课时规范练23

课时规范练23
《素养分级练》P307
基础巩固组
1.函数y=2cos 2x+π
6的部分图象大致是( )
答案:A
解析:由y=2cos 2x+π
6可知,函数的最大值为2,排除D;因为函数图象过点π6
,0,排除B;又因为
函数图象过点-π12
,2,排除C,故选A .
2.将函数y=sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数y=cos 2x+π
6的图象,则φ的值可以是
( )
A.π
12 B.π
6
C.π
3
D.2π
3
答案:D
解析:y=cos 2x+π
6=sin 2x+π
6+π
2=sin 2x+2π
3,将函数y=sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数y=sin[2(x-φ)]=sin(2x-2φ)的图象,由题意可得2π
3=2k π-2φ(k ∈Z ),可得φ=k π-π
3(k ∈Z ),当k=1时,φ=2π
3,故选D .
3.(2023·黑龙江大庆高三期末)某智能降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波,通过两者叠加抵消掉噪音,如图所示,若噪音的声波曲线的解析式为y=A sin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<2π)的振幅为1,周期为2,初相为π
2
,则用来降噪的声波曲线的解析式是( )
A.y=sin πx
B.y=-cos πx
C.y=-sin πx
D.y=cos πx
答案:B
解析:由题意知,A=1,ω=π,φ=π
2,噪音的声波曲线的解析式为y=sin πx+π
2,而降噪声波曲线可以看成将噪音声波曲线向左平移半个周期得到的曲线,故降噪声波曲线的解析式为y=sin πx+π+π
2=-cos πx ,故选B .
4.(2022·四川内江高三模拟)已知函数f (x )=A cos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2
,将函数f (x )的图象向左
平移3π
4个单位长度,得到函数g (x )的部分图象如图所示,则f
π
3
=( )
A.1
2
B.-12
C.√32
D.-√32
答案:A
解析:平移不改变振幅和周期,所以由图象可知A=1,2πω×3
4
=π6--7π12=3π4
,解得ω=2,函数f (x )的图
象向左平移3π4
个单位长度,得g (x )=cos 2x+3π4+φ.当x=π6
时,2×π6
+
3π2+φ=3π
2
+2k π,k ∈Z ,且|φ|<π
2,得φ=-π
3,所以f (x )=cos 2x-π
3,f
π3
=cos π
3=1
2.故选A .
5.(2023·陕西咸阳高三二模)如图,A ,B 是函数f (x )=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π
2的图象与x 轴的两个交点,若|OB|-|OA|=4π
3,则ω=( )
A.1
B.12
C.2
D.23
答案:B
解析:由图象可知,点(0,1)在函数图象上,所以2sin φ=1,因为|φ|<π
2,所以φ=π
6,f (x )=2sin ωx+π
6.令2sin
ωx+
π6=0,解得
ωx+π
6=k π,k ∈Z ,x=kπ-π
6ω
,k ∈Z ,因为
ω>0,所以当k=0时,解得x A =-
π
6ω
,当k=1
时,x B =5π
6ω,所以|OB|-|OA|=5π
6ω−π
6ω=
4π
3
,解得ω=1
2,故选B .
6.(多选)(2023·海南海口高三月考)将函数f (x )=√3cos ωx+π
3-1的图象向左平移π
4个单位长度得到函数g (x )的图象与f (x )图象重合,则ω的值可以为( ) A.-4 B.8 C.12 D.16
答案:BD
解析:由题意得g (x )=√3cos ωx+π
4+π
3-1=√3cos ωx+ωπ4+π
3
-1,由于函数g (x )的图象与f (x )图
象重合,故
ωπ
4
=2k π(k ∈Z ),ω=8k (k ∈Z ).当k=1时,ω=8;当k=2时,ω=16.由于k 取整数,故ω=8k 不
会取到-4或12.故选BD .
7.(多选)(2023·福建宁德高三期中)函数f (x )=cos(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示,则( )
A.ω=3
B.函数f (x )在3π5
,14π
5上单调递增
C.φ=6π
5
D.函数f (x )图象的对称轴为直线x=kπ
3−π
15(k ∈Z ) 答案:AD
解析:由图象知函数的周期T=2×
13π30−π
10
=2π
3=
2π
ω
,解得ω=3,所以A 正确;由题图得
3×π
10+φ=2k π+π
2(k ∈Z ),因为0≤φ<2π,所以φ=π
5,所以C 错误;f (x )=cos 3x+π
5,当2k π≤3x+π
5≤2k π+π(k ∈Z )时,函数f (x )单调递减,取k=1,得f (x )的一个单调递减区间为
3π5,14π
15
,所
以B 错误;函数f (x )图象的对称轴为直线3x+π
5=k π(k ∈Z ),即x=kπ
3−π
15(k ∈Z ),所以D 正确.故选AD .
8.设函数f (x )=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π
2在一个周期内的图象经过A -5π
18,0,B -π
9,-1,C
π9
,0,D
2π
9
,1这四个点中的三个点,则φ= .
答案:-π
6 解析:因为-π
9
--5π18
=
122π9
--
π9
=π6
,所以f (x )在一个周期内的图象不可能经过点C ,则T=π
6×4=2π
ω,解得ω=3.因为f 2π
9
=1,所以2π
9×3+φ=π
2+2k π(k ∈Z ),φ=-π
6+2k π(k ∈Z ).又|φ|<π
2,所以
φ=-π
6.
9.(2023·山东济南高三月考)已知函数f (x )=cos 2x+sin 2x-π2,将函数f (x )的图象先向右平移π
12个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数g (x )的图象,则函数g (x )图象的对称轴为直线 . 答案:x=kπ
2+π
12(k ∈Z ) 解析:f (x )=cos 2x+sin 2x-π
2
=2cos 2x=1+cos 2x ,由题意可得g (x )=cos 2x-π12
=cos 2x-
π6
,令2x-
π
6
=k π(k ∈Z ),解得x=kπ
2+π
12(k ∈Z ).
综合提升组
10.(2023·山东东营高三期中)将函数y=a sin x+b cos x 图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的1
2,然后将所得图象向左平移π
6个单位长度,可得函数y=2cos 2x+π
6的图象,则a+b=( ) A.2 B.0 C.√3+1 D.1-√3
答案:C
解析:先将y=2cos 2x+π6的图象向右平移π6个单位长度,得y=2cos 2x-π6+π6=2cos 2x-π
6,然后纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得y=2cos x-π
6=2√3
2cos x+12
sin x =sin x+√3cos x ,故
a=1,b=√3,所以a+b=1+√3,故选C .
11.(多选)(2023·河北保定高三模拟)已知P (1,2√3)是函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π
2图象的一个最高点,B ,C 是与P 相邻的两个最低点.若△PBC 为等边三角形,则下列说法正确的是( ) A.A=2
B.f (x )的最小正周期为8
C.φ=π
4
D.将f (x )图象上所有点向右平移1个单位长度后得到g (x )的图象,(2,0)是g (x )图象的一个对称中心 答案:BC
解析:设BC 的中点为D ,与P 相邻且函数f (x )的图象与x 轴的交点为E ,F ,即E ,F 为函数f (x )图象的两个对称中心,连接PD ,则由题意知A=2√3,故选项A 错误;易知|PD|=4√3,∠BPD=π
6,所以|BD|=4,|PB|=|BC|=8,则f (x )的最小正周期为8,故选项B 正确;因为ω=
2π
8
=π
4,则π4×1+φ=π2
+2k π,k
∈Z ,又|φ|<π
2,所以φ=π
4,故选项C 正确;因为f (x )=2√3sin
π4x+π
4
,则将f (x )图象上所有点向右平移
1个单位长度后得到g (x )=2√3sin π
4x 的图象,易知(2,0)不是g (x )图象的对称中心,故选项D 错误.故选BC .
12.如图是一个半径为R 的水车,一个水斗从点A (1,-√3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6秒.经过t 秒后,水斗旋转到P 点,设点P 的坐标为(x ,y ),其纵坐标满足
y=f (t )=R sin(ωt+φ)t ≥0,ω>0,|φ|<π
2.若当t ∈[0,m )时,函数f (t )恰有2个极大值,则m 的取值范围是 .
答案:
172,292
解析:根据点A 的坐标(1,-√3)可得圆周的半径R=√1+3=2.又旋转一周用时6秒,即周期T=6,从而得ω=2π
T =π
3,∴f (t )=2sin π
3
t+φ.又当t=0时,在函数图象上y=-√3,∴f (0)=2sin
π
3
×0+φ=-√3,
即sin φ=-√32. 又|φ|<π
2,∴φ=-π3, ∴f (t )=2sin
π3t-π
3
.
根据三角函数的性质,f (t )在[0,m )内恰有两个极大值时,有5π
2<π
3m-π
3≤9π
2
, 解得17
2<m ≤29
2.
创新应用组
13.(2023·浙江金华高三月考)已知函数f (x )=cos 2x 图象向右平移π
12个单位长度后得到g (x )的图象.若对于任意的x 1∈-π3,π
6,总存在x 2∈[m ,n ],使得f (x 1)=g (x 2),则|m-n|的最小值为 . 答案:π
3
解析:函数f (x )=cos 2x 图象向右平移π
12个单位长度后得到g (x )=cos 2x-π
6的图象.因为x 1∈-π3,π
6,所以2x 1∈-2π3,π
3
,所以f (x 1)=cos 2x 1∈-12,1.因为对于任意的x 1∈-π3,
π6
,总存在x 2∈[m ,n ],
使得f (x 1)=g (x 2),所以g (x 2)的取值范围应包含-12
,1.根据余弦函数的性质,为使|m-n|取最小值,只需函数g (x )在x ∈[m ,n ]上单调且值域为-1
2
,1即可.由2k π-2π3
≤2x-π6
≤2k π(k ∈Z )可得k π-π4≤x ≤k π+π12
(k ∈Z ),因此|m-n|的最小值为-π4−π12=π
3.。