4.3.2对数的运算课件(人教版)
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对数的定义： loga N b ab N (a 0,且a 1, N 0) .
n
指数幂的运算性质： am an amn; am an amn ； am n amn; m an am .
在上一课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算， 你能从指数与对数的关系以及指数幂的运算性质， 得出相应的对数的运算性质吗?
N
b
a n an， N b，即loga M n n loga M.
探究二 对数换底公式
当a 0,且a 1,b 0时，若 ax b ①，则 loga b x ②.
在①的两边取以 c(c 0, 且c 1) 为底的对数，则 logc ax logc b ， 即 x logc a logc b ，
log5 5
3 4
log8 8
，
3
3
log553 log53 而 log884 log85 ，log53 log85，
即 a b ； 55 84 ，5 4log58，log58 1.25，b log85 0.8 ，
134 85 ，4 5log138 ，c log138 0.8 ， c b ， 综上， c b a .故选：A.
第 四 章 指数函数与对数函数
4.3.2 对数的运算
学习目标
通过指数幂的运算性质推导出对数的运算性质. 掌握对数换底公式，能够用换底公式简化问题.
准备好了吗？一起去探索吧！
对数运算性质及其推导过程. 换底公式及其应用.
换底公式的灵活运用.
难点
重点
导入
首先大家先复习对数的定义及指数幂的运算性质.
xy
√A.2
B.1
C. 1
2
D. 3
2
由题意可知 4x 6 ， 9y 6 ，即 x log4 6 ， y log9 6 ，
则
1 x
1 log4
6
log6
4
，
1 y
1 log9
6
log6
9
，
所以
1 x
1 y
log6
4Leabharlann log69log6 (4 9)
log6
36
log6
62
2
.故选
A.
练一练
4.已知
2a
m
，
1 4
b
n
，则
a
b
(
A.
log2
m n2
√ B. log2
m n
) C. log2 m n
D. log2 mn2
本题考查指数与对数的转换及对数运算的性
质.
a
b
log2
m
log 1
4
n
log2
m
1 2
log2
n
log2
m
log2
1 n
log2
m.
n
故选 B.
1.对数的运算性质； 2.对数换底公式； 3.对数运算性质的综合运用，应掌握变形技巧： （1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系； （2）要避免错用对数运算性质.
探究三 对数运算的性质应用
1.利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件? 2.对数运算性质能否进行推广?
底数 a 0,且a 1.真数 M 0, N 0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时， 等式才能成立.
性质（1）可以推广到n个正数的情形，即：
loga M1M2M3 Mn loga M1 loga M2 loga M3 loga Mn
(其中a 0，且a 1, M1, M2, M3, , Mn都大于0).
练一练
1.已知 55 84 ，134 85 .设 a log5 3 ， b log8 5 ， c log13 8 ，则( )
√A. a b c
B. b a c
C. b c a
D. c a b
由
3 4
探究一 对数的运算
如果我们知道 am an amn ，那么 m n如何表示，能用对数式运算吗?
am an amn,设 M am, N an , 于是 MN amn ， 由对数的定义得到 M am m loga M ， N an n loga N , MN amn m n loga (MN) , 所以 loga M loga N loga (MN) . 即：同底对数相加，底数不变，真数相乘.
你能根据上面的结论猜想出对数运算的其他性质吗?
教师归纳总结结论：
如果a 0且a 1, M 0, N 0,那么：?
(1) loga (MN ) loga M loga N
(2) loga
M N
loga M
loga
N
(3) loga M n n loga M (n R)
你能根据上面的结论猜想出对数运算的其他性质吗?
x
logc logc
b a
③.由②③得
loga
b
logc logc
b a
(a
0,
且a
1; b
0; c
0,
且c
1)
.
总结对数换底公式：
loga
b
logc logc
b a
(a
0,
且a
1;
b
0;
c
0,
且c
1)
.
从对数的定义可以知道，任何不等于1的正数都可以作为对数的底， 数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表， 只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数. 这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数.
（2） 令M
am，N
an ,则 M N
am
an
amn，m n loga
M ，又由 N
M
am,
N
an，m
loga
M,n
loga
N，即 loga
M
loga
N
m
n
loga
M N
.
N
b
（3） n 0时，令N loga M n,则M a n .令b n loga M ,则M an ,
练一练
2.已知
1 2
loga
2
x ， loga
3
y ，则 a2x y
(
)
2
7
√A. 3
B. 3
C.6
D.5
本题考查指数式、对数式的互化与运算.因为
1 2
loga
2
x
，
loga
3
y
，所以
2x
y
loga
2 loga
3
loga
2 3
，因此 a2x y
aloga
2 3
2 3
.故选
A.
练一练
3.已知 4x 9y 6 ，则 1 1 等于( ).
n
指数幂的运算性质： am an amn; am an amn ； am n amn; m an am .
在上一课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算， 你能从指数与对数的关系以及指数幂的运算性质， 得出相应的对数的运算性质吗?
N
b
a n an， N b，即loga M n n loga M.
探究二 对数换底公式
当a 0,且a 1,b 0时，若 ax b ①，则 loga b x ②.
在①的两边取以 c(c 0, 且c 1) 为底的对数，则 logc ax logc b ， 即 x logc a logc b ，
log5 5
3 4
log8 8
，
3
3
log553 log53 而 log884 log85 ，log53 log85，
即 a b ； 55 84 ，5 4log58，log58 1.25，b log85 0.8 ，
134 85 ，4 5log138 ，c log138 0.8 ， c b ， 综上， c b a .故选：A.
第 四 章 指数函数与对数函数
4.3.2 对数的运算
学习目标
通过指数幂的运算性质推导出对数的运算性质. 掌握对数换底公式，能够用换底公式简化问题.
准备好了吗？一起去探索吧！
对数运算性质及其推导过程. 换底公式及其应用.
换底公式的灵活运用.
难点
重点
导入
首先大家先复习对数的定义及指数幂的运算性质.
xy
√A.2
B.1
C. 1
2
D. 3
2
由题意可知 4x 6 ， 9y 6 ，即 x log4 6 ， y log9 6 ，
则
1 x
1 log4
6
log6
4
，
1 y
1 log9
6
log6
9
，
所以
1 x
1 y
log6
4Leabharlann log69log6 (4 9)
log6
36
log6
62
2
.故选
A.
练一练
4.已知
2a
m
，
1 4
b
n
，则
a
b
(
A.
log2
m n2
√ B. log2
m n
) C. log2 m n
D. log2 mn2
本题考查指数与对数的转换及对数运算的性
质.
a
b
log2
m
log 1
4
n
log2
m
1 2
log2
n
log2
m
log2
1 n
log2
m.
n
故选 B.
1.对数的运算性质； 2.对数换底公式； 3.对数运算性质的综合运用，应掌握变形技巧： （1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系； （2）要避免错用对数运算性质.
探究三 对数运算的性质应用
1.利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件? 2.对数运算性质能否进行推广?
底数 a 0,且a 1.真数 M 0, N 0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时， 等式才能成立.
性质（1）可以推广到n个正数的情形，即：
loga M1M2M3 Mn loga M1 loga M2 loga M3 loga Mn
(其中a 0，且a 1, M1, M2, M3, , Mn都大于0).
练一练
1.已知 55 84 ，134 85 .设 a log5 3 ， b log8 5 ， c log13 8 ，则( )
√A. a b c
B. b a c
C. b c a
D. c a b
由
3 4
探究一 对数的运算
如果我们知道 am an amn ，那么 m n如何表示，能用对数式运算吗?
am an amn,设 M am, N an , 于是 MN amn ， 由对数的定义得到 M am m loga M ， N an n loga N , MN amn m n loga (MN) , 所以 loga M loga N loga (MN) . 即：同底对数相加，底数不变，真数相乘.
你能根据上面的结论猜想出对数运算的其他性质吗?
教师归纳总结结论：
如果a 0且a 1, M 0, N 0,那么：?
(1) loga (MN ) loga M loga N
(2) loga
M N
loga M
loga
N
(3) loga M n n loga M (n R)
你能根据上面的结论猜想出对数运算的其他性质吗?
x
logc logc
b a
③.由②③得
loga
b
logc logc
b a
(a
0,
且a
1; b
0; c
0,
且c
1)
.
总结对数换底公式：
loga
b
logc logc
b a
(a
0,
且a
1;
b
0;
c
0,
且c
1)
.
从对数的定义可以知道，任何不等于1的正数都可以作为对数的底， 数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表， 只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数. 这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数.
（2） 令M
am，N
an ,则 M N
am
an
amn，m n loga
M ，又由 N
M
am,
N
an，m
loga
M,n
loga
N，即 loga
M
loga
N
m
n
loga
M N
.
N
b
（3） n 0时，令N loga M n,则M a n .令b n loga M ,则M an ,
练一练
2.已知
1 2
loga
2
x ， loga
3
y ，则 a2x y
(
)
2
7
√A. 3
B. 3
C.6
D.5
本题考查指数式、对数式的互化与运算.因为
1 2
loga
2
x
，
loga
3
y
，所以
2x
y
loga
2 loga
3
loga
2 3
，因此 a2x y
aloga
2 3
2 3
.故选
A.
练一练
3.已知 4x 9y 6 ，则 1 1 等于( ).