焦点专题8 数列求和与不等式的解法、证明

焦点专题8 数列求和与不等式的解法、证明
【基础盘点】
一、数列求和的常用方法
1、公式求和法：求得1a 与d 或1a 与q 后，代入等差数列或等比数列的前n 项公式求解. 如在等比数列{}n a 中，24a =，2q =，则n S = ； For personal use only in study and research; not for commercial use
2、观察规律法：当所给n S 具有较强的规律性或以图形式出现时，可考虑此法.如已知
(1)n
n a =-，则n S = ；
3、倒序求和法：在数列{}n a 中，出现12132,,,n n n a a a a a a --+++为定值时，可考虑此法.
如数列{}n a 中，121321
2
n n n a a a a a a --+=+=+=
，则n S =
； 4、裂项相消法：出现1(1)n a n n =+或n a =时可用此法，如111324n S =
++⨯⨯
1(2)n n +
=+ ，2n S n =+++=+ ； 5、错位相减法：在数列{}n a 中，出现n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，
可用此法.如231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯=
；
二、求解不等式的常用方法
1、解一元二次不等式之公式法：先用一元二次方程的求根公式解得1,2x =，
再结合二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象可写出2
0ax bx c ++>(或0<或0≥ 或0≤)的解.如不等式210x x --≤的解集为 ；
2、解一元二次不等式之十字相乘法：将乘法公式2
()()()ax b cx d acx ad bc x bd ++=+++
逆过来写有2
()()()acx ad bc x bd ax b cx d +++=++，故只需将2Ax Bx C ++中的A 、C 分别写成,A ac C bd ==形式，再检查ad bc +是否
等于B ，即可2Ax Bx C ++()()ax b cx d =++，为了
把这个过程直观化，常将该过程写为如下的“十字相乘” 形式，“十字相乘法”由此而得名.
如不等式2
2320x x +-<的解集为 ；
3、解一般不等式之等价变形法：解不等式的过程就是将不等式()0f x >等价变形为?x > 或?x <的过程，其中的变形需运用不等式的性质：加、减、乘、除、平方、开方、常数指数化、常数对数化等.如不等式ln 2x <的解集为 ；
三、证明不等式的常用方法
1、作差(商)法：0A B A B >⇔->(或(0)1A
A B B B
>>⇔
>).如比较3x 与2x 的大小； 2、配方法：将A B -配方后，可以判断A B -与0的大小，从而达到判断A 与B 的大小的目的.如比较2
1x +与x 的大小；
3、综合法：收集、整理已知条件与熟悉公式、定理，得到所求证的不等式的一种方法，也可简记为“条件⇒结论”的一种证明模式.如证明2
2
2
a b c ab bc ac ++≥++；
4、分析法：从结论出发，一边等价变形，一边收集所需的已知条件，一直到转化出一个显 然成立的结论，可简记为“结论⇒条件”的一种证明模式.如3的不等式的证明；
5、构造函数法：通过等价变形后构造函数，运用函数的单调性求其最大(小)值达到证明不等式的一种方法.如当0x >时，证明ln x x <.
【例题精选】
焦点1：公式求和法、观察规律法、倒序求和法 【例1】1、设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和.已知241a a =，37S =,则5S = 【题情捉摸】由241a a =得1a = (用q 表示)，然后代入37S =得1a = ，q = ，
从而得5S 的值.
2、已知数列2008,2009, 1,—2008,—2009,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2011项之和S 2011等于
【题情捉摸】多写几项，得该数列为 ，
可知它是周期为 的周期函数，从而得2011S 的值.
焦点2：裂项相消法、错位相减法
【例2】1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1
2
n n n S na a c =
+-(c 是常数,n ÎN *),26a =. (1)求c 的值及{}n a 的通项公式; (2)证明:
1223111118
n n a a a a a a ++++<L . 【题情捉摸】(1)当1n =时,得1a = (用c 表示),进而由2n =,得2a = (用c 表示),
又由26a =，得c = ；于是可求得公关d = ，便得n a = ； (2)将(1)中的n a 代入
12231
111
n n a a a a a a ++++
L ，观察其结构知，可用 解之.
2、等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知对任意的n *∈N ,点(,)n n S 均在函数
(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.
(1)求r 的值; (2)当b=2时,记1
()4n n
n b n a *+=
∈N 求数列{}n b 的前n 项和n T . 【题情捉摸】(1)由“点(,)n n S 在曲线x y b r =+上”,可建立n S 与n 的关系为 ,再由“n a 与n S 法”求得1a = ，当2n ≥，n a = ,1a 也合适n a ，对比1a 得r = ; (2)由2b =，观察n T 的结构知可用 求得n T .
焦点3：一元二次不等式之公式法、十字相乘法 【例3】1、解下列不等式
(1)2120x x +-≥ (2)2
120x x --< (3)2
620x x --≥ (4)2
620x x --+≥
(5)2
10x x +-> (6)2
220x x +-≤
【题情捉摸】用 可求得(1)、(2)、(3)、(4)的解，用 可求得(5)、(6)的解.
2、解关于x 的不等式:
22
1
ax x ax -<+(0a >). 【题情捉摸】移项整理得 ，即1(2)()0x x a
++>
，方程1
(2)()0x x a
++= 有两实根1x = ，2x = ，当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ；当 时，解集为 .
焦点4：一般不等式之等价变形法
【例4】1、首项是1
25,从第10项开始比1大的等差数列的公差d 的取值范围是 A.875d > B.325d < C.837525d << D.83
7525
d <≤
【题情捉摸】从第10项开始比1大，说明10a 1，9a 1，从中可解得d 的范围.
2、已知数列}{n a 的通项公式为)(2
1
log 2
+∈++=N n n n a n ,设其前n 项和为S n ,则使S n <－5成立的自然数n 有 A.最小值63
B.最大值63
C.最小值31
D.最大值31
【题情捉摸】可得n S = 5<-，而25log -= ，从中可解得n 的取值范围.
焦点5：作差(商)法、综合法、分析法
【例5】设{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的
A.充分不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【题情捉摸】由123a a a <<⇒ ，若10a >，有q 1，若10a <，有
0q < 1，1n n a a +-= 0>，于是数列{}n a 是递增数列；
由数列{}n a 是递增数列⇒123a a a <<.
焦点6：构造函数法
【例6】1、在数列{}n a 中，已知ln
1n n a n =+，n S 是{}n a 的前n 项和，求证：1n S n
<. 【题情捉摸】可得n S = ，只证 111n n <<+，设11
x n =+， 运用 法，可得证.
2、已知0p >且1p ≠,数列{}n a 的前n 项的和(1)1n n p
S a p
=
--,数列{}n b 满足1n b +- 21log n p n b a -=,11b =.
(1)求证:数列{}n a 是等比数列;
(2)若对于区间[0,1]上的任意实数λ,总存在不小于2的自然数k ,当n k ≥时,
(1)(32)n b n λ≥--恒成立,求k 的最小值.
【题情捉摸】(1)当1n =时，得1a = ，当2n ≥时,得1n n n a S S -=-= ，
可得1
n n a
a -= ；(2)由(1)求得n a = ，有1n n
b b +-= ，由 法，
可求得n b = ，代入(1)(32)n b n λ≥--整理得2(32)540n n n λ-+-+≥， 令()f λ= ，只需考虑()f λ在[0,1]上的最小值0≥即可.
【真题回顾】
1、(2008广东文)记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d = A.2 B.3 C.6 D.7
【名模精选】 2、(2011惠州二模文)已知条件p ：1x ≤，条件q ：
1
x
<1，则p 是⌝q 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 3、(2010揭阳一模文)不等式2
320x x -+<的解集为 A.()
(),21,-∞--+∞ B.()2,1-- C.()(),12,-∞+∞ D.()1,2
4、(2011惠州二模文)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32
132
S S -=，则数列{}n a 的公差是
A.
1
2
B.1
C.2
D.3 5、(2010揭阳二模文)已知{}n a 是等差数列，6720a a +=，7828a a +=，则该数列前13
项和13S 等于 A.156 B.132 C.110 D.100
6、(2010佛山一模文)若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，其前n 项和为n S ， 则444S a - ．
7、(2010深圳一模文)设等比数列{}
n a 的公比21
=q ,前n 项和为n S ,则4
4a S = .
8、(2010湛江一模文)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，n n S a 21=+． (1)求432,,a a a 的值；
(2)求数列{}n a 的通项公式n a ；
(3)设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
9、(2010揭阳二模文)已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，
n *∈N ．
(1)求数列{}n b 的通项公式；
(2)设2121n n n c b b -+=，求使得
1
n
i i c =∑10m
<
对一切n *∈N 都成立的最小正整数m ； (3)设数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-，试比较1n T +与n T 的大小．
10、(2010广州一模文)已知数列{}n a 满足对任意的*
n ∈N ，都有0n a >，
且()2
33
31212n n a a a a a a ++
+=+++．
(1)求1a ，2a 的值；
(2)求数列{}n a 的通项公式n a ； (3)设数列21n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，不等式()1log 13n a S a >-对任意的正整数n 恒成
立，求实数a 的取值范围．
11、(2010东莞三模文)位于函数4
13
3+
=x y 的图象上的一系列点111222(,),(,),,P x y P x y
(,),
n n n P x y ,这一系列点的横坐标构成以2
5
-为首项,1-为公差的等差数列{}n x .
(1)求点n P 的坐标；
(2)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*
N 第n 条抛物线n C 的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为
n k .求证:
10
1
11113221<
+++-n n k k k k k k .
12、(2010佛山二模文)设曲线1:()()n n C f x x n +*=∈N 在点1
1,()2
2P f ⎛⎫-- ⎪⎝⎭处的切线与y
轴交于点(0,)n n Q y . (1)求数列{}n y 的通项公式； (2)求数列{}n y 的前n 项和n S .
【参考答案】
【例1】1.由241a a =得24
11a q =，
∴121a q
=，又231(1)7S a q q =++=，∴2610q q --=， 解得12q =或13q =-(舍去).得14a =，{}n a 的前5项分别为114,2,1,,24，则531
4
S =.
2.由数列的特点知数列为2008,2009, 1,－2008,－2009,－1,2008,2009,1,它是以6为周期的周期数列,而201063351=⨯+,且连续6项之和为0,∴2011S 等于前1项之和,即为2008. 【例2】1.解:因为12n n n S na a c =
+-,所以当1n =时,1111
2
S a a c =+-,解得12a c =, 当2n =时,222S a a c =+-,即1222a a a c +=-,解得23a c =, 所以36c =,解得2c =;则14a =,数列{}n a 的公差212d a a =-=, 所以1(1)22n a a n d n =+-=+. (2)因为
12231111n n a a a a a a ++++L 111
4668(22)(24)
n n =+++
创++L 111111111()()()24626822224
n n =-+-++-++L 1111111[()()()]246682224n n =
-+-++-++L 111()2424n =-+11
84(2)
n =-+. 因为*N n Î,所以
122311111
8
n n a a a a a a ++++<L . 2.解:(1)∵点(,)n n S 在函数x
y b r =+的图像上.∴n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+; 当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-, 因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,所以1(1)n n a b b -=-; (2)当b=2时,11(1)2n n n a b b --=-=,11
111
4422n n n n n n n b a -++++===
⨯, 则2341
2341
2222n n n T ++=
++++
3
4512
123412
22222n n n n n T +++=++++
+ 相减,得2345
12
1211111
2
222222n n n n T +++=
+++++
- =31211(1)112212212
n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--
所以11
3113322222n n n n n n T ++++=
--=-.
【例3】1.解：(1)由2
120x x +-≥得(3)(4)0x x -+≥，∴4x ≤-或3x ≥； (2)由2
120x x --<得(3)(4)0x x +-<，∴34x -<<；
(3)由2
620x x --≥得(21)(32)0x x +-≥，∴12x ≤-
或23
x ≥； (4)由2
620x x --+≥得2
620x x +-≤，有(21)(32)0x x -+≤，∴21
32
x -
≤≤； (5)由2
10x x +-=
，解得x =
，∴原不等式的解为x <
x >
(6)由2
220x x +-=
，解得1x =-±
11x -≤≤-+2.由
221ax x ax -<+得22
01
ax x ax --<+,即1(2)()0x x a ++>. ①当12a -<-,即102
a <<时,不等式的解集为1
(,)(2,)a -∞--+∞;
②当12a -=-,即1
2
a =时,不等式为2(2)0x +>,解集为(,2)(2,)-∞--+∞
③当120a -<-<,即12
a >时,不等式的解集为1
(,2)(,)a -∞--+∞.
综上所述,当102a <<时,不等式的解集为1
(,)(2,)a -∞--+∞;当12
a =时,不等的
解集为(,2)(2,)-∞--+∞;当12
a >时,不等式的解集为1
(,2)(,)a -∞--+∞.
【例4】1.由题意得9101,1a a ≤>,即1
8125
191
25
d d ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩,解得837525d <≤. 2.A 222222312312
log log log log ()log 3423422n n n S n n n ++=++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=+++,
由2221log 5log 232n S n =<-=+,得21
62232
n n <⇒>+,∴63n ≥. 【例5】C 由123a a a <<，得2
111
a aq aq <<，若10a >，有21q q <<，即1q >，{}n a 递增，若10a <，有21q q >>，得01q <<，111(1)0n n n a a a q q -+-=->，{}n a 递增；反过来，
若{}n a 递增，必有123a a a <<.
【例6】1.解123121ln
ln ln ln ln()ln 23412311n n n S n n n =++++==+++， 下先证明11ln 11n n <++，令11x n =+，只证ln x x <，令()ln (01)f x x x x =-<<， 则11()10x
f x x x
-'=-=
>，又01x <<，得()0f x '>，∴()f x 为增函数， 得()(1)ln1110f x f <=-=-<，即ln 0x x -<，有ln x x <，
于是111ln
11n n n
<<++.
2.解:(1)当2n ≥时,11(1)(1)11n n n n n p p a S S a a p p
--=-=
-----,得1n n a pa -=. 由111(1)1p
a S a p ==--,得10a p =>,∴恒有0n a >,从而1
n n a p a -=,
故数列{}n a 是以p 为首项,公比为p 的等比数列.
(2)由(1)得n n a p =,21121log log 21n n n p n p b b a p n -+--===-, ∴112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+⋅⋅⋅+-+
2(23)(25)31122n n n n =-+-+⋅⋅⋅+++=-+.
由(1)(32)n b n λ≥--,得2(32)540n n n λ-+-+≥恒成立,其中[0,1]λ∈.
令2()(32)54f n n n λλ=-+-+,由2,k n k ≥≥,知2n ≥,有3240n -≥>. 结合一次函数的图象有2(0)540f n n =-+≥,解得4n ≥或1n ≤,又2n ≥,∴4n ≥. 综上所述,自然k 的最小值为4.
1～5 BADCA 6．17- 7．15
8．解：(1)∵11a =，∴2122a a ==，3226a S ==，43218a S ==， (2)∵12n n a S +=，∴12(2)n n a S n -=≥，得12n n n a a a +-=，即1
3(2)n n
a n a +=≥， 又
2
1
2a a =，∴数列{}n a 自第2项起是公比为3的等比数列， ∴2
1,
123,2
n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩，
(3)∵n n b na =，∴2
1,
123,2
n n n b n n -=⎧=⎨⨯≥⎩， ∴0122122323324323n n T n -=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+
+⨯⨯，① 13213234233232233-⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=n n n T ，②
①-②得012212222323232323n n n T n ---=-+⨯⨯+⨯+⨯+
+⨯-⨯⨯
()23
2122333323n n n --=++++
+-⨯=1(12)31n n --⨯-
∴1
11()322
n n T n -=-⨯+．
9．解：(1)由1n n b a =-得1n n a b =+代入11(1)n n n a a a +-=-得1(1)n n n b b b +=+，
整理得11n n n n b b b b ++-=，∵0n b ≠否则1n a =，与12a =矛盾,从而得111
1n n
b b +-=,
∵1111b a =-=，∴数列1{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列，∴1
n
n b =，即1n b n =．
(2)∵2121n n n c b b -+=＝1
(21)(21)n n -+＝111(
)22121
n n --+， ∴1
n
i i c =∑＝12n c c c +++＝111111[(1)()(
)]23352121n n -+-++--+＝11
(1)221n -+， ∴要使
11(1)221n -+10m <对一切n N *∈都成立， 必须并且只须满足21≤10
m
，即m≥5，
∴满足要求的最小正整数m 为5．
(3)∵111123
n S n =+
+++
∴2n n n T S S =-＝11111111
1(1)231223n n n n
+++++
+-+++++ ＝111122n n n
+++++， 又∵1111111()2322122n n T T n n n n n n +-=
+++-++++++++ ＝11121221n n n +-+++＝111
02122(21)(22)
n n n n -=>++++ ∴1n n T T +>．
10．(1)解：当1n =时，有3
211a a =，由于0n a >，所以11a =． 当2n =时，有()2
33
1212a a a a +=+，
将11a =代入上式，由于0n a >，所以22a =．
(2)解：由于()2
33
31212n n a a a a a a +++=++
+， ① 则有()2
33
33
121121n n n n a a a a a a a a ++++
++=++
++． ②
②－①，得()()2
2
3
112112n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++，
由于0n a >，所以()2
11212n n n a a a a a ++=++
++． ③
同样有()2
1212n n n a a a a a -=++
++()2n ≥， ④
③－④，得2211n n n n a a a a ++-=+．
所以11n n a a +-=．
由于211a a -=，即当n ≥1时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列．故n a n =．
(3)解：由(2)知n a n =，则
()211111222n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
．
所以13243511211111
n n n n n S a a a a a a a a a a -++=+++++
1111111111111112322423521122n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭
．
∵()()
11
013n n S S n n +-=
>++，∴数列{}n S 单调递增．所以()1min 13n S S ==． 要使不等式()1log 13n a S a >-对任意正整数n 恒成立，只要()11
log 133
a a >-．
∵10a ->，∴01a <<．∴1a a ->，即1
02
a <<．
所以，实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
11．解: (1)由于n P 的横坐标构成以2
5
-
为首项,1-为公差的等差数列{}n x , 故153(1)(1)22n x x n d n n =+-=---=--.又),(n n n y x P 位于函数413
3+=x y 的图象上,
所以y 4
53413)23(34133--=+--=+=n n x n n , 点),(n n n y x P 的坐标为()4
5
3,23----n n .
(2)证明:由题意可设抛物线n C 的方程为2()n n n y a x x y =-+,
即235
()324
n y a x n n =++--.
由抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,于是有2
2351()324
n n a n n +=+--.
由此可得235
1,()324n a y x n n ==++--.
故32)2
3
(200+=++='===n n x y k x x n .
所以)2)(3
21121(21)32)(12(111≥+-+=++=-n n n n n k k n n ,
于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++-+-=+++-)321121()9171()7151(2111113221n n k k k k k k n n )32151(21+-=n 101<. 即10
111113221<+++-n n k k k k k k . 12．解：(1)
()(1)()n
f x n x n *'=+∈N , ∴点P 处的切线斜率1(1)2n
n k n ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
,
∴切线方程为:1
111(1)()222n n
y n x +⎛⎫
⎛⎫
--=+-+ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
,
令0x =得: 1
111222n n
n n y ++⎛⎫
⎛⎫=-+⋅- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭,故数列{}n y 的通项公式为:122n
n n y ⎛⎫
=⋅- ⎪⎝⎭
.
(2)2
3
112131122222222n
n n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⋅-+⋅-+⋅-+
+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， (12311922)
n n S ⎡⎤+⎛⎫
=⋅--⎢
⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
(提示：用错位相减法可求得)
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以下无正文。