线段A 1A 2
为长轴；离心率e =
． （1）求圆C 及椭圆C 1的方程；
（2）设椭圆C 1的右焦点为F ；点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点；过原点O 作直线PE
的垂线交直线x =Q ；判断直线PQ 与圆C 的位置关系；并给出证明．
22．（本小题满分14分）
已知在数列{a n }中；2
12,a t a t ==（t>0
且t≠1
）．x =是函数
311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点．
（1）证明数列1{}n n a a +-是等比数列；并求数列{}n a 的通向公式； （2）记1
2(1)n n
b a =-；当t =2时；数列{}n b 的前n 项和为S n ；求使S n >20的n 的最小值；
（3）当t =2时；是否存在指数函数g （x ）；使得对于任意的正整数n 有
1
1()1
(1)(1)3
k
k k
k g k a
a -+<++∑成立？若存在；求出满足条件的一个g （x ）；若不存在；请说明理
由．
参考答案
一、选择题；
BAADA
CDBAC
CC
二、填空题
13．2
3
y x =± 14．190 15．7
16．120
π-
三、解答题
17．（1）22()2cos
sin sin cos 2222A A A A f A =-+
-sin cos )4
A A A π=--=+ ∵A 为锐角；∴02A π<<；∴3
444
A πππ<+<；
∴当4
2
A π
π
+
=
时；min ()f A =（2
）由题意知())4f A A π
=+
=；∴sin()14
A π
+=．
又∵
3444A ππ
π<+
<；∴42A ππ+=；∴4
A π
=；
又∵712A B π+=；∴3
B π
=；
由正弦定理
sin sin a b A B =
得sin sin 33sin sin
4
a B
b A
π
π
==
=．
18．（1）设甲、乙闯关成功分别为事件A 、B ；则12
423
641
()205
C C P A C ===, 3223222127()(1)(1)33327927
P B C =-+-=+=
, 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
27128
1()11527135
P A B PA PB -=-=-⨯=
． （2）由题知ξ的可能取值是1；2．
122134242433
6614
(1),(2)55
C C C C C P P C C ξξ+======, 则ξ的分布列为
∴14912555
E ξ=⨯
+⨯=． 19．（1）连接BD ；则AC ⊥BD ；
∵D 1D ⊥地面ABCD ；∴AC ⊥D 1D ∴AC ⊥平面BB 1D 1D ；
∵D 1P ⊂平面BB 1D 1D ；∴D 1P ⊥AC ． （2）连接D 1O ；OP ；
∵D 1A =D 1C ；∴D 1O ⊥AC ；同理PO ⊥AC 1
∴∠D 1OP 是二面角D 1—AC —P 的平面角．∴∠D 1OP =120°． 设(02)BP x x =≤≤；
∵AB=2,ABC=∠60°；则3BO DO ==； ∴213,437PO x D O =+=
+=．
在111Rt D B P ∆中；2
112(2)D P x =+-．
在1D OP ∆中；由余弦定理1212212D P D O PO D O PO COS =+-120°得
222
1
12(2)7627
32x x x +-=++++；即2647(3)x x -=+． 整理得2
31650x x -+=；解得13x =或5x =（舍）．∴13BP =．
（3）∵1
3
BP =
；∴127393PO =+=；
∴111
sin 2
S POD PO OD ∆=
-120°
=127373
72326
-
=． ∵AC ⊥平面OPD 1；
∴11111P ACD P OCD P OAD A OAD A OAD V V V V V -----=+=+
1117373
23369
OPD S AC ∆=
== 解法二；设上、下地面菱形对角线焦点分别为O 1；O ；
则AC BD ⊥,1OO ⊥平面ABCD ．
如图；以OD 、OC 、OO 1所在直线为xyz 轴；建立空间直角坐标系．
（1）(1,1,0),(0,1,0),2),(A C D B -
设()(02)P x x ≤≤
则11(0,2,0),(23,0,2),000(2)0AC D P x AC D P x ==--=++-= ∴1D P AC ⊥即1D P AC ⊥．
（2）1(3,0,2),(3,0,)OD OP x ==-；10,0OD AC OP AC ==；
∴1,OD AC OP AC ⊥⊥；∴1,OD OP <>就是二面角D 1—AC —P 的平面角； ∴112
1
cos 2|1|||73OD OP D OP OD OP x ∠===-+；
解得13x =
或5x =（舍）；∴1
3
BP =． （3）同解法一．
20．（1）函数f （x ）的定义域为2
{|}3
x x >-；
233693(1)(31)
'()3232332
x x x x f x x x x x ---+-=-==+++
∴在[0；1]上；当1
03
x ≤≤时；'()0f x <；()f x 单调递增； 当
1
13
x <≤时；'()0f x <；()f x 单调递减． ∴()f x 在[0；1]上的增区间是1[0,]3；减区间是1
[1]3
，．
（开闭均可） （2）由|()|ln 5a f x ->；可得()ln5a f x ->或()ln 5a f x --<；
即()ln5a f x >+或()ln5a f x -<．
由（1）当1
[,1]3x ∈时；11()()ln 336nmx f x f ==-；min 3()(1)ln 52
f x f ==-． ∵()ln5a f x >+恒成立；∴1ln156
a >-； ∵()ln5a f x <-恒成立；∴32
a <-
．
21．（1）由题意可知；可行域是以12(2,0),(2,0)A A -及点M 为顶点的三角形；
∵12A M A M ⊥；∴12A A M ∆为直角三角形；
∴外接圆C 以原点O 为圆心；线段A 1A 2为直径；故其方程为22
4x y +=． ∵2a =4；∴a =2．
又e =
e =
b =．∴所求椭圆C 1的方程是
22
142
x y +=． （2）直线PQ 与圆C 相切．
设000(,)(2)P x y x ≠±；则22
004y x =-．
当0x =
1OP PQ P Q k k =-；∴OP PQ ⊥；
当0x ≠
00
OP OQ x k k y =
∴=
∴直线OQ
的方程为00
x y x y =-
． 因此；点Q
的坐标为00
4
)x y -
．
∵00PQ
x k y ====-；
∴当00x =时；0PQ k =；OP PQ ⊥； 当00x ≠时候；0
OP y k x =
；∴1,PQ OP k k OP PQ =-⊥． 综上；当02x ≠±时候；OP PQ ⊥；故直线PQ 始终与圆C 相切．
22．（1）2
11'()33[(1)](2)n n n f x a x t a a n -+=-+-≥．
由题意0f =
；即21133[(1)](2)n n n a t a a n -+-+-≥． ∴11()(2)n n n n a a t a a n +--=-≥
∵0t >且1t ≠；∴数列1{}n n a a +-是以2
t t -为首项；t 为公比的等比数列；
∴1
12()(1),n n n n a a t t t t t -+-=-=-
∴2123211(1),
(1),
(1)n n n a a t t a a t t a a t t ---=--=--=-……
以上各式两边分别相加得211(1)()n n a a t t t t --=-++…；∴(2)n n a t n =≥；
当1n =时；上式也成立；∴n n a t =
（2）当1t =时；1
2(21)1222n n n n b --==- ∴211
111122(12122212
n n n S n n --
=-+++=--…+2 1122(1)22222
n n n n =--=-+． 由2008n S >；得1222()20082n n -+>；1()10052n n +>； 因此n 的最小值为1005．
（3）∵11111111()(1)(1)(21)(21)22121
k k k k k k k a a +++==-++++++ 令()2k g k =；则有；11()11(1)(1)2121k k k k g k a a ++=-++++ 则11111()11(()(1)(1)2121n
n k k k k k k g k a a ++==+=-++++∑∑ 2231111111()()()212121212121n n +=-+-++-++++++ (11113213)
n +=-<+ 即函数()2x g k =满足条件．。