直线与平面所成的角
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450
B
P
C
例3、已知直角梯形ABCD，其中 AB=BC=2AD，AS⊥平面ABCD， AD//BC，AB⊥BC，且AS=AB.求直 线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦 6
S
求SD与平面SAC 所成的角。 3 10 COSESD 10
z y
3
B A
E
x
C
D
作
业：
P 44 习题 9.7
1、2
直线与平面所成的角
复习：斜线在平面内的射影
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射 影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线 段在这个平面上的射影
AB
已知AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂 直于α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α 内的射影.设AC是α内的任一条直线，且 BC⊥AC，垂足为C.又设AO与AB所成的角为 θ1 ，AB与AC所成的角为θ2 ，AO与AC所成 的角为θ .探讨θ1 、θ2、θ 之间的关系.
0
2
。
斜线和平面所成的角的作法：
设直线l与平面α斜交，O为 斜足，在l上取异于O的点A， 由A点引平面α的垂线，垂足 为B.∠AOB就是斜线l与平面α 所成的角.其中点A应根据问题 的条件选在l的适当位置上
作法的关键在于确定平面α的垂线AB，实际应按以下步骤操作： （1）首先查看已知条件和题目所给的图形中是否已有所需的垂线； （2）当已知条件和题目所给的图形没有所需要的垂线时，应考虑 能否利用两平面垂直的性质定理进行补作； （3）若无法利用两平面垂直的性质定理作出所需要的垂线，必须 直接由点向平面引垂线时，应考虑垂足的位置
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做
斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
直线和平面垂直<＝>直线和平面所成的角是直角
直线和平面平行或在平面内<＝>直线和平面所成的
角是0°
思考：
直线与平面所成的角θ 的取值范围 是：
0
2
。
斜线与平面所成的角θ 的取值范围 是：
cos cos 1 2 cos
最小角定理：平面的斜线和它在平面内
的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任
一直线所成的角中最小的角
斜线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在这个平面内 的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所 成的角 (或斜线和平面的夹角)
l为一斜线，O为斜足， A为l上任一点， AB , B为垂足
例题：
1、已知AB为平面α的一条斜线，B为斜足，
AO⊥α，O为垂足，BC为α内的一条直线，
∠ABC=600， ∠OBC=450，求斜线AB和平面
所成的角
450
例2、如图，PA、PB、PC是从 P点出发的三条射线，∠APB= ∠APC=600， ∠BPC=90
B
P
C
例3、已知直角梯形ABCD，其中 AB=BC=2AD，AS⊥平面ABCD， AD//BC，AB⊥BC，且AS=AB.求直 线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦 6
S
求SD与平面SAC 所成的角。 3 10 COSESD 10
z y
3
B A
E
x
C
D
作
业：
P 44 习题 9.7
1、2
直线与平面所成的角
复习：斜线在平面内的射影
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射 影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线 段在这个平面上的射影
AB
已知AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂 直于α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α 内的射影.设AC是α内的任一条直线，且 BC⊥AC，垂足为C.又设AO与AB所成的角为 θ1 ，AB与AC所成的角为θ2 ，AO与AC所成 的角为θ .探讨θ1 、θ2、θ 之间的关系.
0
2
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斜线和平面所成的角的作法：
设直线l与平面α斜交，O为 斜足，在l上取异于O的点A， 由A点引平面α的垂线，垂足 为B.∠AOB就是斜线l与平面α 所成的角.其中点A应根据问题 的条件选在l的适当位置上
作法的关键在于确定平面α的垂线AB，实际应按以下步骤操作： （1）首先查看已知条件和题目所给的图形中是否已有所需的垂线； （2）当已知条件和题目所给的图形没有所需要的垂线时，应考虑 能否利用两平面垂直的性质定理进行补作； （3）若无法利用两平面垂直的性质定理作出所需要的垂线，必须 直接由点向平面引垂线时，应考虑垂足的位置
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做
斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
直线和平面垂直<＝>直线和平面所成的角是直角
直线和平面平行或在平面内<＝>直线和平面所成的
角是0°
思考：
直线与平面所成的角θ 的取值范围 是：
0
2
。
斜线与平面所成的角θ 的取值范围 是：
cos cos 1 2 cos
最小角定理：平面的斜线和它在平面内
的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任
一直线所成的角中最小的角
斜线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在这个平面内 的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所 成的角 (或斜线和平面的夹角)
l为一斜线，O为斜足， A为l上任一点， AB , B为垂足
例题：
1、已知AB为平面α的一条斜线，B为斜足，
AO⊥α，O为垂足，BC为α内的一条直线，
∠ABC=600， ∠OBC=450，求斜线AB和平面
所成的角
450
例2、如图，PA、PB、PC是从 P点出发的三条射线，∠APB= ∠APC=600， ∠BPC=90