广东省汕头市高三数学教学质量测评试题 理(扫描版)新人教A版

广东省汕头市2013届高三数学教学质量测评试题理（扫描版）新人
教A版
汕头市2013年普通高中高三教学质量测评理数参考答案及评分标准一、选择题：BCDAC BCA
二、填空题：9、1-=x y 10、]6,23[- 11、94=a 12、)
1,41(- 13、⎪
⎭⎫
⎝⎛-37,35 14、222- 15、 4
部分解析：8、理解一：
理解二：由于涂色过程中，要保证满足条件（用四种颜色，相邻的面不同色），正方体的三对面，必然有两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，只需从四种
颜色中选择2种涂在其中一对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可。

因此共有2
4C =6
种不同的涂法。

15题的答案探讨：
A
B C
D
13、
15题是一个错题，因为里面要同时满足条件CP=2, PA=6, ∠B=30º，AC 与BD 相交于P 的弦AC 是不存在的。

由此，可能会获得以下答案，建议应把以下答案也做为符合要求的答案，才显得公平。

评分标准提供的4.
由∠D=90º，∠B=30º，得
AD=1
2AB=
73，再由勾股定理得PD=
2249177
363AP AD -=-
=
连结BC ，由勾股定理得BC=
2219623
6433AB AC -=
-=，再由△BCP ∽△ADP 得
DP=PC ·7
22AD BC
=⨯
=7； 三、解答题
16、解：（1）Θ→
→
n m //
)14cos 2(2sin
2cos 32-=∴A
A A …………………… …（2分）
A A
A A A A sin 2cos 2sin 2)14cos 2(2sin
2cos 32==-=∴……………… ………（4分）
3tan =∴A 又),0(π∈A
3π
=
∴A ………………………………………………（6分）
N
（2）
3233sin 21sin 21===
∆πbc A bc S ABC Θ …………………………………（8分）
6=∴bc ……………………………………………………………………（9分）
由余弦定理得：
3cos
2222π
bc c b a -+=………………………………………（10分）
2537)(2
=+=+⇒bc c b …………………………………………………………（11分）
5=+∴c b …………………………………………………………………（12分） 17、解：（Ⅰ）记Ex 表示这50位市民幸福指数的数学期望，则
)(6.63)3073021601990(501
分=⨯+⨯+⨯+⨯=
∴Ex …………………………（1分）
（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3 ………………………………………………（2分）
1251)51()54()0(3
003=
==C P ξ ………………………………………………（3分）
12512)51()54()1(2
113=
==C P ξ ………………………………………………（4分） 12548
)51()54()2(1223=
==C P ξ ………………………………………………（5分） 12564)51()54()3(0
333=
==C P ξ ………………………………………………（6分） ∴ξ分布列为
……………………（7分）
（Ⅲ）方法一：设所有满足条件的对立事件60+≥m n 的概率为1P
①满足600==n m 且的事件数为：631
21
13=A A ……………………（8分）
②满足900==n m 且的事件数为：5711913=A A ……………………（9分） ③满足9030==n m 且的事件数为：
13311917=A A ……………………（10分） 2450253
13357632
501=++=
∴A p ……………………（11分）
所以满足条件60+<m n 的事件的概率为
24502197
2450253111=
-
=-=P P .…………………………………………………（12分）
方法二：基本事件的总数为2450
250=A
满足条件60+<m n 的有如下各种情况：
①满足0=m 时，30,0=n 的事件数为：1
913A
A ……………………（8分） ②满足30=m 时，60,30,0=n 的事件数为：1
301
7A
A ……………………（9分） ③满足60=m 时，90,60,30,0=n 的事件数为：1
491
21A
A ……………………（10分） ④满足90=m 时，90,60,30,0=n 的事件数为：1491
19A
A ……………………（11分）
所以
24502197495049194921307932
50
49119149121130171913=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=+++=A A A A A A A A A p …………………………………………………（12分） 18、证明：（Ⅰ）因为4====AC PC PB PA ，
取AC 的中点O ，连接OB OP ,，易得：AC OP ⊥，……………………………（1分）
32242
222=-=-=OC PC OP
32,2,4===BC AB AC Θ,
,,222∆∆∴+=∴Rt ABC BC AB AC 为.……………………………（2分） OB OP OP OB PB OC OB ⊥∴+===∴,,2222.……………（3分） 又ABC OB AC O BO AC 面、且⊂=I Θ
OP ∴⊥平面ABC ，又PAC OP 平面⊂Θ
O C
B
A
P
ABC PAC 平面平面⊥∴……………………………（5分）
注意：该步骤要求学生的表达严谨规范，对于几个垂直的证明，如果没有过程，相应步骤得分为0分，而利用结论的后续证明只要正确，可以相应步骤得分）
（Ⅱ）4
32221
32312131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=-BC AB OP V ABC P …………………（7分）
（注意：该步骤只要计算出错，就0分）
（Ⅲ）方法一：过点E 作AC EH ⊥于H ，过点H 作AD HM ⊥于M ， 连接ME ，因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面I PAC 平面ABC =AC ，
AC EH ⊥，⊂EH 平面ABC ，所以⊥EH 平面PAC ，
AD ME ⊥∴(三垂线定理)（注意：也可以证明线面垂直） EMH ∠∴即为所求的二面角的平面角………（10分）
D E ,Θ分别为中点，AC EH ⊥， ∴在HEC RT ∆中：
23
30cos 0=
=EC HC ， 23
30sin 0=
=EC EH …………………（11分）
254=
-=∴HC AH
在HMA RT ∆中，
45
30sin 0=
=AH MH …………（12分）
所以，HME RT ∆中，
43716254322=+=
+=HM HE ME
所以3737
5437
45
cos ===
∠ME
MH
EMH ………………（14分）
方法二：以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
)0,0,0(O ,)0,2,0(-A ,)0,1,3(-B ,)0,2,0(C ,)3,1,0(D ,)
0,21,23(
E ,)32,0,0(P ,
)
0,25,23(
=∴AE ,)3,3,0(=,…………………………………………（9分）
所以，可以设平面AED 的一个法向量为),,(1z y x =，
平面ACD 的一个法向量为)0,0,1(2=，…………………………………………（10分）
⎪⎩⎪⎨
⎧=+=•=+=•033025
231
1z y n y x AE n ，所以令1=x ，则
53-
=y ，53
=z
y
z
所以)
52,53,1(1-
=n ，可以设所求的二面角为θ，显然θ为锐角…………（11分）
由
,
,cos 212121><⨯⨯=⋅n n n n n n 可得：………………………………（12分）
37375259
2531)
0,0,1()52
,53,1(,cos cos 2
12
121=++•-
=
⨯⋅=
><=n n n n n n θ………………（14分）
19.解：（Ⅰ）易知A )0,(a -, B )0,(a )0,(1c F -………………………………（1分）
1)()0,(11=+⋅-=⋅∴c a c a F
1
222==-∴b c a …………………………（3分）
又23=e
4312
2222
=-==∴a a a c e ，解得42=a 1
422
=+∴y x
所求椭圆方程为：…………………………（5分）
（Ⅱ）设
)
,(00y x P 则
)2,(00y x Q )
22(≠-≠x x 及
2
200
+=
∴x y k AQ …………（6分）
所以直线AQ 方程
)2(22:00
++=
x x y y ………………………………………（7分）
)2
8,
2(00
+∴x y M
)2
4,
2(00
+∴x y N ………………………………………（8分）
422224200
000
00
-=--+=∴x y x x y x y k QN
又点P 的坐标满足椭圆方程得到：442
02
0=+y x ，所以 2
020
44y x -=-
2
002
0002424
2y x y y x x y x k QN -
=-=
-=
∴…………………………………………（10分）
∴直线 QN 的方程：
)(2200
0x x y x y y --
=-………………………………（11分）
化简整理得到：4422
02
000
=+=+y x y y x x 即4200=+y y x x ………（12分）
所以 点O 到直线QN 的距离
2
442
2
0=+=
y x d
∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切…………………………………….（14分）
20．解:(Ⅰ) 因为213
1
22n n a S n n +=--+，
所以 ① 当1=n 时，121-=a ，则
11
2a =-
，……………………………….（1分）
② 当2n ≥时，21113
(1)(1)1
22n n a S n n --+=----+，…………………….（2分）
所以121n n a a n --=--，即12()1n n a n a n -+=+-，
所以11(2)2n n b b n -=≥，而
111
12b a =+=
，…………………….（3分） 所以数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，所以1()2n
n b =．…………….（4分）
（Ⅱ） 由(Ⅰ)得
2n n n
nb =
．
所以 ①
n n n n n T 221..........242322211432+-+++++=
-
②
1232221..........24232212--+-+++++
=n n n n n T …………….（6分）
②-①得：
n n n n
T 221......2121112-++++
=-…………….（7分）
n n n
n n n T 2222211211+-=--⎪
⎭⎫
⎝⎛-=
………………（8分）
（Ⅲ）由(Ⅰ)知
n
a n
n
-
=)
2
1
(n
c
n
=
∴
………………（9分）
=
(1)1111
11
(1)(1)1
n n
n n n n n n
++
==+=+-
+++，………………（11分）
所以
111111111
(1)(1)(1)(1)2014
122334201320142014 P=+-++-++-+++-=-
L
，故不超过P的最大整数为2013．………………………………………………..（14分）21、解：（Ⅰ）存在
1
,0-
=
=b
a使)
(x
f
y=为偶函数，………………（2分）
证明如下：此时：
x
x
x e
e
e
x
f+
+
=-
)
(，R
x∈
)
(
)
(x
f
e
e
e
x
f x
x
x=
+
+
=
-
∴-
-
，
)
(x
f
y=
∴为偶函数。

………………（4分）
（注：
)0
,0=
=b
a也可以）
（Ⅱ）
x
x e
e
x
g+
=-2
)
(
Θ=⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
+
≥
+
-
-
)2
(
)2
(
2
2
x
e
e
x
e
e
x
x
x
x
，………………（5分）
①当2
≥
x时x
x e
e
x
g+
=-2
)
(，0
)
(2
'>
+
=
∴-x
x e
e
x
g
)
(x
g
y=
∴在[)
+∞
,2上为增函数。

………………（6分）
②当2
<
x时x
x e
e
x
g+
=-2
)
(，
则
x
x e
e
x
g+
-
=-2
')
(，令0
)
('=
x
g得到1
=
x，
（ⅰ）当1
<
x时0
)
('<
x
g，)
(x
g
y=
∴在()1,∞
-上为减函数。

（ⅱ）当2
1<
≤x时0
)
('>
x
g
，
)
(x
g
y=
∴在()2,1上为增函数。

………………（8分）综上所述：
)
(x
g
y=的增区间为[)
+∞
,1，减区间为()1,∞
-。

………………（9分）
（Ⅲ）
1
)
(
)
(
2
1
<
-x
f
x
f
Θ
，
1
)
(
)
(
1
)
(
2
1
2
+
<
<
-
∴x
f
x
f
x
f
[][]1,0
1,0
∈
∀
∈
∃
∴x
x对
，
1
)
(
)
(
1
)
(
2
1
2
+
<
<
-x
f
x
f
x
f
成立。

即：⎩⎨
⎧>+<-max
1max 2min 1min 2)(1)()(1)(x f x f x f x f …………………………………………………（10分）
①当0≥b 时，)(2x f 为增函数或常数函数，∴当]1,0[∈x 时
b
e f x f f x f ====∴)1()(,
1)0()(2max 22min 2
0)(1>=-a
x e
x f Θ min 12min 2)(01)0(1)(x f f x f <=-=-∴恒成立。

时当21
≤a a e f x f -==11max 1)1()( a b e e ->+∴11
)1ln(1+->∴b e a
21
ln 2ln )1ln(=
>≥+e e b Θ 21)1ln(1<+-∴b e
⎥
⎦⎤ ⎝⎛
+-∈∴21),1ln(1b e a 时当21
>a a e f x f ==)0()(1max 1 a b e e >+∴1
)1ln(+<∴b e a
21
ln 2ln )1ln(=
>≥+e e b Θ
⎪
⎭⎫
⎝⎛+∈∴)1ln(,21b e a 综上所述：
()
)1ln(),1ln(1++-∈∴b
b e e a ……………………………………………（12分） ②当0<b 时，)(2x f 在[0，1]上为减函数，b
e f x f f x f ====∴)1()(,
1)0()(2min 22max 2
011,
0)(01=-<->=-e e e
x f b a
x Θ min 1min 2)(1)(x f x f <-∴恒成立。

时当21
≤a a
e f x f -==11max 1)1()( a e x f ->=+∴1max 221)( 2ln 1->∴a
⎥
⎦⎤ ⎝⎛
-∈∴21,2ln 1a 时当21
>a a
e f x f ==)0()(1max 1 a
e >∴2 2ln <∴a
⎪
⎭⎫ ⎝⎛∈∴2ln ,21a 综上所述：()2ln ,2ln 1-∈∴a ……………………………………………（13分）
由①②得当0≥b 时，
())1ln(),1ln(1++-∈b
b e e a ； 当0<b 时，()2ln ,2ln 1-∈a .……………………………………………（14分）。