2021-2022高二数学人教A版选修2-2素材链接：1.3.2 函数的极值与导数 Word版含答案

1.3.2函数的极值与导数
教学建议
1.教材分析
本节让同学结合实际,探究函数的极值与导数之间的关系,并用大量的函数图象,让同学直观感受函数在某些特殊点(极值点)的函数值与四周点函数值大小的关系,以及在这些点四周函数的增减状况和导数值的关系.本节的重点是求函数极值的方法,难点是函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.主要问题及教学建议
(1)从函数的单调性到极值.
建议老师利用实例并结合大量的函数图象,让同学观看,并感受在导数为0的点的两侧导数值与函数增减性的关系,并具体说明,给出极大值和微小值的概念.要强调极值反映的是函数在某点四周的性质,是局部性质,而且极大值不肯定大于微小值.
(2)函数极值的求法.
建议老师在同学把握极值的概念的基础上,建立极值和导数的联系,通过例子讲解归纳出求函数极值的方法和步骤.
备选习题
1.假如函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列推断:
(1)函数y=f(x)在区间(-3,-1
2
)内单调递增;
(2)函数y=f(x)在区间(-1
2
,3)内单调递减;
(3)函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;
(4)当x=2时,函数y=f(x)有微小值;
(5)当x=-1
2
时,函数y=f(x)有极大值.
则上述推断中正确的是.
解析:由导函数的图象知:
当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(-2,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(2,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
在x=-2时,f(x)取微小值;
在x=2时,f(x)取极大值;
在x=4时,f(x)取微小值;
所以只有(3)正确.
答案:(3)
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值,并且它的图象与直线y=-3x+3在点(1,0)处相切,求a,b,c的值.
解:由于f'(x)=3x2+2ax+b,
所以f'(-2)=3×(-2)2+2a(-2)+b=0.
所以12-4a+b=0.
又f'(1)=3+2a+b=-3,所以a=1,b=-8.
又f(x)过(1,0)点,所以13+a×12+b×1+c=0,所以c=6.
3.已知a∈R,争辩函数f(x)=e x(x2+ax+a+1)的极值点的个数.
解:f'(x)=e x(x2+ax+a+1)+e x(2x+a)=e x[x2+(a+2)x+(2a+1)].
令f'(x)=0,得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.
(1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0,即a<0或a>4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x1,x2,不妨设x1<x2,
∴f'(x)=e x(x-x1)(x-x2).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化状况如下表:
即此时f(x)有两个极值点.
(2)当Δ=0,即a=0或a=4时,
方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2, ∴f'(x)=e x(x-x1)2.
∴当x<x1时,f'(x)>0;当x>x1时,f'(x)>0.
∴f(x)无极值点.
(3)当Δ<0,即0<a<4时,
x2+(a+2)x+(2a+1)>0,
f'(x)=e x[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,
∴f(x)为增函数,此时f(x)无极值点.
综上所述,当a>4或a<0时,f(x)有两个极值点;
当0≤a≤4时,f(x)无极值点.。