2020-2021长沙市高中必修五数学上期末一模试题(及答案)

2020-2021长沙市高中必修五数学上期末一模试题(及答案)
一、选择题
1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则21
2
a a
b -的值是 ( ) A ．
12
B ．12
-
C ．
1
2或12- D ．
1
4
2．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当
0a >且1a ≠时，
1
1b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
正确的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年
B ．丙寅年
C ．丁卯年
D ．戊辰年
4．已知实数,x y 满足0{20
x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2 5．已知点(),P x y 是平面区域()
4
{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设
()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为M ,
若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）
A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．11,,35
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D ．1,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
6．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 2
2n n S T n +=，则7
7a b =（ ） A ．
41
26
B ．
2314
C ．
117 D ．
116
7．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3
cos 5
A =
，则sin B =（ ）
A ．
25
B ．
35
C ．
45
D ．
85
8．已知集合2A {t |t 40}=-≤，对于满足集合A 的所有实数t ，使不等式
2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )
A ．()(),13,∞∞-⋃+
B ．()(),13,∞∞--⋃+
C ．(),1∞--
D ．()3,∞+
9．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24
B ．48
C ．60
D ．84
10．设2z x y =+，其中,x y 满足20
00x y x y y k +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为
（ ） A ．9-
B ．12
C ．12-
D ．9
11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*
21n n S a n N =-∈，则5
a 等于（ ）
A ．16-
B ．16
C ．31
D ．32
12．在中，
，，
，则
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．若,a b ∈R ，0ab >，则4441
a b ab ++的最小值为___________.
14．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)
x y xy
++的最小值为_________.
15．关于x 的不等式a 34
≤
x 2
﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 16．已知实数x ，y 满足不等式组2202x y y y x
+-≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩
，则1y
x +的最大值为_______.
17．如图，在ABC V 中，,43
C BC π
=
=时，点D 在边AC 上， AD DB =，
DE AB ⊥，E 为垂足若22DE =cos A =__________
18．在数列{}n a 中，“()n 12n a n N*n
1n 1n 1=++⋯+∈+++，又n n n 1
1b a a +=，则数列
{}n b 的前n 项和n S 为______．
19．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）．
20．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积623S =+，则该三角形的外接圆半径是______
三、解答题
21．在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6
a B
b A π
=+，
③sin
sin 2
B C
b a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b
c ，6b c +=，26a =， . 求ABC ∆的面积.
22．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-． （1）求证：A B =；
（2）若3c =，3
cos 4
C =，求ABC ∆的周长．
23．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acos C ＋3asin C －b －c ＝0.
(1)求A ；
(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝
17，AD ＝1292
，求△ABC 的面积． 24．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为1
2
，且()3122123a a a -=+。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若8n b n =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较
12111
n T T T ++⋅⋅⋅+与12
n S 的大小. 25．在ABC ∆中，角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c
，且cos sin b
A B
=
. （1）求A ；
（2）若2a =，且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-，求ABC ∆的面积. 26．
已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；
（Ⅱ）是否存在*
,,m n k N ∈使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的
,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设3
2
n n n b a -=-
，若对于任意的*n N ∈，不等式
12111(1)(1)(1)n b b b ≤+++L m 的最大值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ， 则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.
∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ， 则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.
则
212211
22
a a
b --==. 本题选择A 选项.
2．B
解析：B
【解析】 【分析】 【详解】
∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,
∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,5
4
a b +>
，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则2
2
513(4)
=
=+-d ,则22a b +>1，故③正确；
当0a >且a ≠1时,
1
1
b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,5
1
194
114
b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故1
1b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故④正确.
∴正确命题的个数是2个. 故选B.
点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.
3．C
解析：C 【解析】
记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.
4．C
解析：C 【解析】
作出可行域，如图BAC ∠内部（含两边），作直线:20l y x -=，向上平移直线l ，
2z y x =-增加，当l 过点(1,1)A 时，2111z =⨯-=是最大值．故选C ．
5．C
解析：C 【解析】
试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()
4
{0
4y x y x m y ≤-≤≥-对应
的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()
4
{0
4y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则
()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m <时，由约束条件()
4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为
M OB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m m
B m m --，所以421m OB m =-u u u r ，由
42
21m m ≤-1135m -≤≤，所以1
03
m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
，故选C.
考点：简单的线性规划.
【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.
6．A
解析：A 【解析】
依题意，113
713113713132412226
132a a a S b b b T +⋅===+⋅.
7．A
解析：A 【解析】
试题分析：由3cos 5
A =
得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.
考点：同角关系式、正弦定理．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
由条件求出t 的范围，不等式221x tx t x +->-变形为2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理． 【详解】
由240t -≤得，22t -≤≤，113t ∴-≤-≤
不等式221x tx t x +->-恒成立，即不等式2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式
()()110x t x +-->恒成立，
∴只需{
10
10x t x +->->或{
10
10x t x +-<-<恒成立，
∴只需{
11x t
x >->或{
11x t
x <-<恒成立，113t -≤-≤Q
只需3x >或1x <-即可． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．
9．C
解析：C 【解析】
试题分析：∵11011101100000a a a d a a ⋅∴＞，＜，
＜，＞，＜， ∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=-
-=（），选C . 考点：1.等差数列的求和；2.数列的性质.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案. 【详解】
作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+， 联立20
x y y k
+=⎧⎨
=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则
()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，
联立0
x y y k
-=⎧⎨
=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，
max 24412z =⨯+=.
故选：B.
【点睛】
本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】
当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；
当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得
12n n a a -=.
所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则4
51216a =⨯=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，同时也要注意等差数
列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB .
【详解】 由内角和定理知，
所以，
即，
故选D. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，属于中档题.
二、填空题
13．4【解析】（前一个等号成立条件是后一个等号成立的条件是两个等号可以
同时取得则当且仅当时取等号）【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式（1）当且仅当时取等号；（2）当且仅
解析：4 【解析】
44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是
222a b =，后一个等号成立的条件是1
2
ab =
，两个等号可以同时取得，则当且仅当
2224
a b =
=
时取等号）. 【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）
22
,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，a b +≥ ，
当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
14．9【解析】【分析】将分式展开利用基本不等式求解即可【详解】又x ＋2y ＝4即当且仅当等号成立故原式故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值考查等价变换思想与求解能力注意等号成立条件
解析：9 【解析】 【分析】
将分式展开，利用基本不等式求解即可 【详解】
(4)(2)8241616
1x y xy x y xy xy xy xy xy
++++++===+
又x ＋2y ＝4≥即2xy ≤，当且仅当2,1x y ==等号成立，故原式9≥ 故填9 【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件
15．4【解析】【分析】设f （x ）x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x 轴平行的直线y ＝a 和y ＝b 如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有
解析：4 【解析】 【分析】 设f （x ）34
=
x 2
﹣3x +4，其函数图象是抛物线，画两条与x 轴平行的直线y ＝a 和y ＝b ，如
果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y ＝a 应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a 小于或等于抛物线的最小值且a 与b 所对应的函数值相等且都等于b ，利用f （b ）＝b 求出b 的值，由抛物线的对称轴求出a 的值，从而求出结果． 【详解】
解：画出函数f （x ）＝
34x 2﹣3x +4＝3
4
（x －2）2＋1的图象，如图，
可得f （x ）min ＝f （2）＝1， 由图象可知，若a >1，则不等式a ≤
34
x 2
－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件， 因此a ≤1，此时a ≤x 2－3x ＋4恒成立． 又不等式a ≤
34
x 2
－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b ]， 所以a ≤1<b ，f （a ）＝f （b ）＝b ，可得2
23344
3344
a a
b b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
由
34
b 2
－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0， 解得b ＝4
3
或b ＝4. 当b ＝
43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83
， 不符合题意，舍去， 所以b ＝4，此时a ＝0， 所以b －a ＝4. 故答案为：4 【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题．
16．2【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域根据目标函数的几何意义结合图象即可求解得到答案【详解】由题意作出不等式组表示的平面区域如图所示又由即表示平面区域内任一点与点之间连线的斜率显然直线的斜率最
解析：2
【解析】 【分析】
作出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图象，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，作出不等式组表示的平面区域，如图所示， 又由
()011y y x x -=+--，即1
y x +表示平面区域内任一点(),x y 与点()1,0D -之间连线的斜率，
显然直线AD 的斜率最大，
又由2202
x y y +-=⎧⎨=⎩，解得()0,2A ，则02
210AD k -=
=--， 所以1
y x +的最大值为2.
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
17．【解析】在△ABC 中
∵DE⊥ABDE=∴AD=∴BD=AD=∵AD=BD∴A=∠ABD∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A 在△BCD 中由正弦定理得即整理得cosA= 解析：
64
【解析】
在△ABC 中，∵DE ⊥AB ，DE =22，∴AD =2
sin A
, ∴BD =AD 22
． ∵AD =BD ，∴A =∠ABD ， ∴∠BDC =∠A +∠ABD =2∠A ， 在△BCD 中，由正弦定理得
sin sin BD BC
C BDC
=
∠ ，
4
sin2
2
A
=，整理得cosA
18．【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得可得由数列的裂项相消求和化简可得所求和【详解】解：则可得数列的前n项和故答案为【点睛】本题考查数列的前项和首先运用数列的裂项法对项进行分解然后重新组合最终达
解析：
4n
n1
+
【解析】
【分析】
运用等差数列的求和公式可得()
n
11n
a n n1
n122
=⋅+=
+
，可得
()
n
n n1
1411
b4
a a n n1n n1
+
⎛⎫
===-
⎪
++
⎝⎭
，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】
解：()
n
12n11n
a n n1
n1n1n1n122
=++⋯+=⋅+=
++++
，
则()
n
n n1
1411
b4
a a n n1n n1
+
⎛⎫
===-
⎪
++
⎝⎭
，
可得数列{}n b的前n项和n
1111111
S41
22334n n1
⎛⎫
=-+-+-+⋯+-
⎪
+
⎝⎭
14n
41
n1n1
⎛⎫
=-=
⎪
++
⎝⎭
．
故答案为
4n
n1
+
．
【点睛】
本题考查数列的前n项和，首先运用数列的裂项法对项进行分解，然后重新组合，最终达到求和目的，考查化简整理的运算能力，属于基础题．
19．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题
解析：1
-
【解析】
【分析】
根据两个和的关系得到公差条件，解得结果.
【详解】
由题意可知，10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-， 又1234510a a a a a ++++=，两式相减得2525d =-，1d =-. 【点睛】
本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
20．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应
解析：【解析】 【分析】
设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21
sin 2sin sin sin 2
S ab C R A B C ==解方程即可得解. 【详解】
由题：1sin sin 75sin(4530)222B =︒=︒+︒=
+=
设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：
211
sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22
S ab C R A R B C R A B C =
=⋅⋅=
即2622R ⨯+=，
解得：R =
故答案为：【点睛】
此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.
三、解答题
21．见解析 【解析】 【分析】
若选①：利用正弦定理可得(a b)()(c b)a b c +-=-,即222b c a bc +-=,再利用余弦定理求得cos A ,进而求得bc ,从而求得面积；
若选②：利用正弦定理可得sin sin sin cos()6
A B B A π
=+
,化简可得tan 3
A =
,即6
A π
=
,利用余弦定理求得bc ,从而求得面积；
若选③：根据正弦定理得sin sin sin sin 2B C
B A B +=,整理可得3
A π=,进而求得面积 【详解】 解：若选①：
由正弦定理得(a b)()(c b)a b c +-=-， 即222b c a bc +-=，
所以2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===，
因为(0,)A π∈，所以3
A π
=
.
又2
2
2
2
()3a b c bc b c bc =+-=+-，
a =6
b
c +=，所以4bc =，
所以11sin 4sin 223
ABC S bc A π
∆==⨯⨯= 若选②：
由正弦定理得sin sin sin cos()6
A B B A π
=+
.
因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6
A A π
=+，
化简得1
sin sin 2
A A A =-，
即tan A =
，因为0A π<<，所以6A π=.
又因为2
2
2
2cos
6
a b c bc π
=+-，
所以2222
bc =，即24bc =-
所以111
sin (246222
ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- 若选③：
由正弦定理得sin sin
sin sin 2
B C
B A B +=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以sin sin 2
B C
A +=，又因为
B
C A +=π-， 所以cos
2sin cos 222
A A A =，
因为0A π<<，022A π<
<，所以cos 02
A
≠， 1sin
22A ∴=，26A π
=，所以3
A π=. 又2
2
2
2
()3a b c bc b c bc =+-=+-，
a =6
b
c +=，所以4bc =，
所以11sin 4sin 223
ABC S bc A π
∆==⨯⨯= 【点睛】
本题考查正弦定理与余弦定理处理三角形中的边角关系,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力
22．（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】
（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求in 0()s A B -=，可得
()A B k k Z π-=∈，结合范围A ，(0,)B π∈，即可得证A B =．
（2）由（1）可得a b =，进而根据余弦定理可求a b ==ABC ∆的周长．
【详解】
（1）sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-Q ，
∴
sin sin sin sin cos cos cos cos b B C a A C b B a A C C
-=-，
sin sin cos cos sin sin cos cos b B C b B C a A C a A C ∴-=-， cos()cos()a A C b B C ∴+=+，
又A B C π++=Q ，
cos cos a B b A ∴-=-，sin cos sin cos A B B A ∴-=-， sin()0A B ∴-=，()A B k k Z π∴-=∈，
又A Q ，(0,)B π∈，A B ∴=． （2）Q 由（1）可知A B =，可得a b =，
又c =
Q 3cos 4
C =
，
∴2
232342a a
-==，
226a b ∴==，可得a b ==
ABC ∆∴的周长a b c ++=
【点睛】
本题考查三角函数恒等变换的应用、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意三角函数求值
时，要先写出角的范围． 23．（1）A ＝60°；（2
）【解析】 【分析】
(1)利用正弦定理，把边化为角，结合辅助角公式可求；
(2)利用三角形内角关系求出sin C ，结合正弦定理求出,a c 关系，利用余弦定理可求,a c . 【详解】
(1)acos C
－b －c ＝0，由正弦定理得sin Acos C
＝sin B ＋sin C ，
即sin Acos C
sin Asin C ＝sin(A ＋C)＋sin C ，
又
sin A －cos A ＝1，所以sin(A －30°)＝12
. 在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°. (2)在△ABC 中，因为cos B ＝
17，所以sin B
＝7
. 所以sin C ＝sin(A ＋B)
17＋12
. 由正弦定理得，
sin 7
sin 5
a A c C ==. 设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BDcos B， 即
1294＝25x 2＋14×49x 2
－2×5x×12×7x×17
，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5， 故S △ABC ＝1
2
acsin B ＝
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，合理选择公式是求解的关键. 24．（1）12n n
a =；（2）1211112n n
S T T T ++⋅⋅⋅+< 【解析】 【分析】
(1)根据数列{}n a 的首项为
1
2
,且()3122123a a a -=+,可得关于1a 和公比q 的不等式组,解出1a 和q 可得数列{}n a 的通项公式;
(2)根据条件分别利用等比数列和等差数列的前n 项和公式,求出{}n a 的前n 项和为n S ,{}
n b 的前n 项和n T ,再用列项相消法求出12111n T T T ++⋅⋅⋅+,然后比较12111n T T T ++⋅⋅⋅+与12
n S 的大小即可.
【详解】
解:(1)由题意,设1
1(0)n n a a q q -=>,则()
12111122123a a q a a q ⎧=⎪⎨
⎪-=+⎩
, 解得1
2
q =
或2q =-(舍), ∴1
111222n n
n a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
,即12n n a =. (2)由(1)知12n n a =,∴11122111212n
n n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-
. ∵8n b n =,∴2
44n T n n =+,
∴2111114441n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
, ∴
121111111111111142231414
n T T T n n n ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 又∵
11111111112112224242n n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11
102
n --≥, 1124
n S ∴≥ ∴
1211112
n n S T T T ++⋅⋅⋅+<. 【点睛】
本题考查了数列通项公式的求法,等差数列的前n 项和公式,等比数列的前n 项和公式和裂项相消法求数列的前n 项和,考查了方程思想和计算能力,属中档题. 25．(1) 6
A π
=
【解析】 【分析】
（1
）根据正弦定理得到tan A =
，计算得到答案. （2）化简得到()cos cos B C C +=-，即A C =，再计算得到2a c ==，代入面积公式得到答案. 【详解】 （1
）∵
cos sin sin b a A B A ==
，∴tan 3
A =
.∵()0,A π∈，∴6A π=.
（2）∵()cos 2sin sin cos B C B C C -=- ∴cos cos sin sin 2sin sin cos B C B C B C C +=-， ∴()cos cos B C C +=-，即cos cos A C =，即A C =. ∵6
A π
=
，∴23
B π
=
.∵2a =，∴2a c ==.
∴11sin 2222ABC S ac B ∆==⨯⨯= 【点睛】
本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力. 26．（1）1
(51)2
n -（2）不存在（3）8 【解析】 【分析】 【详解】
（Ⅰ）11110(21)(2)a a a =++，得2
112520a a -+=，解得12a =，或112
a =
． 由于11a >，所以12a =．
因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以2
10252n n n S a a =++. 故22
1111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，
整理，得22
112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=．
因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152
n n a a +-=． 则数列{}n a 是以2为首项，5
2
为公差的等差数列. 所以51
2(1)(51)22
n a n n =+
-=-.………………………………………………5分 （Ⅱ）满足条件的正整数,,m n k 不存在，证明如下：
假设存在*
,,m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=，
则1
5151(51)2
m n k -+-=
-． 整理，得3
225
m n k +-=
， ① 显然，左边为整数，所以①式不成立．
故满足条件的正整数,,m n k 不存在． ……………………8分 （Ⅲ）313
(51)21222
n n n n b a n n --=-
=--=+，
12111(1)(1)(1)n b b b ≤+++L
31
≤
3121231111n n b b b b b b b b ++++⋅⋅L
4682235721n n +=
⋅⋅⋅⋅+L ．
设46822()35721n f n n +=
⋅⋅⋅⋅+L
则(1)()35721f n f n n +=⋅⋅⋅⋅+L
2423n n +=
=+
24
124
n n +=
>
=
=
=+. 所以(1)()f n f n +>，即当n 增大时，()f n 也增大．
要使不等式
12111(1)(1)(1)31n b b b ≤+++L 对于任意的*n N ∈
恒成立，只需min ()31
f n ≤即可．
因为min 4()(1)3f n f ===
≤
. 即4311244
8151515
m ⨯≤
==. 所以，正整数m 的最大值为8． ………………………………………14分。