数学人教版九年级上册22.2.2图象法求一元二次方程的近似根同步训练(解析版)

2019-2019 学年数学人教版九年级上册图象法求一元二次方程的近似根同步训练
一、选择题
1.( 2 分 ) 依据以下表格对应值：
x 3.2 3.2 3.2
4 5 6
ax2+b -0. 0.0 0.0
x+c 021 3
判断对于 x 的方程 ax2+bx+c=0的一个解x的范围是（）
A. x ＜3.24
B. 3.24＜x＜3.25
C. 3.25＜x＜
3.26 D. 3.25＜x＜3.28
【答案】 B
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【分析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0 时，3.24＜x＜3.25．故答案为：B．
【剖析】依据表中数据获得x=3.24 时， ax2+bx+c=-0.02＜0；x=3.25 时，
ax2+bx+c=0.01＞0，于是可判断 x 在 3.24 和 3.25 之间取某一值时，
ax2+bx+c=0，由此获得方程ax2+bx+c=0（x≠0）的一个解 x 的范围。

2. ( 2 分 ) 已知二次函数的对称轴是直线x=﹣1 及部分
图像（如下图），由图像可知对于x 的一元二次方程的两
个根分别是和（）
A.﹣1.3
B.﹣2.3
C.﹣3.3
D.﹣4.3
【答案】 C
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【分析】【解答】依据二次函数的图象和性质进行求解.
因为函数对于对称轴对称，方程一根为 1.3 可知另一根－ 1－x2＝1.3－（－1），∴ x2＝－ 3.3.
故答案为： C．
【剖析】依据二次函数的图象和性质，联合对称轴x=，代入进行求解。

3. ( 2 分 ) 二次函数的图象如下图．当y＜0 时，自变量 x
的取值范围是（）．
A. －1＜x＜3
B. x＜－ 1
C. x＞
3 D. x＜－ 1 或 x＞3
【答案】 A
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【分析】【解答】由图可知图象与 x 轴的交点是（ -1,0）、（ 3,0）,当 y＜0时，函数图像位于 x 轴的下方，此时自变量 x 的取值范围是 :－1＜x＜3.故答案为：
A
【剖析】察看图像能够得出：当y＜0 时，函数图像位于x 轴的下方，便可
写出此时自变量x 的取值范围。

4.( 2 分 ) 如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式
ax2+bx+c>0 的解集是（）.
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【分析】【解答】由图象得：对称轴是x=2，此中一个点的坐标为（ 5，0），∴图象与 x 轴的另一个交点坐标为（-1，0）.
利用图象可知： ax2+bx+c＞0 的解集即是 y＞ 0 是 x 的取值范围，
∴-1＜x＜5.
故答案为： A.
【剖析】察看函数图像，可得出对称轴是x=2，此中一个点的坐标为（5，0），利用二次函数的对称轴可出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，要使y＞0，就是察看 x 轴上方部分的图像，可得出答案。

5. ( 2 分 ) 小明利用二次函数的图象预计方程x2－2x－2＝0 的近似解，如
表是小明研究过程中的一些计算数据．依据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0 必有一个实数根在 ( )
3.
x 1.52 2.53
5
x2－2x－－－ 3.
－2
1 2.7520.7525
A.1.5 和 2 之间
B.2 和 2.5 之间
C.2.5 和 3 之间
D.3 和 3.5 之间
【答案】 C
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【分析】【解答】由表格得： 2.5＜x＜3 时， -0.75＜y＜1，二次函数 y=x2－2x－2 与 x 轴必有一个交点在 2.5 到 3 之间，所以 x2－2x－2＝0 必有一个实数根在 2.5 到 3 之间 .故答案为： C
【剖析】察看表中的x、y 的对应值，主要察看0 在相对应的哪两个y 的值之间，那么便可得出近似根就在这两个y 对应的 x 值之间。

6.( 2 分 ) 依据抛物线 y＝x2＋3x－1 与 x 轴的交点的坐标，能够求出以下
方程中哪个方程的近似解()
A.x 2＋3x－1＝0
B.x2＋3x＋1＝0
C.3x2＋x－1＝0
D.x2－3x＋1＝（）
【答案】 A
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【分析】【解答】要求 y＝x2＋3x－1 与 x 轴的交点的坐标，令y=0，x2＋3x －1=0，解出 x 写出坐标即可，一元二次方程的解与二次函数和 x 轴的交点坐标相对应，所以依据抛物线 y＝x2＋3x－1 与 x 轴的交点的坐标，能够求出 x2＋3x－1=0 的近似解故答案为： A.
【剖析】要求 y＝x2＋3x－1 与 x 轴的交点的坐标，设 y=0，x2＋3x－1=0，求出 x 的值，可得出抛物线 y＝x2＋3x－1 与 x 轴的交点坐标，就能够求出x2＋3x－1=0 的近似解。

7.( 2 分 ) 已知二次函数 y＝x2－2x＋m(m 为常数 )的图象与 x 轴的一个交点为(－1，0)，则对于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m＝0 的两个实数根是 ( )
A.x 1＝1，x2＝2
B.x1＝1，x2＝3
C.x1＝－ 1，x2＝2
D.x1＝－ 1，x2＝3
【答案】 D
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【分析】【解答】将 (－1，0)代入 y＝x2－2x＋m 得,,
解得,
则得方程为 :x2－2x-3=0,
解得,
,.
所以 D 选项是正确的 .
故答案为： D.
【剖析】将已知点的坐标代入函数分析式，便可求出抛物线的分析式，再
依据 y=0 求出对应的自变量的值，再依据二次函数 y＝x2－2x＋m(m 为常数 )
的图象与 x 轴的两个交点的横坐标就是对于x 的一元二次方程x2－2x＋m
＝0 的两个实数根。

8.( 2 分 ) 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的大概图象如下图，极点坐标为（﹣ 2，﹣9a），以下结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程 a（x+5）
（x﹣1）=﹣1 有两个根 x1
和 x 21212
，且 x ＜x，则﹣ 5＜x ＜x ＜1；④
若方程 |ax2+bx+c|=1 有四个根，则这四个根的和为﹣4．此中正确的结论有（）
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
【答案】 B
【考点】二次函数图象与系数的关系，利用二次函数图像求一元二次方程
的近似根，二次函数 y=a（x-h）^2+k 的性质
【分析】【解答】∵抛物线的张口向上，
∴a>0，
∵抛物线的极点坐标（﹣ 2，﹣ 9a），
∴﹣=﹣2，=﹣9a，
∴b=4a，c=-5a，
∴抛物线的分析式为 y=ax2﹣，
+4ax 5a
∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，
5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，
∵抛物线 y=ax2+4ax﹣5a 交 x 轴于（﹣ 5，0），（1，0），
∴若方程 a（x+5）（x﹣1）=﹣1 有两个根 x1和 x2，且 x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，
若方程 |ax2+bx+c|=1 有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，
故答案为： B．
【剖析】利用抛物线的极点坐标，代入可得出b=4a，c=-5a，所以函数分析式转变为 y=ax2+4ax﹣5a，分别将 b=4a，c=-5a 代入①②，联合a>0，可对
①②作出判断；再由 y=0，便可求出抛物线与x 轴的两个交点坐标，联合函数图像及 x1＜x2，可对③作出判断；若方程|ax2+bx+c|=1 有四个根，则
这四个根的和为﹣ 8，可对④作出判断，综上所述，可得出答案。

二、填空题
9. ( 1 分 ) 二次函数 y＝x2＋ax＋a 与 x 轴的交点分别是 A(x 1，0)、B(x2，0)，且 x1＋x2－x1x2＝－ 10，则抛物线的极点坐标是 ________．
【答案】（ -，-）
【考点】二次函数图象与系数的关系，利用二次函数图像求一元二次方程
的近似根
【分析】【解答】∵二次函数 y=x2+ax+a 与 x 轴的交点分别是 A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=-a，x1x2=a，
∴由 x1+x 2-x1x2=-10，得
-a-a=-10，
解得 a=5，
则二次函数的分析式为：y=x2+5x+5=（x+）2-，
∴抛物线的极点坐标是（-，-）．
故答案为：（ -，-）
【剖析】利用根与系数的关系求出x1+x2、x1x2，再代入成立对于a 的方程，求出 a 的值，而后将 a 的值代入抛物线的分析式，便可求出其极点坐标。

10. ( 1 分 ) 如，抛物与直的两个交点坐分
，，方程的解是________．
【答案】，
【考点】二次函数与一次函数的合用
【分析】【解答】解：∵抛物y=ax2与直 y=bx+c 的两个交点坐分
A（-2，4）， B（1，1），
∴方程的解，，
即对于 x 的方程 ax2-bx-c=0 的解 x1=-2，x2=1．
所以方程 ax2=bx+c 的解是 x1=-2，x2=1
故答案 x1=-2，x2=1．
【剖析】方程 ax2=bx+c 的解就是抛物y=ax2与直 y=bx+c 交点横坐。

11. ( 1 分 ) 已知：二次函数 y=ax2+bx+c 象上部分点的横坐x 与坐y 的如表格所示，那么它的象与 x 的另一个交点坐是 ________．
x ⋯ 0 1 2 ⋯
1
y ⋯0 3 4 3 ⋯
【答案】（ 3，0）
【考点】二次函数的性
【分析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c 经过（ 0，3）、（2，3）两点，∴对称轴 x==1；
点（﹣ 1，0）对于对称轴对称点为（3，0），
所以它的图象与x 轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（ 3，0）．
【剖析】察看表格发现抛物线y=ax2+bx+c 经过（ 0，3）、（ 2，3）两点，依据抛物线的对称性得出其对称轴直线，从而得出点（﹣1，0）对于对称轴对称点为（ 3，0）。

12.( 1 分 ) 若二次函数 y＝x2＋3x－c(c 为整数 )的图象与 x 轴没有交点，则
c 的最大值是 ________.
【答案】－ 3
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【分析】【解答】因为抛物线y＝x2＋3x－c(c 为整数 )的图象与 x 轴没有交点,
所以,
所以,
因为 c 为整数 ,
所以 c 的最大值是 -3.
故答案为 :-3.
【剖析】利用抛物线与x 轴没有交点，可得出b2-4ac＜0，求出 c 的取值范围，再依据 c 为整数，可求出 c 的最大值。

13. ( 1 分 )的极点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如下图），由图象可知对于x 的一元二次方程的两个根分别是x1=1.3 和x2=________．
【答案】 -3.3
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【分析】【解答】∵二次函数y=ax2+bx+c 的极点坐标（ -1，-3.2）
∴-=-1 则 - =-2
∵x1x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根
∴x1+x2=-
又∵ x1=1.3
∴x1+x2=1.3+x2=-2
解得 x2=-3.3．
【剖析】利用极点坐标公式及两根之和的公式，可求出方程的另一个根。

或利用抛物线的对称性解答。

14. ( 1 分 ) 已知对于 x 的方程 x2+2kx+k 2+k+3=0 的两根分别是 x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是 ________
【答案】 8
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】【解答】∵对于 x 的方程 x2+2kx+k 2+k+3=0 的两根分别是 x1、x2，∴x1+x2=﹣2k，x1?x2=k2+k+3，
∵△ =4k2﹣4（k2+k+3）=﹣4k﹣12≥0，解得 k≤﹣3，
∴（ x1﹣1）2+（x2﹣1）2
=x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1
=（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2
=（﹣ 2k）2﹣2（k2+k+3）﹣ 2（﹣ 2k）+2
=2k2+2k﹣4
=2（k+）2﹣
当 k=-3 时，（ x1﹣1）2+（x2﹣1）2的值最小，最小为8.
故（ x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是 8．
故答案为： 8．
【剖析】依据一元二次方程的根与系数的关系可得，两根之和= =-2k，两根之积 = =，再将所求代数式转变为两根之和与两根之积的形式，
代入即可得对于k 的代数式，依据非负数的性质即可求解。

15.( 1 分 ) 若对于 x 的一元二次方程 a(x＋m)2－ 3＝0 的两个实数根分别为
x1＝－ 1，x2＝3，则抛物线 y＝ a(x＋m－2)2－3 与 x 轴的交点坐标为 ________．【答案】 (1，0)，(5，0)
【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【分析】【解答】已知一元二次方程a(x＋m)2－3＝0 的两个实数根分别为
x1＝－ 1，x2＝3，
即抛物线 y＝ a(x＋m)2－3 与 x 轴的交点坐标为 (-1，0)，(3，0)，
∵抛物线 y＝ a(x＋m)2－3 向右平移两个单位可得抛物线y＝a(x＋m－2)2－3，
∴抛物线 y＝ a(x＋m－2)2－3 与 x 轴的交点坐标为 (-1+2，0)，(3+2，0)，即(1，0)，(5，0).【剖析】由一元二次方程a(x＋m)2－3＝0 的两个实数根分别为 x1＝－ 1，x2＝3，可得出抛物线 y＝a(x＋m)2－3 与 x 轴的两个交点坐标，再察看两函数分析式，可得出抛物线 y＝a(x＋m)2－3 向右平移两个单位可
得抛物线 y＝ a(x＋m－2)2－3，便可求出抛物线y＝a(x＋m－2)2－3 与 x 轴的交点坐标。

三、解答题
16. ( 10 分 ) 已知抛物线的对称轴是直线，
（1）求证：；
（2）若对于 x 的方程，有一个根为4，求方程的另一个根．【答案】（ 1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-=1，
∴2a+b=0；
（2）解：∵对于 x 的方程 ax2+bx-8=0，有一个根为 4，
∴抛物线与 x 轴的一个交点为（ 4，0），∵抛物线的对称
轴为 x=1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（ -2，0），
∴方程的另一个根为 x=-2．
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【分析】【剖析】（ 1）利用抛物线的对称轴为直线x==1，即可得证。

（2）由题意可知抛物线 y=ax2+bx-8 与 x 轴的一个交点坐标为（ 4,0），对称轴为x=1，可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，从而可得出方程的另一个根。

17. ( 15 分 ) 抛物线与y轴交于点．
（1）求抛物线的分析式；
（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；
（3）①当 x 取什么值时，？当x取什么值时，y的值随x的增大而
减小？
【答案】（ 1）解：将点（ 0，3）代入抛物线 y=-x2+（m-1）x+m，
m=3，
∴抛物线的分析式y=-x 2+2x+3；
（2）解：令 y=0， -x2+2x+3=0，
解得 x1=3，x2=-1；
x轴： A （3，0）、 B（-1，0）；
y轴： C（0，3）
（3）解：抛物线张口向下，对称轴 x=1；所
以①当 -1＜x＜3 时， y＞0；
②当 x≥1时， y 的值随 x 的增大而减小．
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax^2+bx+c 的性
质
【分析】【剖析】（ 1）将点（ 0,3）代入函数分析式求出m 的值，便可解答。

（2）要求抛物线与坐标轴的交点坐标，就是求当y-0 时或 x=0 时的自变量的值和对应的函数值，便可得出答案。

（3）①依据抛物线与 x 轴的交点坐标，可得出 y＞0 时的 x 的取值范围；②依据抛物线的对称轴及二次函数的性质可解答。

18. ( 10 分 ) 抛物线经过点、两点．
（1）求抛物线极点 D 的坐标；
（2）抛物线与 x 轴的另一交点为A，求的面积．
【答案】（ 1）解：由题意，得，
解得，
则 y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4，
则 D（1，4）；
（2）解：如图，
由题意，得 -x2+2x+3=0，
解得 x1=-1，x2=3；
则 A（-1，0），
又∵ B（3，0）、 C（0，3），
∴S△ABC＝×4×3＝6
【考点】待定系数法求二次函数分析式，二次函数图像与坐标轴的交点问
题
【分析】【剖析】（ 1）利用待定系数法将点B、C 的坐标分别代入函数解
析式，成立对于a、c 的二元一次方程组，解方程组，便可求得抛物线的解
析式，再将抛物线的分析式转变为极点式，即可解答。

（2）先由 y=0，求出抛物线与x 轴的交点 A 的坐标，再依据点 A 、B、C 的坐标，利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积。

19. ( 10 分 ) 已知二次函数 y=﹣x2+bx+c 的图象经过 A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．
（1）求 b，c 的值．
（2）二次函数 y=﹣ x2+bx+c 的图象与 x 轴能否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明状况．
【答案】（1）解:把 A（ 0，3），B（﹣ 4，﹣）分别代入y=﹣x2+bx+c，得，
解得
（2）解 :由（ 1）可得，该抛物线分析式为： y=﹣x2+x+3，
△=（）2﹣ 4×（﹣）×3=＞0，
所以二次函数 y=﹣x2+bx+c的图象与 x 轴有公共点，
∵﹣x2+ x+3=0 的解为： x1=﹣2，x2=8，
∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（ 8，0）
【考点】待定系数法求二次函数分析式，二次函数图像与坐标轴的交点问
题
【分析】【剖析】（1）将 A,B 两点的坐标分别代入二次函数 y=﹣x2+bx+c，得出对于 b,c 的二元一次方程组，求解得出b,c 的值，从而得出抛物线的解
析式；
（2）第一算出 ? 的值，而后判断出其值大于 0，,从而判断出二次函数的图
像与 x 轴有两个不一样的公共点；依据抛物线与坐标轴交点的坐标特色便可
求出两交点的坐标。

20.( 20 分 ) 二次函数 y=ax2＋bx＋c(a ≠0)的图象如下图，依据图象解答以下问题．
（1）写出方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根；
（2）写出不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集；
（3）写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围；
（4）若方程 ax2＋bx＋c＝k 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范
围．【答案】（ 1）解：图中能够看出抛物线与 x 轴交于 (1，0)和(3，0)，
∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x=1 或 x=3；
（2）解：不等式 ax2+bx+c>0 时，经过图中能够看出：当 1<x<3 时，y 的值 >0，
∴不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 1<x<3
（3）解：图中能够看出对称轴为 x=2，∴
当 x>2 时， y 随 x 的增大而减小；
（4）解：∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过 (1，0)，(2，2)，(3，0)，
∴，
解得： a=-2 ，b=8，c=- 6，
∴- 2x2+8x-6=k, 移项得 - 2x2+8x-6-k=0 ，
△=64-4(-2)(-6-k)>0 ，
整理得： 16-8k>0 ，
∴k<2 时,方程 ax2+bx+c=k 有 2 个相等的实数根。

【考点】待定系数法求二次函数分析式，利用二次函数图像求一元二次方
程的近似根，二次函数与不等式（组）的综合应用
【分析】【解答】【剖析】（ 1）察看函数图像，可知抛物线 y=ax2＋bx＋c(a ≠与0) x 轴的两交点坐标为 (1，0)和(3，0)，便可得出方程ax2+bx+c=0 的两个根就是抛物线y=ax2＋bx＋c(a ≠0)与 x 轴的两交点的横坐标。

（2）察看函数图像，要使 ax2＋bx＋c＞0，即 y＞0，察看 x 轴上方的图像，可解答。

（3）利用二次函数的性质，联合对称轴，可得出答案。

（4）利用待定系数法求出抛物线的分析式，便可得出 - 2x2+8x-6-k =0，再由b2-4ac＞0，求出 k 的取值范围。

21.( 10 分 ) 依据以下要求，解答有关问题．
（1）请补全以下求不等式的解集的过程：
①结构函数，画出图象：依据不等式特色结构二次函数y=；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=的图象（只画出大概图象即可）；
②求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为；并用虚线
标示出函数 y=图象中y
＜0的部分；
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式＜0 的解集为．（2）请你利用上边求不等式解集的过程，求不等式-3≥0的解集．
【答案】（ 1）解：二次函数y=x2-2x 的图象如图 1 所示，
∵二次函数 y=x 2-2x 与 x 轴交于 O（0，0）， A （2，0），∴方程 x2-2x=0 的解为 x=0 或 2．
由图象可知 x2-2x＜0 的解集为 0＜x＜2．
故答案为 x=0 或 2，0＜x＜2．
（2）解：函数 y=x2-2x-3 的图象如图 2 所示，
∵A（-1，0）， B（3，0），
∴不等式 x2-2x-3≥0的解集，由图象可知，x≥3或 x≤-1．
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根，二次函数与不等式（组）的综合应用
【分析】【剖析】（ 1）先利用描点法画出二次函数y=x2-2x 的图像，再求
出抛物线 y=x2-2x 与 x 轴的两交点坐标，察看函数图像，写出 x2-2x＜0 的解集。

（2）先画出函数y=x22≥0
-2x-3 的图象，察看函数图像，要使 x- 2 x -3 即y≥0，就是察看 x 轴上方的图像，依据抛物线与x 轴的两交点坐标，写出其
解集。

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