高中数学选修导数及其应用检测卷(学霸使用)

高中数学选修导数及其应用检测卷（学霸使用）
一、选择题（共12小题；共48分） 1. 下列求导运算正确的是 A. x +1
x ʹ=1+1
x
B. log 2x ʹ=
1
x ln 2
C. 3x ʹ=3x log 3e
D. x 2cos x ʹ=−2x sin x
2. 已知 y =f x 是 0,+∞ 上的可导函数，满足 x −1 2f x +xfʹ x >0 x ≠1 恒成立，f 1 =2，若曲线 f x 在点 1,2 处的切线为 y =g x ，且 g a =2016，则 a 等于
A. −500.5
B. −501.5
C. −502.5
D. −503.5
3. 已知函数 f x =2
e x +1+sin x ，其导函数为 fʹ x ，则
f 2016 +f −2016 +fʹ 2016 −fʹ −2016 的值为 A. 0
B. 2
C. 2016
D. −2016
4. 设 fʹ x 是函数 f x 的导函数，将 y =f x 和 y =fʹ x 的图象画在同一个直角坐标系中，不可
能正确的是
A. B.
C. D.
5. 函数 y = 2+x 3 2 的导数为
A. 6x 5+12x 2
B. 4+2x 3
C. 2 2+x 3 2
D. 2 2+x 3 ⋅3x
6. 求曲线 y =x 2 与直线 y =x 所围成的封闭图形的面积，其中正确的是
A. S =∫01
x 2−x d x B. S =∫01
x −x 2 d x C. S =∫01
y 2−y d y
D. S =∫01
y − y d y
7. 某公司生产某种产品，固定成本为 20000 元，每生产一件产品成本增加 100 元，已知总收益 R
与年产量 x 的关系为 R x = 800x −1
2x 2
,0≤x ≤80080000.x >800
总利润最大时，每年生产的产品产量是
A. 200
B. 400
C. 500
D. 700
8. 由曲线f x=x与y轴及直线y=m m>0围成的图形的面积为8
3
，则m的值为
A. 2
B. 3
C. 1
D. 8
9. 已知y=f x是可导函数，如图，直线y=kx+2是曲线y=f x在x=3处的切线，令
g x=xf x，gʹx是g x的导函数，则gʹ3=
A. −1
B. 0
C. 2
D. 4
10. 设函数f x=x2−2x+1+a ln x有两个极值点x1，x2，且x1<x2，则f x2的取值范围是
A. 0,1+2ln2
4B. 1−2ln2
4
,0
C. 1+2ln2
4,+∞ D. −∞,1−2ln2
4
11. 已知f x是定义在0,+∞上的单调函数，且对任意的x∈0,+∞，都有f f x−log2x=3，
则方程f x−fʹx=2的解所在的区间是
A. 0,1
2B. 1
2
,1 C. 1,2 D. 2,3
12. 已知定义在R上的奇函数f x，其导函数为fʹx，对任意正实数x满足xfʹx>2f−x，若
g x=x2f x，则不等式g x<g1−3x的解集是
A. 1
4,+∞ B. −∞,1
4
C. 0,1
4D. −∞,1
4
∪1
4
,+∞
二、填空题（共8小题；共32分）
13. 已知函数f x的导函数y=fʹx的图象如图所示，则函数f x的单调减区间是．
14. 函数f x=log22−x的导数为．
15. 已知f x为一次函数，且f x=x+2∫
1f t d t，则f x=．
16. 已知函数f x=−1
2
x2+4x−3ln x在t,t+1上不单调，那么t的取值范围是．
17. 已知函数f x=2ln3x+8x，则lim
Δx→0f1−2Δx−f1
Δx
的值为．
18. 若函数f x=1
x cos x，则fπ+fʹπ
2
=．
19. 若函数f x=x n+1n∈N∗的图象与直线x=1交于点P，且在点P处的切线与x轴交点的的
横坐标为x n，则log2016x1+log2016x2+log2016x3+⋯+log2016x2015的值为．
20. 若定义在R上的函数f x满足f x+fʹx>1，f0=4，则不等式f x>3
e x
+1（e为自然对数的底数）的解集为．
三、解答题（共6小题；共70分）
21. 设计一副宣传画，要求画面的面积为4840 cm2，画面的宽与高之比为λλ<1，画面上、下要
留8 cm的空白，左右各留5 cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用的
纸张面积最小?如果要求λ∈2
3,3
4
，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?
22. 求由曲线f x=−x+1,x≤2,
1
2
x2−3,x>2.与直线x=0，x=3，y=0所围成的平面图形的面积．
23. 已知函数f x=x3−ax+1．
（1）若函数f x在实数集R上单调递增，求a的取值范围；
（2）若函数f x在−1,1内单调递减，求a的取值范围；
（3）设函数g x=−x3+a2x2+3ax−2，令函数 x=f x−g x，是否存在实数a，使函数 x在0,1内单调递减，在1,+∞内单调递增，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
24. 已知函数 x=ln x+1
x
．
（1）函数g x= 2x+m，若x=1是g x的极值点，求m的值并讨论g x的单调性；
（2）函数φx= x−1
x
+ax2−2x有两个不同的极值点，其极小值为M，试比较2M与−3的大小关系，并说明理由．
25. 已知函数f x=ln x−a x−1
x+1
．
（1）若函数f x在0,+∞上为单调增函数，求a的取值范围；
（2）若斜率为k的直线与y=ln x的图象交于A，B两点，点M x0,y0为线段AB的中点，求证：kx0>1．
26. 已知，函数f x=2x−1
x
−a ln x a∈R．
（1）当a=3时，求f x的单调区间；
（2）设g x=f x−x+2a ln x，且g x有两个极值点x1，x2，其中x1<x2，若g x1−
g x2>t恒成立，求t的取值范围．
答案
第一部分 1. B
【解析】因为 x +1
x ʹ=xʹ+ 1
x ʹ=1−1
x 2，所以A 错；
因为 log 2x ʹ=
1x ln 2
，所以B 对；
因为 3x ʹ=3x ln3，所以C 错；
因为 x 2cos x ʹ=2x cos x +x 2 −sin x =2x cos x −x 2sin x ，所以D 错． 2. C
【解析】令 F x =x 2f x ，
由 x −1 2f x +xfʹ x >0 x ≠1 ，可得
x >1 时，2f x +xfʹ x >0 即 2xf x +x 2fʹ x >0，即 F x 递增； 当 0<x <1 时，2f x +xfʹ x <0 即 2xf x +x 2fʹ x <0，即 F x 递减． 即有 x =1 处为极值点，即为 Fʹ 1 =0，即有 2f 1 +fʹ 1 =0， 由 f 1 =2，可得 fʹ 1 =−4，
曲线 f x 在点 1,2 处的切线为 y −2=−4 x −1 ， 即有 g x =6−4x ，
由 g a =2016，即有 6−4a =2016，解得 a =−502.5． 3. B
【解析】因为 f x =2
e x +1+sin x ，
所以 fʹ x =−2e x e +1+cos x ， f x +f −x =
2e x +1
+sin x +
2e −x +1+sin −x =2，
所以 fʹ x −fʹ −x =−2e x
e +1 +cos x +2e −x
e +1 −cos −x =0，
所以 f 2016 +f −2016 +fʹ 2016 −fʹ −2016 =2．
4. D
5. A
6. B
【解析】依题意，在同一坐标系下画出曲线 y =x 2 与直线 y =x 的图象（图略），注意到它
们的交点坐标分别为 0,0 与 1,1 ，结合图形及定积分的几何意义可知，相应的图形的面积可用定积分表示为 ∫01
x −x 2 d x ． 7. D 8. A
【解析】S =
∫0m 2
m
− x d x = mx −2
3x 3
2
0m 2
=m 3
−23m 3=83
，解得 m =2． 9. B
【解析】由题图可知曲线 y =f x 在 x =3 处切线的斜率等于 −13
，
所以 fʹ 3 =−1
3， 因为 g x =xf x ， 所以 gʹ x =f x +xfʹ x ，
所以 gʹ 3 =f 3 +3fʹ 3 ，又由题图可知 f 3 =1， 所以 gʹ 3 =1+3× −1
3 =0．
10. B
【解析】由已知得：f x 的定义域为 x >0，且 fʹ x =
2x 2−2x +a
x
，
因为 f x 有两个极值点 x 1，x 2，
所以 x 1，x 2 是方程 2x 2−2x +a =0 的两根，
又因为 0<x 1<x 2，且 x 1+x 2=1，所以，1
2
<x 2<1，a =2x 2−2x 22
，
所以 f x 2 = x 2−1 2+ 2x 2−2x 22 ln x 2，
令 g t = t −1 2+ 2t −2t 2 ln t （其中 1
2
<t <1），
则 gʹ t =2 1−2t ln t >0， 故 g t 递增，
所以 g 1
2 <g t <g 1 ，
而 g 1
2
=
1−2ln 24
，g 1 =0，
所以 f x 2 ∈
1−2ln 2
4
,0 ．
11. C 【解析】根据题意，对任意的 x ∈ 0,+∞ ，都有 f f x −log 2x =3， 又由 f x 是定义在 0,+∞ 上的单调函数， 则 f x −log 2x 为定值，
设 t =f x −log 2x ，则 f x =log 2x +t ， 又由 f t =3，即 log 2t +t =3，解可得，t =2； 则 f x =log 2x +2，fʹ x =1
ln 2⋅x ，
将 f x =log 2x +2，fʹ x =1ln 2⋅x 代入 f x −fʹ x =2， 可得 log 2x +2−1
ln 2⋅x =2， 即 log 2x −1
ln 2⋅x =0， 令 x =log 2x −
1ln 2⋅x ，
分析易得 1 =−1ln 2<0， 2 =1−
12ln 2
>0，
则 x =log 2x −
1
ln 2⋅x
的零点在 1,2 之间，
则方程 log 2x −1
ln 2⋅x =0，即 f x −fʹ x =2 的根在 1,2 上． 12. B 第二部分
13. −∞,−2 ， 2,+∞ 14. −1
2−x ln2
15. x −1
【解析】因为 f x 为一次函数，且 f x =x +2∫01
f t d t ， 所以设 f x =x +b ， 则 b =
2∫01 x
+b d x =2 12x 2+bx 01
=2 1
2
+b ， 解得：b =−1， 所以 f x =x −1． 16. 0,1 ∪ 2,3
【解析】函数f x的定义域为0,+∞，由题意知fʹx=−x+4−3
x =−x2+4x−3
x
，由fʹx=0，得函
数f x的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间t,t+1内，函数f x在区间t,t+1上就不单调．由t<1<t+1或t<3<t+1，得0<t<1或2<t<3．
17. −20
18. −3
π
【解析】f x的定义域为x x≠0，fʹx=−1
x2cos x−1
x
sin x，
所以fπ=1
πcosπ=−1
π
，fʹπ
2
=−2
π
，
所以fπ+fʹπ
2=−3
π
．
19. −1
【解析】将x=1代入函数式得f1=1n+1=1，即P1,1，对函数求导得fʹx=n+1x n，则
fʹ1=n+1×1n=n+1，则在点P1,1处的切线方程为y−1=n+1x−1，y=n+1x−n．令y=0，得x n=n
n+1
，所以
log2016x1+log2016x2+log2016x3+⋯+log2016x2015
=log2016x1⋅x2⋅x3⋅ ⋯ ⋅x2015
=log20161
×
2
×
3
×⋯×
2015
=log2016
1 2016
=−1.
20. 0,+∞
【解析】不等式f x>3
e
+1可化为e x f x−e x>3．
设g x=e x f x−e x，x∈R，则gʹx=e x f x+e x fʹx−e x=e x f x+fʹx−1>0，所以g x在定义域上单调递增．
而e x f x−e x>3，即g x>3．
又因为f0=4，
所以g0=e0f0−e0=3．
当x>0时，g x>g0=3，
所以原不等式的解集为0,+∞．
第三部分
21. 设画面的高为x cm，宽为λx cm，则λx2=4840，故x=10
λ
，
所以纸张的面积为S=x+16λx+10=λx2+16λ+10x+160，
将x=10
λS=5000+44108λ+
λ
，
则Sʹ=444
λ2 λ3=4410
λ
4−5
2λ
，
令Sʹ=0，得λ=5
8
，它是唯一的极值点，
所以当λ=5
8
时，S取得最小值，
即当高为88 cm，宽为55 cm时，能使宣传画所用的纸张面积最小.
当 λ∈ 23,3
4
时，Sʹ>0，
所以 S =5000+44 10 8 λ λ
在 λ∈ 23,3
4 时为增函数，
所以当 λ=2
3 时，能使宣传画所用的纸张面积最小．
22. 函数 f x = −x +1,x ≤2,
12x 2
−3,x >2. 的图象与 x 轴相交于点 1,0 和点 6,0 ，因此所求图形由三个部分构成，如图所示.
由于在区间 1, 6 内图形在 x 轴的下方，所以要注意定积分的值与图形面积的关，即实际上积分区间分为四个区间 0,1 ， 1,2 ， 2, 6 ， 6,3 ．
被积函数依次为 −x +1，−x +1，1
2
x 2−3，1
2
x 2−3．
所以所求面积
S
=∫12 −x +1 d x −∫12 −x +1 d x −∫2 6 1
x 2−3 d x +∫ 63 1x 2−3 d x
= −12x 2+x 01− −12x 2+x 12− 16x 3−3x 2
6+ 16x 3−3x
63=4 6−49
6
.
23. （1） fʹ x =3x 2−a ，
因为函数 f x 在实数集 R 上单调递增，
所以 fʹ x =3x 2−a ≥0，即 a ≤3x 2 在 R 上恒成立，得 a ≤0． （2） fʹ x =3x 2−a ，
因为函数 f x 在 −1,1 内单调涕减，
所以 fʹ x =3x 2−a ≤0 即 a ≥3x 2 在 −1,1 内恒成立，得 a ≥3． （3） 由题意 x =2x 3−a 2x 2−4ax +3， ʹ x =6x 2−2a 2x −4a ，
设存在实数 a 满足条件，则当 x ∈ 0,1 时， ʹ x <0，当 x ∈ 1,+∞ 时， ʹ x >0，由 ʹ x 的连续性可知 ʹ 1 =0，
即 a 2+2a −3=0，解之得 a =1 或 a =−3．
当 a =1 时， ʹ x =6x 2−2x −4=2 x −1 3x +2 ，若 x ∈ 0,1 ，则 ʹ x <0， 若 x ∈ 1,+∞ ，则 ʹ x >0 符合题意，
当 a =−3 时， ʹ x =6x 2−18x +12=6 x −1 x −2 ， 当 x ∈ 0,1 时， ʹ x >0 不符合题意， 综上所述，存在 a
=1 满足题意．
24. （1）g x=ln2x+m+1
2x+m x>−m
2
，gʹx=2
2x+m
−2
2x+m
=22x+m−1
2x+m
，
若x=1是g x的极值点，则gʹ1=22+m−1
2+m2
=0，解得：m=−1，故g x=ln2x−1+
1 2x−1 x>1
2
，gʹx=4x−1
2x−12
，
令gʹx>0，解得：x>1，令gʹx<0，解得：1
2<x<1，故g x在1
2
,1递减，在1,+∞递增．
（2）φx= x−1
x +ax2−2x=ax2−2x+ln x x>0，φʹx=2ax−2+1
x
=2ax2−2x+1
x
x>
0，
因为φx有两个不同的极值点，
所以2ax2−2x+1=0在0,+∞有两个不同的实根．设p x=2ax2−2x+1=0，则Δ>0,
1
a
>0,
1
2a
>0,
即
4−8a>0,
a>0,即有0<a<1
2．
设p x在0,+∞的两根x1，x2且x1<x2，
x0,x1x1x1,x2x2x2,+∞
φʹx+0−0+
φx递增极大值递减极小值递增所以φx的极小值为M=φx2=ax22−2x2+ln x2，
又p x=0在0,+∞的两根为x1，x2，
所以2ax22−2x2+1=0，
所以
φx极小值=M
=φx2
=ax22−2x2+ln x2
=x2−1
−2x2+ln x2
=−1
+ln x2−x2,
所以2M=−1+2ln x2−2x2，
因为x2=1+1−2a
2a 0<a<1
2
，
所以x2>1，令v x=−1+2ln x−2x，vʹx=2
x
−2，所以x>1时，vʹx<0，v x在1,+∞递减，
所以x>1时，v x=−1+2ln x−2x<v1=−3，
所以2M<−3．
25. （1）f x=ln x−a x−1
x+1
x>0，定义域为0,+∞，
fʹx=1
x −a x+1−a x−1
x+1
=x2+2−2a x+1
x x+1
．
因为函数f x在0,+∞上为单调增函数，所以fʹx≥0在0,+∞上恒成立，
即x2+2−2a x+1≥0在0,+∞上恒成立，
即a≤1
2 x+1
x
+1在0,+∞上恒成立，
令g x=1
2 x+1
x
+1,x∈0,+∞，则a≤g x min，
gʹx=1
21−1
x2
=x+1x−1
2x2
，
令gʹx>0，得x>1，
令gʹx<0，得0<x<1，
所以g x在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以g x min=g1=2，
所以a≤2．
（2）设点A m,ln m，B n,ln n，不妨设m>n>0，则m
n
>1．
要证kx0>1，即m+n
2⋅ln m−ln n
m−n
>1，
即证m−n
m+n <ln m−ln n
2
．
只需证m
n
−1
m
n
+1
<ln
m
n
2
，
即证ln m
n >2
m
n
−1
m
n
+1
．
只需证ln m
n −2
m
n
−1
m
n
+1
>0．
设 x=ln x−2x−1
x+1
．
由（Ⅰ）令a=2知 x在1,+∞上是单调增函数，
又m
n
>1，
所以 m
n
> 1=0．
即ln m
n −2
m
n
−1
m+1
>0，
即m−n
m+n <ln m−ln n
2
．
所以不等式kx0>1成立．
26. （1）易求f x的定义域为0,+∞，
当a=3时，f x=2x−1
x −3ln x，fʹx=2+1
x2
−3
x
=2x2−3x+1
x2
，
令fʹx>0得，0<x<1
2
或x>1，
故f x的单调递增区间是0,1
2和1,+∞，单调递减区间是1
2
,1．
（2）由已知得g x=x−1
x
+a ln x，x∈0,+∞，
gʹx=1+1
x2+a
x
=x2+ax+1
x2
，
令gʹx=0，得x2+ax+1=0，因为g x有两个极值点x1，x2，
所以a2−4>0,
x1+x2=−a>0,
x1⋅x2=1>0,
所以
a<−2,
x2=1
x1
,
a=−x1+x2,
又因为x1<x2，所以x1∈0,1，所以
g x1−g x2=g x1−g 1 1
=x1−1
x1
+a ln x1−
1
x1
−x1+a ln
1
x1
=2 x1−1
x1
+2a ln x1
=2 x1−1
1
−2 x1+
1
1
ln x1,
设 x=2 x−1
x −2 x+1
x
ln x，x∈0,1，
因为
ʹx=21+1
x2
−21−
1
x2
ln x+ x+
1
x
1
x
=21+x1−x ln x
x2
,
当x∈0,1时，恒有 ʹx<0，所以 x在x∈0,1上单调递减，所以 x> 1=0，故g x1−g x2>0，
又因为g x1−g x2>t恒成立，所以t≤0．。