大学本科 运筹学 教程 人工变量法、对偶问题(4)

Z′* = - 8
Z* = 8
人工变量法之二——两阶段法 两阶段法 人工变量法之二
• 第一阶段 寻找一个基可行解 第一阶段:寻找一个基可行解 方法:加入人工变量 加入人工变量,构造一新的求极小值的目标函数 方法 加入人工变量 构造一新的求极小值的目标函数 minω=∑X人 表明X （1）当minω=0,表明 人不为基变量 则得到此阶段的 ） 表明 不为基变量,则得到此阶段的 一个最优解,转入第二阶段 转入第二阶段。 一个最优解 转入第二阶段。 （2）当minω＞0，表明 人仍为基变量，原问题无可 ） ＞ ，表明X 仍为基变量， 行解。 行解。 • 第二阶段：求最优解 第二阶段： 将原目标函数换回， 将原目标函数换回，以第一阶段得到的最优解为初始 基可行解，用单纯形法迭代。为简化计算，在此阶 基可行解，用单纯形法迭代。为简化计算， 段的表中去掉人工变量。 段的表中去掉人工变量。
c
原问题： 原问题：maxZ=70x1+120x2 s.t. 9x1 + 4x2 ≤360 4x1 + 5x2 ≤200 3x1 + 10x2 ≤300 x1 , x2 ≥ 0
影子价格
s.t. 9y1 + 4y2 + 3y3≥70 4y1 + 5y2 + 10y3≥120 y1 、y2 、y3 ≥0
分别为劳动力、设备、 设：y1 、y2 、y3分别为劳动力、设备、原材料的租赁价格
maxZ=70x1+120x2 s.t. 9x1 + 4x2 ≤360 4x1 + 5x2 ≤200 3x1 + 10x2 ≤300 x1 , x2 ≥ 0
产品A 劳动力（工时） 设备（台时） 原材料（公斤） 单位产品利润（元） 9 4 3 70 产品B 资源限额 4 5 10 120 360 200 300
b
对偶问题： 对偶问题： minω= 360y1 + 200y2 + 300y3
∵ Z * = c1x1 * +c2x2 * = b1y1 * +b2y2 * +b3y3 * = ω * 问题：当其他条件不变， 问题：当其他条件不变，在200台时基础上再 台时基础上再 增加1台时机器 利润将增加多少？ 台时机器， 增加 台时机器，利润将增加多少？
企业利用影子价格进行决策的参考原则
• 如果某资源的影子价格高于市场价格， 如果某资源的影子价格高于市场价格， 表明该资源在企业内有获利能力， 表明该资源在企业内有获利能力，应买入 该资源； 该资源； • 如果某资源的影子价格低于市场价格， 如果某资源的影子价格低于市场价格， 表明该资源在企业内无获利能力， 表明该资源在企业内无获利能力，留在企业 内使用不合算，应卖出该资源； 内使用不合算，应卖出该资源； • 如果某资源的影子价格等于市场价格， 如果某资源的影子价格等于市场价格， 表明该资源在企业内处于平衡状态， 表明该资源在企业内处于平衡状态，既 不用买入，也不必卖出。 不用买入，也不必卖出。
-1 0
σi
0 0 X1 X4
σi
∴ 得 X 1 * = ( 2 , 0 , 0 , 3 , 0 )T =X0
Max Z ′= - 4x1 - 3 x2 s.t. 2 x1 + x2 － x3 + x5 = 4 + x4 = 1 － x1 + x2
第二阶段： 第二阶段： 将Max Z ′ = － 4x1 － 3 x2 换回
如上例,第一阶段： 如上例 第一阶段： 第一阶段 构造 minω= x5
Ci XB X5 X4 b′ 4 1 -4 2 3 0 0 X1 2 -1 2 1 0 0 0 X2 1 1 1 1/2 3/2 0 0 X3 -1 0 -1 -1/2 -1/2 0
Maxω ′=－x5 －
0 X4 0 1 0 0 1 0 -1 X5 1 0 0 1/2 1/2 -1 θ 2 －
人工变 量
但在最优基可行解中， 但在最优基可行解中，必须 x5 ，x6= 0,才使人工变量的加 才使人工变量的加 入对原问题无影响
人工变量法之一 ——大M法 大 法
Min Z = 4x1 + 3 x2 s.t. 2 x1 + x2 ≥ 4 － x1 + x2 ≤ 1 x1 ， x2 ≥ 0
Max Z ′= - 4x1 - 3 x2 - Mx5 s.t. 2 x1 + x2 － x3 + x5 = 4 + x4 =1 － x1 + x2 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ≥ 0
y1 y2 y3
则有： 则有： min ω= 360y1 + 200y2 + 300y3 s.t. 9y1 + 4y2 + 3y3≥70 4y1 + 5y2 + 10y3≥120 y1 、y2 、y3 ≥0
对偶关系对应表
原问题(对偶问题 对偶问题(原问题 原问题) 原问题 对偶问题) 对偶问题 原问题 对偶问题
∗
∴对偶最优解就是相应变量的影子价格
如: y * = ( 0 , 13.6 , 5.2 )T ω * = 4280
影子价格的特点
• 影子价格只有在最优方案中才能体现。 影子价格只有在最优方案中才能体现。 • 影子价格是动态的，当资源耗费系数、产品价格 影子价格是动态的，当资源耗费系数、 利润）、资源拥有量等变化时， ）、资源拥有量等变化时 （利润）、资源拥有量等变化时，影子价格也可能 变动。 变动。 • 影子价格的大小反映资源的稀缺程度。如某资源在 影子价格的大小反映资源的稀缺程度。 企业内供大于求，则它的影子价格为0，表明增加该 企业内供大于求，则它的影子价格为 ， 资源的供应，也不会引起目标值的变化。 资源的供应，也不会引起目标值的变化。影子价格 越高，资源在企业中越稀缺。 越高，资源在企业中越稀缺。 • 影子价格是一种边际价值，企业管理者可以根据资 影子价格是一种边际价值， 源在本企业中的影子价格的大小， 源在本企业中的影子价格的大小，决定企业的经营 决策。 决策。
≤0 ≥0 无限制
min ω= 360y1 + 200y2 + 300y3 s.t. 9y1 + 4y2 + 3y3≥70 4y1 + 5y2 + 10y3≥120 y1 、y2 、y3 ≥0
建立下列模型LP的对偶问题模型 建立下列模型 的对偶问题模型 maxZ = 10x1+3x2 + 5 x3 y1 s.t. 2x1+5x2 + x3 ≤ 15 对偶)问题 对偶(原 问题 对偶 y2 原(对偶 问题 对偶 原)问题 4x1 + 3x3 ≤ 7 max min x1 ，x2 ，x3 ≥0 目标函数系数 右边项系数
对偶问题的性质
1、对称性 、 2、弱对偶性：max问题可行解的目标值不可能 、弱对偶性： 问题可行解的目标值不可能 超过min问题可行解的目标值（即max问题的 问题可行解的目标值（ 超过 问题可行解的目标值 问题的 目标值为min问题目标值的下限） 目标值为 问题目标值的下限） 问题目标值的下限 3、对偶定理 、 （1）一个问题无最优解，则另一个无可行解 ）一个问题无最优解， （2）一个问题有最优解，则另一个也有最优解， ）一个问题有最优解，则另一个也有最优解， 且目标函数的最优值相等。 且目标函数的最优值相等。 Z * = ∑ci xi * = ∑bj yj *
∴
∂z ∂b2
∗
= y2 *
影子价格
影子价格：一种资源在最优方案中， 影子价格：一种资源在最优方案中，改变 一个单位，而给目标值带来的改变量。 一个单位，而给目标值带来的改变量。 即： ∂ Z ∗ 为 b j 的影子价格
∂b
j
又： Z * = ω * =∑bj yj *
∴
∂z ∗ ∂b j
= yj
SLP问题的人工变量法 问题的人工变量法
例
另 ： Z ′= - Z
Min Z = 2x1 + 3 x2 s.t. 2 x1 + x2 ≤ 16 x1 + 3x2 ≥ 20 x1 + x2 = 10 x1 ， x2 ≥ 0
Max Z ′=－2x1－3 x2 － s.t. 2 x1 + x2 + x3 = 16 x1 +3x2 －x4 + x5 = 20 + x6 = 10 x1 + x2 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ≥ 0 x5 ， x6 ≥ 0
• 大M法将人工变量在目标函数中的系数 法将人工变量在目标函数中的系数 设置为（ ），其中 其中M为一非常大的 设置为（ －M ），其中 为一非常大的 整数 如：Max Z ′= - 4x1 - 3 x2 - Mx5 只有当x 只有当 5 = 0时，才能保证 ′取到最大值。 时 才能保证Z 取到最大值。 所以， 所以，这样设置可保证单纯形法在寻找最 优解的过程中将人工变量自动排除在基变 量外。 量外。
minZ = 3x1+2x2 －6 x3 + x5 y1 s.t. 2x1+x2－4x3+x4+3x5 ≥7 y2 原(对偶 问题 对偶 原)问题 x1 + 2x3－x4 ≤4 对偶)问题 对偶(原 问题 对偶 max min －x1+3x2 －4x4 +x5 =－2 y3 － 目标函数系数 右边项系数 x1 ， x2 ， x3 ≥ 0 ； x4 ≤ 0 ； 右边项系数 目标函数系数 x5无限制 ≥0 ≥ 变量 ≤0 约束 ≤ max ω = 7y1 + 4y2 - 2y3 = 无限制 2y1 + y2 - y3 ≤3 ≥ ≤0 y1 +3y3 ≤2 约束 ≤ 变量 ≥0 -4y1 + 2y2 = 无限制 ≤ -6 y1 - y2 - 4y3 ≥ 0 y1≥ 0， y2 ≤ 0， y3无限制 ， ， 3y1 +y3 = 1
maxZ=70x1+120x2
max 目标函数系数 右边项系数 ≥0 变量 ≤0 无限制 ≥ ≤ 约束 =
min 右边项系数 目标函数系数 约束 ≥ ≤ =
s.t. 9x1 + 4x2 ≤360 4x1 + 5x2 ≤200 3x1 + 10x2 ≤300 x1 , x2 ≥ 0
y1 y2 y3
变量
) 单纯形表 ( Max Z ′ = － 4x1 － 3 x2 － Mx5 Ci XB X5 X4 -4 -3 b′ X1 X2 4 2 1 1 -1 1 -4M -4+2M -3+M 2 3 -8
*=
-M 0
σi
-4 0 X1 X4
0 X3 -1 Βιβλιοθήκη -M -1/2 -1/2 -20 X4 0 1 0 0 1 0
0 0 X1 X4 2 3 0 1 0 0 -4 X1 1 0 0 1/2 3/2 0 -3 X2 1/2 3/2 -1 -1/2 -1/2 0 0 X3 -1/2 -1/2 -2 Z* = 8 0 1 0 0 X4 0 1 0 1/2 1/2 -1
σi
Ci XB X1 X4
-4 0
σi
Z′*
b′ 2 3 -8 =-8
θ
∴ 得 X * = ( 2 , 0 , 0 , 3 )T
第3章 线性规划的对偶问题与 章 灵敏度分析
对偶问题（例生产计划模型）
产品A 劳动力（工时） 设备（台时） 原材料（公斤） 单位产品利润（元） 9 4 3 70 产品B 资源限额 4 5 10 120 360 200 300
A? B?
现有人欲租赁该企业，问应如何建立模型？ 现有人欲租赁该企业，问应如何建立模型？
右边项系数 目标函数系数 ≥ 约束 ≤ = ≤0 变量 ≥0 无限制
min ω = 15y1 + 7y2 2y1 + 4y2 ≥ 10 5y1 y1 + 3y2 y1≥ 0， ，
≥3 ≥5
≥0 变量 ≤0 无限制 ≥ 约束 ≤ =
y2 ≥ 0， ，
建立下列模型LP的对偶问题模型 建立下列模型 的对偶问题模型
对偶最优解的经济解释
原问题： 原问题：maxZ=70x1+120x2 s.t. 9x1 + 4x2 ≤360 4x1 + 5x2 ≤200 3x1 + 10x2 ≤300 x1 , x2 ≥ 0
得 X * = ( 20 , 24 , 84 , 0 , 0 )T Z * = 4280
对偶问题： 对偶问题： minω= 360y1 + 200y2 + 300y3 s.t. 9y1 + 4y2 + 3y3≥70 4y1 + 5y2 + 10y3≥120 y1 、y2 、y3 ≥0 得 y * = ( 0 , 13.6 , 5.2 )T ω * = 4280
-M X5 1 0 0 1/2 1/2 -M+2
θ 2 －
σi
∴ 得 X
1 0 0
1/2 3/2 -1 )T
(2,0,0,3,0
Max Z ′Z-= 2x1x2 -3 x2 Min = 4x1 - 3 + Mx5 s.t. 2 x1 + x2 － x3 + x5 = 4 + x4 = 1 － x1 + x2