人教版九年级上册数学课件：用待定系数法求二次函数的解析式

课堂作业： 课本
家庭作业：教材 41页第6题 练习册
下课!
结束寄语
时间是一个常数,但对勤奋者来 说,是一个“变数”.
用“分”来计算时间的人比用 “小时”来计算时间的人时间多59 倍.
交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
顶点式： y=a(x-h)2+k
已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为 （0，－5）求抛物线的解析式？
y 解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)2-3
由条件得： 点( 0,-5 )在抛物线上
x o
a-3=-5, 得a=-2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3
回顾：用待定系数法求一次函数的解析式
• 已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求 这个一次函数的解析式。
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,
因为一次函数经过点（1，3）和（-2，12），
所以 k+b=3
-2k+b=-12
解得 k=3，b=-6
一次函数的解析式为y=3x-6.
步骤：一设，二代，三解，四写
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线y=ax2+bx+c 当x=1时，y=0，则a+b+c=___0__ 经过点（-1,0），则___a_-b_+_c_=_0___ 经过点（0,-3），则____c_=_-_3____ 经过点（4,5），则__1_6_a_+_4_b_+_c_=_5
对称轴为直线x=1，则__-__2b_a___=_1__
解： 设所求的二次函数为 y＝ax2＋bx＋c
由条件得： a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3
得： a＝1 b= -2 c= -3
故所求的抛物线解析式为 y=x2－2x－3
一般式： y=ax2+bx+c
例2 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于
A(-1,0），B(3，0)，并且过点C(0,-3)， 求抛物线的解析式？
抛物线解析式 y=2(x-1)(x-3)
抛物线与x轴交点坐标 (x1,0),( x2,0)
（1，0）（3，0）
y=3(x-2)(x+1)
（2，0）（-1，0）
y=-5(x+4)(x+6)
（-4，0）（-6，0）
y=a(x_-_x_1)(x_-__x_2 ) （a≠0）
(x1,0),( x2,0)
交点式
顶点式： y=a(x-h)2+k
交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－3）
由条件得： 点C( 0,-3)在抛物线上
所以：a(0＋1)(0－3)＝－3 得： a＝1
故所求的抛物线解析式为 y= (x＋1)(x－3) 即：y=x2－2x－3
例3
一般式： y=ax2+bx+c
2
2
12
(2) y -2(x - 2)2 3
熟能生巧
1、已知二次函数的图像过点(0, 0)，(1,－3)，(2,-7) 三点，则该二次函数关系式为__y___-__1_x_2_-__5_x_。
22
2、若二次函数的图像有最高点为(1,－6)，且经过点 (2，－8），则此二次函数的关系式__y__-_2_(_x _-_1)_2_-_6__
2、已知抛物线y=a（x-h）2+k
顶点坐标是（-3,4）， 则h=__-3___,k=___4___，
代入得y=_a_（__x_+__3_）__2+_4___ 对称轴为直线x=1，则____h_=_1_____
代入得y=__a_（__x_-1__）__2+__k__
求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？
3、若二次函数的图像与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0) 且过点(3,4)，则此二次函数的关系式为_y___2(_x_-_1_)_(x_-__2_)
知识提高：已知二次函数y=ax2+bx+c的 最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上， 并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
解：根据题意得顶点为(－1,4)
y
由条件得与x轴交点坐标
(2,0)；(-4,0） 设二次函数解析式：y＝a(x＋1)2+4
x o
有0＝a(2＋1)2+4，得a＝ -
9 4
故所求的抛物线解析式为 y= - 9 (x＋1)2＋4
4
回 顾与反思
§ 已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式 y
§ 已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）
交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
因此：所求二次函数是：
y=2x2-3x+5
一般式： y=ax2+bx+c
例2 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于
A(-1,0），B(3，0)，并且过点C(0,-3)， 求抛物线的解析式？
顶点式： y=a(x-h)2+k
交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， 通常设抛物线解析式为_y_=_a_(_x_-_h_)2_+_k_(_a_≠_0_) 求出表达式后化为一般情势. 3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_y_=_a_(x_-_x_1_)(_x_-_x_2)_(a≠0) 求出表达式后化为一般情势.
求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？
抛物线解析式
y=a(x-1)(x-3)（a≠0）
抛物线与x轴交点坐标 (x1(x+1)（a≠0） y=a(x+4)(x+6)（a≠0）
（2，0）（-1，0） （-4，0）（-6，0）
y=a(x_-_x_1)(x_-__x_2 ) （a≠0）
通常选择顶点式
o
§ 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，
x 通常选择交点式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特 点，恰当地选用一种函数表达式，
课本40页课后练习
1、一个二次函数，当自变量x 0时，函数值y -1， 当x -2与 1 时，y 0.求这个二次函数的解析式。
2 2、一个二次函数的图象经过（0，0），（-1，-1）， （1，9）三点，求这个二次函数的解析式。
(x1,0),( x2,0)
交点式
温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式？
• 一般式：y＝ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y＝a(x-h)2+k (a≠0) 特殊情势 • 交点式：y＝a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解 析式为__y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(a_≠__0_)
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
一般式： y=ax2+bx+c
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c y
a-b+c=10 由条件得： a+b+c=4
顶点式： y=a(x-h)2+k
4a+2b+c=7
ox
解方程得： a=2, b=-3, c=5
方法小结
用待定系数法确定二次函数解析式的 基本方法分四步完成： 一设、二代、三解、四还原
一设:指先设出适当二次函数的解析式
二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的 解析式，得到关于a、b、c的方程组 三解:指解此方程或方程组 四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中
已知当x＝－1时，抛物线最高点的纵坐标为4， 且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式
即：y=－2x2-4x－5
练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，2) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
(1) y 7 x2 - 11 x (3) y - 1 x2 x