蕉城区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

蕉城区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知在△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角C等于（）
A．135°B．90°C．45°D．75°
2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
x-=表示的曲线是（）
3．方程1
A．一个圆B．两个半圆C．两个圆D．半圆4．拋物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C：x2－y2＝2的焦点重合，C的渐近线与拋物线E交于非原点的P点，则点P到E的准线的距离为（）
A．4 B．6
C．8 D．10
5．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S的值为（）
A．9.6 B．7.68 C．6.144 D．4.9152
6．用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（）
A ．π
B ．2π
C ．4π
D ． π 7． i 是虚数单位，i 2015等于（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．i
D ．﹣i
8． 已知A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且||=，则
•=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣
D ．
9． 已知角α的终边上有一点P （1，3），则
的值为（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣4
10．直线l 过点P （2，﹣2），且与直线x+2y ﹣3=0垂直，则直线l 的方程为（ ）
A ．2x+y ﹣2=0
B ．2x ﹣y ﹣6=0
C ．x ﹣2y ﹣6=0
D ．x ﹣2y+5=0
11．有以下四个命题：
①若=，则x=y ． ②若lgx 有意义，则x ＞0．
③若x=y ，则
=
．
④若x ＞y ，则 x 2＜y 2． 则是真命题的序号为（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
12．在△ABC 中，C=60°，AB=，AB 边上的高为，则AC+BC 等于（ ）
A ．
B ．5
C ．3
D ．
二、填空题
13．定义)}(),(min{x g x f 为)(x f 与)(x g 中值的较小者，则函数},2min{)(2x x x f -=的取值范围是
14．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】函数f （x ）=x ﹣lnx 的单调减区间为 ． 15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）＝lnx －m
x
（m ∈R ）在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________．
16．若曲线f （x ）=ae x +bsinx （a ，b ∈R ）在x=0处与直线y=﹣1相切，则b ﹣a= ． 17．函数()x f x xe =在点()()
1,1f 处的切线的斜率是 .
18．定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：（1）f （2x ）=2f （x ）；（2）当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|，则集合S={x|f （x ）=f （34）}中的最小元素是 ．
三、解答题
19． （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，直线⊥AF 平面ABCD ，AB EF //，
12,2====EF AF AB AD ，点P 在棱DF 上.
（1）求证：BF AD ⊥；
（2）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （3）若FD FP 3
1
=
，求二面角C AP D --的余弦值.
20．已知函数f （x ）=x 3+ax+2．
（Ⅰ）求证：曲线=f （x ）在点（1，f （1））处的切线在y 轴上的截距为定值；
（Ⅱ）若x ≥0时，不等式xe x +m[f ′（x ）﹣a]≥m 2
x 恒成立，求实数m 的取值范围．
21．已知函数f（x）=
（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．
22．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
23．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A（29，0）．
（1）求圆弧C2的方程；
（2）曲线C上是否存在点P，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．
蕉城区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：由正弦定理知=，
∴sinA==×=
，
∵a ＜b ， ∴A ＜B ， ∴A=45°，
∴C=180°﹣A ﹣B=75°，
故选：D ．
2． 【答案】A
【解析】解：∵复数z 满足z （1﹣i ）=2i ，
∴z==﹣1+i
故选A ．
【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：由方程1x -=2
2
1x -=，即22(1)(1)1x y -++=，所
以方程表示的轨迹为一个圆，故选A. 考点：曲线的方程. 4． 【答案】
【解析】解析：选D.双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，其焦点为（±2，0），由题意得p
2＝2，
∴p ＝4，即拋物线方程为y 2＝8x ， 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y 2
＝8x y ＝±x ，解得 x ＝0（舍去）或x ＝8，则P 到E 的准线的距离为8＋2＝10，故选D.
5． 【答案】C
【解析】解：由题意可知，设汽车x年后的价值为S，则S=15（1﹣20%）x，
结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）4=6.144．
故选：C．
6．【答案】C
【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为：cm；
已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，
所以球的体积为：=4π
故选：C．
7．【答案】D
【解析】解：i2015=i503×4+3=i3=﹣i，
故选：D
【点评】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．
8．【答案】B
【解析】解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，
即有||2+||2=||2，
可得△OAB为等腰直角三角形，
则，的夹角为45°，
即有•=||•||•cos45°=1××=1．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．9．【答案】A
【解析】解：∵点P（1，3）在α终边上，
∴tanα=3，
∴====﹣．
故选：A．
10．【答案】B
【解析】解：∵直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，
∴与直线x+2y﹣3=0垂直的直线斜率为2，
故直线l的方程为y﹣（﹣2）=2（x﹣2），
化为一般式可得2x﹣y﹣6=0
故选：B
【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
11．【答案】A
【解析】解：①若=，则，则x=y，即①对；
②若lgx有意义，则x＞0，即②对；
③若x=y＞0，则=，若x=y＜0，则不成立，即③错；
④若x＞y＞0，则x2＞y2，即④错．
故真命题的序号为①②
故选：A．
12．【答案】D
【解析】解：由题意可知三角形的面积为S===AC•BCsin60°，
∴AC•BC=．由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=（AC+BC）2﹣3AC•BC，
∴（AC+BC）2﹣3AC•BC=3，
∴（AC+BC）2=11．
∴AC+BC=
故选：D
【点评】本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，整体法是解决问题的关键，属中档题．
二、填空题
-∞
13．【答案】(],1
【解析】
试题分析：函数(){}2
=-的图象如下图：
f x x x
min2,
观察上图可知：()f x 的取值范围是(],1-∞。

考点：函数图象的应用。

14．【答案】（0,1）
【解析】
考点：本题考查函数的单调性与导数的关系 15．【答案】－3e 【解析】f ′（x ）＝1x ＋2m x ＝2
x m x +，令f ′（x ）＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递减，
当x>－m 时，f ′（x ）>0，f （x ）单调递增．若－m ≤1，即m ≥－1时，f （x ）min ＝f （1）＝－m ≤1，不可能等于4；
若1<－m ≤e ，即－e ≤m<－1时，f （x ）
min ＝f （－m ）＝ln （－m ）＋1，令ln （－m ）＋1＝4，得m ＝－e 3（－e ，－
1）；若－m>e ，即m<－e 时，f （x ）min ＝f （e ）＝1－m e ，令1－m
e
＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m
＝－3e.
16．【答案】 2 ．
【解析】解：f （x ）=ae x +bsinx 的导数为f ′（x ）=ae x
+bcosx ，
可得曲线y=f （x ）在x=0处的切线的斜率为k=ae 0
+bcos0=a+b ， 由x=0处与直线y=﹣1相切，可得a+b=0，且ae 0
+bsin0=a=﹣1，
解得a=﹣1，b=1， 则b ﹣a=2． 故答案为：2．
17．【答案】2e 【解析】 试题分析：
()(),'x x x f x xe f x e xe =∴=+，则()'12f e =，故答案为2e .
考点：利用导数求曲线上某点切线斜率. 18．【答案】 6
【解析】解：根据题意，得； ∵f （2x ）=2f （x ）， ∴f （34）=2f （17）
=4f （）=8f （）
=16f （
）；
又∵当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|，
∴f （
）=1﹣|
﹣3|=，
∴f （2x ）=16×=2；
当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|≤1，不存在；
当4≤x ≤8时，f （x ）=2f （）=2[1﹣|﹣3|]=2， 解得x=6； 故答案为：6．
【点评】本题考查了根据函数的解析式求函数值以及根据函数值求对应自变量的最小值的应用问题，是基础题目．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量，突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问题，属中等难度.
（3）因为⊥AB 平面ADF ，所以平面ADF 的一个法向量)0,0,1(1=n .由3
1
=知P 为FD 的三等分点且此时)32,32,
0(P .在平面APC 中，)3
2
,32,0(=，)0,2,1(=AC .所以平面APC 的一个法向量)1,1,2(2--=n .……………………10分
所以3
6
|
||||,cos |212121=
=
><n n n n ，又因为二面角C AP D --的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为3
6
.……………………………………………………………………12分 20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：f （x ）的导数f ′（x ）=x 2
+a ，
即有f （1）=a+，f ′（1）=1+a ，
则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1），
令x=0，得y=为定值；
（Ⅱ）解：由xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x对x≥0时恒成立，
得xe x+mx2﹣m2x≥0对x≥0时恒成立，
即e x+mx﹣m2≥0对x≥0时恒成立，
则（e x+mx﹣m2）min≥0，
记g（x）=e x+mx﹣m2，
g′（x）=e x+m，由x≥0，e x≥1，
若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴，
则有﹣1≤m≤1，
若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
则当x∈（ln（﹣m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
∴，
∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，
令﹣m=t，则t+lnt﹣1≤0（t＞1），
φ（t）=t+lnt﹣1，显然是增函数，
由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜﹣1，不合题意．
综上，实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．
【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin cos+cos2
=sin（+），
∴由2k≤+≤2kπ，k∈Z可解得：4kπ﹣≤x≤4kπ，k∈Z，
∴函数f（x）单调递增区间是：[4kπ﹣，4kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（A）=sin（+），
∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB，
∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=，又0＜B ＜π，
∴B=
．
∴可得0＜A ＜，
∴＜+
＜
，
∴
sin （+
）＜1，
故函数f （A ）的取值范围是（1，）．
【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（I ）l 的普通方程为y=（x ﹣1），C
1的普通方程为x 2+y 2
=1，
联立方程组，解得交点坐标为A （1，0），B （，﹣
）
所以|AB|==1；
（II ）曲线C 2：
（θ为参数）．
设所求的点为P （cos θ， sin θ），
则P 到直线l 的距离d== [
sin （
）+2]
当sin （
）=﹣1时，d 取得最小值
．
23．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（1）甲、乙两人从5道题中不重复各抽一道，共有5×4=20种抽法 记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ， 则事件A 含有的基本事件数为3×2=6…（4分）
∴，
∴甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是…（6分）
（2）记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B，
其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题”，记为事件C，
则事件C含有的基本事件数为2×1=2…（8分）
∴，
∴，…（11分）
∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是．…（12分）
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件、对立事件概率计算公式的合理运用．
24．【答案】
【解析】解：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169，令x=5，
解得M（5，12），N（5，﹣12）…2分
则直线AM的中垂线方程为y﹣6=2（x﹣17），
令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为（14，0），
又圆弧C2所在圆的半径为29﹣14=15，
所以圆弧C2的方程为（x﹣14）2+y2=225（5≤x≤29）…5分
（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=PO，得x2
+y2+2x﹣29=0 …8分
由，解得x=﹣70 （舍去）9分
由，解得x=0（舍去），
综上知，这样的点P不存在…10分
【点评】本题以圆为载体，考查圆的方程，考查曲线的交点，同时考查距离公式的运用，综合性强．。