数学---青海省西宁市2017-2018学年高一(上)期末试卷(解析版)

青海省西宁市2017-2018学年高一（上）期末数学试卷一、选择题
1．（5分）集合A={1，2}的非空子集个数为（）
A．4 B．2 C．1 D．3
2．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上是增函数的为（）
A．y=cos x B．y=2x C．y=lg x D．y=|x|
3．（5分）若sin（π﹣θ）＜0，tan（π﹣θ）＜0，则角θ的终边在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（5分）弧长为3，圆心角为1rad的扇形面积为（）
A．B．C．2 D．π
5．（5分）函数f（x）=的定义域为（）
A．{x|x＞0} B．{x|x＞1} C．{x|x≥1}D．{x|0＜x≤1}
6．（5分）如图，D是△ABC边AB的中点，则向量用，表示为（）
A．﹣B．﹣﹣C．+ D．﹣
7．（5分）函数f（x）=（）x﹣x3的零点个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．（5分）已知a=cos，b=sin，c=0.3﹣2，则（）
A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a
9．（5分）已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．
C．D．
10．（5分）已知幂函数f（x）=x a的图象经过函数g（x）=a x﹣2﹣（a＞0且a≠1）的图象所过的定点，则幂函数f（x）不具有的特性是（）
A．在定义域内有单调递减区间B．图象过定点（1，1）
C．是奇函数D．其定义域是R
11．（5分）已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．函数f（x）的值域为[﹣1，1]
C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称
D．函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=A cosωx的图象
12．（5分）设函数f（x）在定义域R上满足f（﹣x）+f（x）=0，若f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（﹣2）=0，则满足（x﹣1）f（x）＞0的x的取值范围为（）A．（﹣∞，1）∪（1，2）B．（﹣2，0）∪（1，2）
C．（﹣2，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
二、填空题
13．（5分）计算：8+lg100﹣（﹣）0=．
14．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由下表给出
则g[f（x）]=2时，x=．
15．（5分）已知tan（φ+）=5，则=．
16．（5分）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．如果对于0＜x＜y，都有f（x）＜f（y），则不等式f（x﹣1）+f（x+1）＜2的解集为（表示成集合）．
三、解答题
17．（10分）已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．
（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；
（Ⅱ）求（sin﹣cos）2的值．
18．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2x+m．
（Ⅰ）若函数f（x）恰有一个零点，求实数m的值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x﹣1），若g（x）在区间[2a，a+2]上不单调，求实数a的取值范围．
19．（12分）我国科研人员屠呦呦发现从青篙中提取的青篙素抗疟性超强，几乎达到100%，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？
20．（12分）已知cos（）=，sin（）=﹣，α∈（），β∈（0，），求sin（α+β）的值．
21．（12分）已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x=m+1，m∈A}．
（Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合C；
（Ⅱ）若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．
22．（12分）已知O为坐标原点，=（2cos x，），=（sin x+cos x，﹣1），若f（x）=•+2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）当x∈（0，）时，若方程f（x）+m=0有根，求m的取值范围．
【参考答案】
一、选择题
1．D
【解析】集合{1，2}的子集的个数为22=4个，
去掉空集，得到集合{1，2}的非空子集的个数为22﹣1=3个．故选：D．
2．D
【解析】对于A，函数在（0，+∞）不单调，
对于B，函数不是偶函数，
对于C，函数不是偶函数，
对于D，函数是偶函数且在（0，+∞）递增，
故选：D．
3．C
【解析】∵sin（π﹣θ）=sinθ＜0，
∴θ为第三、第四象限角或终边在y轴负半轴上的角，
∵tan（π﹣θ）=﹣tanθ＜0，则tanθ＞0，
∴θ为第一或第三象限角，
取交集可得，角θ的终边在第三象限．
故选：C．
4．B
【解析】设扇形的半径是r，根据题意得：
l=αr=1•r=3，
解得r=3；
则扇形的面积为
S=lr=×3×3=．
故选：B．
5．C
【解析】由log3x≥0，得x≥1．
∴函数f（x）=的定义域为{x|x≥1}．
故选：C．
6．A
【解析】∵D是△ABC边AB的中点，∴，
故选：A
7．B
【解析】作出y=（）x与y=x3的函数图象如图所示：
由图象可知两函数图象只有1个交点，
∴f（x）=）=（）x﹣x3只有1个零点．
故选：B．
8．A
【解析】∵1＞a=cos＞cos＞b=sin，c=0.3﹣2＞1，
∴b＜a＜c，
故选：A．
9．C
【解析】∵函数y=a x与y=log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称．
再由函数y=a x的图象过（0，1），y=log a x，的图象过（1，0），
A选项中的y=a x，a＞1，y=log a x，a＞1，但y=x+a中的a＜1，不符合题意；
B选项中的y=a x，a＞1，y=log a x，0＜a＜1，但y=x+a中的a＜1，不符合题意；
C选项中的y=a x，0＜a＜1，y=log a x，0＜a＜1，但y=x+a中的a＜1，符合题意；D选项中的y=a x，0＜a＜1，y=log a x，0＜a＜1，但y=x+a中的a＞1，不符合题意；
观察图象知，只有C正确．
故选C．
10．D
【解析】由x﹣2=0，即x=2，可得g（2）=1﹣=，
函数g（x）=a x﹣2﹣（a＞0且a≠1）的图象所过的定点（2，），
则2a=，解得a=﹣1，
则f（x）=，
定义域为{x|x≠0}，
则减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
图象经过定点（1，1），且为奇函数，
D不正确．
故选：D．
11．D
【解析】由函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象知，A=2，=﹣=，∴T==π，解得ω=2；
由五点法画图知，ωx+φ=2×+φ=，解得φ=，
∴f（x）=2sin（2x+）；
∴f（x）的最小正周期为π，A错误；
f（x）的值域为[﹣2，2]，B错误；
f（﹣）=2sin（﹣+）=﹣1，不是最值，
∴f（x）的图象关于直线x=﹣不对称，C错误；
f（x）的图象向左平移个单位，
得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x，D正确．
故选：D．
12．B
【解析】函数f（x）在定义域R上满足f（﹣x）+f（x）=0，
若f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（﹣2）=0，
可得f（x）为奇函数，在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，f（0）=0，可得f（x）＞0时，x＜﹣2或0＜x＜2；
f（x）＜0时，x＞2或﹣2＜x＜0．
则（x﹣1）f（x）＞0，可得
x＞1，f（x）＞0，可得1＜x＜2；
x＜1，f（x）＜0，可得﹣2＜x＜0．
综上可得﹣2＜x＜0或1＜x＜2．
故选：B．
二、填空题
13．
【解析】原式=+2﹣1=+1=．
故选：．
14．1
【解析】当x=1时，f（1）=2，g[f（x）]=g（2）=2，成立；
当x=2时，f（2）=1，g（1）=3，不符题意；
当x=3时，f（3）=1，g（1）=3，不符题意．
综上可得g[f（x）]=2的解为x=1．
故答案为：1．
15．
【解析】由tan（φ+）=5，得，解得tanφ=．
∴===．
故答案为：．
16．{x|}
【解析】由题意，令x=y=2，可得f（4）=2，
对于0＜x＜y，都有f（x）＜f（y），
可知f（x）是递增函数．
不等式f（x﹣1）+f（x+1）＜2转化为f（x2﹣1）＜f（4），
∴
解得：，
故答案为：{x|}.
三、解答题
17．解：（Ⅰ）已知角α的终边与单位圆交于点P（，），∴x=，y=，r=|OP|=1，∴sinα==，cosα==，tanα==．
（Ⅱ）（sin﹣cos）2=1﹣sinα=1﹣=．
18．解：（Ⅰ）已知函数f（x）=﹣x2+2x+m．恰有一个零点，
则﹣x2+2x+m=0有一个实数根，
∴△=4+4m=0，
解得：m=﹣1．
（Ⅱ）由g（x）=f（x﹣1），
则g（x）=﹣（x﹣1）2+2（x﹣1）+m=﹣x2+4x+m﹣3
因为函数g（x）的对称轴为x=2，g（x）在区间[2a，a+2]上不单调，
所以对称轴在区间[2a，a+2]内，
即2a＜2＜a+2，
解得．0＜a＜1
所以实数a的取值范围为（0，1）
19．解：（1）设，
当t=1时，由y=9得k=9，由得a=3；
∴；
（2）由得，或；
解得；
∴服药一次后治疗有效的时间长是小时．
20．解：sin（）=﹣sin（）=﹣，即sin（）=，
∵β∈（0，），
则β∈（，），
∴cos（）=，
又α∈（），cos（）=＞0，
∴＜（）＜0，
∴sin（）=，
那么：sin（α+β）=sin[（+β）﹣（﹣α）]=sin（）cos（）﹣cos（），sin（）=．
21．解：（Ⅰ）因为A={x|1≤x≤3}，B={x|x=m+1，m∈A}．
所以B={x|2≤x≤4}，
根据题意，由图可得：C=A∩（C U B），
因为B={x|2≤x≤4}，则C U B={x|x＞4或x＜2}，
而A={x|1≤x≤3}，则C=A∩（C U B）={x|1≤x＜2}；
（Ⅱ）因为集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2≤x≤4}，
所以A∪B={x|1≤x≤4}，．
若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），
则有，
解得2＜a≤3，
即实数a的取值范围为（2，3]．
22．解：（Ⅰ）∵=（2cos x，），=（sin x+cos x，﹣1），
∴f（x）=•+2=2cos x sin x+2cos2x﹣+2，
=sin2x+cos2x+2，
=2sin（2x+）+2，
其单调递减区间满足2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）∵当x∈（0，）时，方程f（x）+m=0有根，∴﹣m=f（x）．
∵x∈（0，），∴2x+∈（，），
∴﹣＜sin（2x+）≤1，
∴f（x）∈（﹣+2，4]，
∴m∈[﹣4，﹣2）．。