河南八校高三上学期第一次联考——数学(理)数学(理)

参考答案
一、选择题 DCDCD DCCBB CA
二、填空题
13、32
14、10 15、 16、①④ 17.解：（Ⅰ）由2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=得： sin sin 2cos cos (1)1cos cos A C A C A C
-= 2(sin sin cos cos )1A C A C -= ，
，又 ……………6分 （Ⅱ）由余弦定理得：2
221cos 22a c b B ac +-== 22()2122
a c ac
b a
c +--∴=， 又，，
115sin 224ABC S ac B ∆∴==⨯=…………12分 18.解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23
.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件 (i ＝0,1,2,3,4)，则i i i i C A P -=44)3
2
()3
1()( （1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率278)32()31()(22242==C A P 3分 （2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则， 由于与互斥，故9
1)31()32()31
()()()(44433443=+=+=C C A P A P B P 所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19
……… 7分 （3）ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于与互斥，与互斥，故
278)()0(2=
==A P P ξ， 81
40)()()2(31=+==A P A P P ξ 8117)()()4(40=+==A P A P P ξ。

所以ξ的分布列是
随机变量ξ的数学期望81
814812270E =⨯+⨯+⨯=ξ 12分 19.解（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则
由平面侧面，且平面侧面，
得，又平面， 所以.
因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.
又，从而侧面，又侧面，故. -------6分
（2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影
∴即为直线与所成的角，则 在等腰直角中，，且点是中点，∴，且，
∴ 过点A 作于点，连，由（1）知，则，且 ∴即为二面角的一个平面角 且直角中：
1
1
3
A A AC
AE
AC
===，又，∴
sin=
3
AD
AED
AE
∠==
且二面角为锐二面角∴，即二面角的大小为 ----12分
解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，，，，，，，
设平面的一个法向量，由，得：
令，得，则设直线与所成的角为，则得1
1
1
sin
62
4
AC n
AC n
π-
===，解得，即又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则
12
12
12
1
cos cos,
2
n n
n n
n n
α=<>==，且，得
∴锐二面角的大小为. ------------12分
20.解：(1）设椭圆的方程为)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
，则.由，得
∴椭圆C的方程为. ……2分
(2)（i）解：设，直线的方程为，代入，
得由，解得
由韦达定理得12
,2
2
1
2
1
-
=
-
=
+t
x
x
t
x
x. 四边形的面积2
2
1
3
48
3
6
2
1
t
x
x
S-
=
-
⨯
⨯
=
∴当，. …… 4分
（ii）解：当，则、的斜率之和为0，设直线的斜率为
则的斜率为，的直线方程为由22
3(2)(1)
1(2)
1612
y k x
x y
-=-
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
…………6分
（1）代入（2）整理得222
(34)8(32)4(32)480
k x k kx k
++-+--=
同理的直线方程为，可得
2
2
24
3
)3
2(
8
4
3
)3
2
(
8
2
k
k
k
k
k
k
x
+
+
=
+
-
-
-
=
+
∴
2
1212
22
161248
,
3434
k k
x x x x
k k
--
+=-=
++
2
1
4
)
(
3
)2
(
3
)2
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1=
-
-
+
=
-
-
-
+
+
-
=
-
-
=
x
x
k
x
x
k
x
x
x
k
x
k
x
x
y
y
k
AB
所以的斜率为定值. …………12分
21、解：（1）的定义域为.2121()2.a ax a f x ax x x
+++'=+= 当时，，故在单调递增；
当时，，故在单调递减；
当时，令，解得
即0,x ⎛∈ ⎝
时，
；x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，；
故在0,⎛ ⎝
单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递减；…………（6分） （2）不妨设，而，由（1）知在单调递减，从而对任意，恒有
1212()()4f x f x x x --…1221()()4()f x f x x x --…1122()4()4f x x f x x ++… …..（8分） 令，则1()24a g x ax x
+'=
++ 等价于在单调递减， 即1()240a g x ax x +'=++…，从而22222241(21)42(21)2212121x x x x a x x x ------==-+++…， 故的取值范围为…………….(12分)
另解： 设， 则222222222224(21)(41)48448444(21)(1)()(21)(21)(21)(21)
x x x x x x x x x x x x x x ϕ-+---⋅+-+--+'====++++ 当1(0,)()0,()2x x x ϕϕ'∈<时，为减函数，1(,)()0,()2
x x x ϕϕ'∈+∞>时，为增函数。

∴ ∴--a ∞的取值范围为（，2].
22、（1）连接，因为，所以．
为半圆的切线，∴． ∵，． OCA CAD OAC CAD ∴∠=∠∴∠=∠，．平分． 5分
（2）连接，由（1）得，∴．
∵四点共圆．∴．∵AB 是圆O 的直径，∴是直角．∴∽，
．∴． 10分
23.（I ）直线的普通方程为：；曲线的直角坐标方程为---4分
（II ）设点，则2|35)6cos(2|2
|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd
所以的取值范围是.---------10分 24．解：解：（Ⅰ）当时，原不等式可变为0|3||7|10x x <+--<，可得其解集为 （Ⅱ）设，则由对数定义及绝对值的几何意义知，
因在上为增函数， 则，当时，，
故只需即可，即时，恒成立．。