第十一章 矩阵与线性方程组

c ij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a is b sj
a
k 1
s
ik
b kj , ( i 1, 2, , m ; j 1, 2, , n )
需 要 强 调 的 是 , 只 有 当 A的 列 数 等 于 B的 行 数 时 , A B 才 有 意 义 .
ka 1 1 ka 21 kA ka m 1
ka 1 2 ka 2 2 ka m 2

ka 1 n ka 2 n ka m n
容 易 证 明 , 数 乘 矩 阵 有 以 下 性 质 ( k , h为 常 数 ) :
(1) k ( A B ) k A k B ( 2 )( k h ) A k A h A ; (3)( k h ) A k ( h A ) ( 4 )1 A A , ( 1) A A .
第一节 矩阵的概念及运算
1.矩阵的概念
在 现 实 生 活 中, 经 常 看 到 一 些 数 表 ,例 如 将 某 种 物 资 从 三 个 产 地 A1 , A 2 , A3 调 运 到 四 个 销 售 地 B1 , B 2 , B 3 , B 4的 一 个 调 运 方 案 , 见 表 10-1.
表11-1 调运方案 /t
例2 设 1 A 1 0 计 算 AB. 0 1 5 1 3 1 0 2 1 0 ,B 3 4 1 3 2 1 2
解 A B是 3 2矩 阵 , 且
1 AB 1 0 0 1 5 1 3 1 2 0 4 0 1 3 1 3 2 1 2
3 例1 已知A 4 6
2 5 5 ,B 2 7 3
1 1 4 .求 : ( A B ); A B . 2 2
解
3 1 1 (A B) 4 2 2 6
2 5 5 2 7 3
1 3 0 2 ( 1) 1 2 2 ( 1) 3 1 2 3 1 0 2 0 3 5 2 ( 1) 1 4 2
1 0 , B ( 2, 3, 5,1) 例 3 设 A , B 分 别 是 4 1和 1 4 矩 阵 , 且 A 3 2 计 算 AB和 BA
二、矩阵的运算
根据实际问题的需要，规定矩阵的一些基本运算如下. 1.矩阵的相等
定 义 2 如 果 A ( a ij ), B ( bij ) 都 是 m n 矩 阵 , 并 且 它 们 对 应 的 元 素 都 相 等 ,即
a ij b ij , ( i 1, 2, , m ; j 1( 2, 3, 5,1) AB 3 6 2 4
a11 a 21 a m1 a12 a 22 am 2 a1 n a2n a mn
称 为 数 域 P 上 的 m n 矩 阵 , 通 常 用 大 写 字 母 记 作 A或 Am n , 有 时 也 记 作 A ( a ij ) m n , ( i 1, 2, , m ; j 1, 2, , n )
1 0 0 1 ( 1) 3 2 ( 1) ( 1) 0 1 1 3 3 0 ( 1) 0 0 5 1 ( 1) 3 4 ( 1) 5 10 2 6 2 . 17
2 0 0 2 年 销 售 总 额 为 7 0 0 3 .5 3 5 5 0 4 .4 4 0 0 0 6 .8 4 5 2 7 0 . 用 矩 阵 C 表 达 以 上 计 算 结 果 ,则 为 成本总额 销售总额
37000 C 40300
41500 4 5 2 7 0 2002 年
b1 2 b22 bm 2

b1 n b2 n bm n
记
a 1 1 b1 1 a b21 21 C a m 1 bm 1
a 1 2 b1 2 a 22 b22 a m 2 bm 2

的 方 阵 , 叫 作 对 角 方 阵 ; 当 a 1 1 a 2 2 a n n 1时 , 叫 作 单 位 矩 阵 , 记 为 E ,即
1 0 E 0 0 1 0 0 0 1
用 E ij 表 示 只 有 第 i 行 第 j 列 处 元 素 为 1, 其 余 元 素 全 为 零 的 方 阵 .
则 称 为 矩 阵 A和 矩 阵 B 相 等 , 记 为 A B .
2.矩阵的加法
定 义 3 设 两 个 m n矩 阵
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am 2

a1n b1 1 a2n b , B 21 a mn bm 1
以 后 还 会 常 看 到 一 些 特 殊 形 式 的 矩 阵 ,所 有 元 素 为 零 的 矩 阵 称 为 零 矩 阵 , m n零 矩 阵 记 作 O mn或 O ; 形 如
a11 0 0
0 a 22 0

0 0 a nn
式 中 a ij 称 为 矩 阵 A的 第 i 行 第 j 列 处 的 元 素 . 推 广 地 说 , 矩 阵 的 元 素 还 可 以 是 多 项 式 ,函 数 等 ,本 书 主 要 讨 论 的 是 元 素 为 实 数 的 矩 阵 .当 m n时 , 称 A 为 n 阶 矩 阵 或 n 阶 方 阵 , 其 左 上 角 至 右 下 角 的 对 角 线 上 的 元 素 ,称 为 主 对 角 线 上 的 元 素 .
表11-2 物资库存量 /t
销 产地
地 月份
品
名
B1 A1 A2 A3
B2
B3
B4
A1
A2
A3
A4
A5
1 2 4
1 2 4
2 3 1
2 3 1
5 4 6
5 4 6
0 1 0
0 203 1 , 156 0 224
1 2 3
21 0 40
203 21 156 0 224 40
4 8 1 6 4 2 9 2
4 3 1 3 5 9 2
3 2 1 , 2 5 2
3 AB 4 6
2 5 5 2 7 3
2001年
这 里 , 矩 阵 C 的 第 i 行 第 j 列 处 的 元 素 是 矩 阵 A的 第 i 行 元 素 与 矩 阵 B的 第 j 列 的 对 应 元 素 乘 积 之 和 .
定 义 5 设 A ( a ij )为 m s 矩 阵 , B ( b ij ) 为 s n 矩 阵 , 它 们 的 乘 积 A B C , C ( c ij ) 是 一 个 m n 矩 阵 , 其 中
4 2 4 2 2 3
1 9 . 9
4.矩阵与矩阵的乘法
先 看 一 个 实 例 , 设 有 甲 ， 乙 ,丙 三 种 产 品 ,其 中 2001年 ,2002两 年 销 售 量 用 矩 阵 A表 示 , 其 成 本 , 销 售 价 用 矩 阵 B 表 示 , 分 别 求 两 年 成本总额和销售总额.
只有一行或一列的矩阵
b1 b 2 ( a 1 , a 2 , , a n ), bm
分 别 称 为 1 n 和 m 1矩 阵 , 又 称 行 矩 阵 和 列 矩 阵 .行 矩 阵 用 圆 括 号 ,行 矩 阵 中 的 元 素 之 间 用 逗 号 分 开 ;列 矩 阵 用 方 括 号 ,矩 阵 中 元 素 之 间 不 用 逗 号 . 有 时 称 它 们 为 n维 行 向 量 和 m 维 列 向 量 .
24 16 23 36 68 50 28 0 4
24 16 23
36 68 50
28 0 4
将以上两个表中的实际背景去掉，则抽象出如下数据：
数学上就把的矩形数叫作矩阵.现在给出矩阵的一般定义.
定 义 1 数 域 P中 m n 个 数 a ij , ( i 1, 2, , m ; j 1, 2, , n ), 按 照 一 定 的 顺 序 排 成 m 行 n列 的 数 表
甲
乙
丙
成本
2001年
销售价
1 0 0 0 A 700
4000 3550
3000 , 4 0 0 0 2002 年
3 B 4 6
3 .5 甲 4 .4 乙 6 .8 丙
2 0 0 1年 成 本 总 额 为1 0 0 0 3 4 0 0 0 4 3 0 0 0 6 3 7 0 0, 2 0 0 1年 销 售 总 额 为1 0 0 0 3 .5 4 0 0 0 4 .4 3 0 0 0 6 .8 4 1 5 0 0; 2 0 0 2 年 成 本 总 额 为 7 0 0 3 3 5 5 0 4 4 0 0 0 6 4 0 3 0 0,
A B A ( B )
3.数与矩阵的乘法
定 义 4 给 定 任 意 实 数 k和 矩 阵
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am 2

a1 n a2n a mn
用 k 乘 矩 阵 A中 每 一 个 元 素 所 得 的 矩 阵 叫 作 k 与 A的 乘 积 , 记 为 kA或 A k , 即
由于矩阵乘法不满足交换律因此不能一般地定义矩阵的除法但是在数的运算中当存在使得abba例如对于方阵可以找到一个矩阵容易验证对于一个阶方阵如果存在一个阶方阵使得abba成立就说的逆矩阵并说是可逆矩阵或者说是可逆的记为显然也是的逆矩阵可逆矩阵的逆矩阵是可逆的并且有可逆矩阵的转置矩阵也是可逆的并且abab的乘积是可逆的并且有kaka一个非零常数与可逆矩阵的乘积是可逆的并且有显然并不是所有的方阵都可逆例如零矩阵就不可逆
a 1 n b1 n a 2 n b2 n , a m n bm n
则 称 C 为 A 与 B的 和 , 记 为 C A B .
根据定义不难验证，矩阵的加法具有以下性质：
(1) A B B A (2) A ( B C ) ( A B ) C (3) A O O A A
第十一章 矩阵与线性方程组
第一节 矩阵的概念及运算 第二节 逆矩阵 第三节 矩阵的秩与初等变换 第四节 线性方程的矩阵求解 第五节 数字实验五 用Mathematica进行矩阵运算和解 线性方程组

第十一章 矩阵与线性方程组
矩阵是解线性方程组的一个十分重要的数学工具，是线性 代数的一个主要研究对象.
行 数 相 等 , 列 数 也 相 等 的 矩 阵 称 为 同 型 矩 阵 ,由 加 法 定 义 可 知 , 只有对同型矩阵才能求和.
若矩阵
A ( a ij ) m n , 而 C ( a ij ) m n
则 称 C 为 A的 负 矩 阵 , 记 为 C A .矩 阵 A 与 矩 阵 B的 和 叫 作 A 与 B的 差 , 又 称 A 与 B的 减 法 , 记 为 A B , 即