正弦定理余弦定理

正弦定理、余弦定理
同步教学
主讲：黄冈中学特级教师吴校红
、一周知识概述
本周主要学习解三角形的两个重要定理一一正弦定理和余弦定理. 通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题.认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况.
、知识归纳
1、三角形中的边角关系
在厶ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c,则有
(1) 角与角之间的关系：A+ B+ C- 180°;
(2) 边与角之间的关系：
余弦定理：a2= b2+ c2—2bccosA
b2= c2+ a2—2accosB
正弦定理:sinC
c2= a2+ b2—2abcosC
射影定理：a= bcosC+ ccosB
b = ccosA+ acosC
c=acosB+ bcosA
2、正弦定理的另三种表示形式:
abc
47
匠必広如逐外接圆半却下同)'
b c c a
sin5 sinC ，
sinC sin A
a = 2 氏 si 口 A
(3) t b=2 尺b c = sin J 4: sin 5: sinC.
c= 2/?SiilC
3、余弦定理的另一种表示形式:
4、 正弦定理解三角形可解决的类型：
(1) 已知两角和任一边解三角形； (2) 已知两边和一边的对角解三角形.
5、 余弦定理解三角形可解决的类型：
(1)已知三边解三角形； (2)已知两边和夹角解三角形.
6三角形面积公式:
=［加三丄必池巴三
2用sin 山in 甘池(7 IT niTn jlf |r rTfiKTi \
'WniTm^为a 4
®7
内切圜半径)
QP 迂-Ct)(P -
- c)(卩=* & 十
b 十
J M
瑯・|走卩■远阳
2
J
a _
b sin A
sin B
、难点剖析
S1H5
也可利用正弦定理
bsmA
I hl 进行讨论. 1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的 情况，应分情况予以讨论.
下图即是表示在厶ABC 中，已知a 、b 和A 时解三角形的各种情况.
(2)当A 为直角或钝角时(如下图)，
如果sinB>1，则问题无解; 如果sinB = 1，则问题有一解;
如果求出sinB<1，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内 角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断.
2、利用三角形面积证明正弦定理
已知△ ABQ 设BO a ，CA= b ，A 吐c ,作AD L BC 垂足为D.
(1)当A 为锐角时(如下图)，
seisin A 无轴扌
A —躺
同理可
=—a< AD = 2
1
— £LC
S
2
aisin
-~ 2 77 'Hl1H 2
'Ldls|nC=^c,sm J4=L;在
等式两端同除以辽b亡可得
sin C
I Id
be
sin A
sin A sinB
a §
]*汕H
sin B sin C
••• AD=AB- sinB = csinB
3、用方程的思想理解和运用余弦定理：当等式a2= b2+ c2—2bccosA中含有未知数时，等式便成为方程•式中
有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c 或cosA.
4、向量方法证明三角形中的射影定理
在厶ABC中，设三内角A、B C的对边分别是a、b、c.
\AC^\-\CB\CQS C=\AB\CO
:.A - C3TCOS C= ccos A.
即i^ccos① 类似地有c =
£7cos5 + i cos a= icosC+
ccosS-.
上述三式称为三角吃中的射影定理
四、例题讲解
例1、不解三角形，判断三角形的个数.
©a = 5, b= 4, A= 120°
购& = 30, b = 30, A= 50°
③a= 7, b= 14, A= 30°
④a = 9, b= 10, A= 60°
⑤a = 6, b= 9, A= 45°
⑥c = 50, b= 72, C= 135°
[]
例2、在厶ABC中，已知- •「■"'',求A、C和c.
[]
例3、在厶ABC中，若tanA : tanB = a2: b2，试判断厶ABC的形状.
[]
sin5=1^3.
例4、如图所示，在△ ABC中，已知BO 15, AB AO7: 8, 丁求BC边上的高.
[]
例5、已知三角形的三个内角成等差数列，它的面积是十岸開，周长是
20cm求三角形三边的长.
[]
高中数学联赛几何定理
梅涅劳斯定理
BF AE CD
一直线截厶ABC的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F贝U ・=1。

FA EC BD
BF AE CD
逆定理：一直线截厶ABC的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F若——・——•——=1 ,
FA EC BD
则D,E,F三点共线。

塞瓦定理
BD CE AF
在厶ABC内任取一点0,直线AO BO CO分别交对边于 D E、F,贝U ——•— *——=1。

DC EA FB
BD CE AF
逆定理：在厶ABC的边BC , CA , AB上分别取点D, E, F，如果••=1,
DC EA FB
那么直线AD , BE , CF相交于同一点。

托勒密定理
ABCD为任意一个圆内接四边形，则AB・CD AD・BC二AC・BD。

逆定理：若四边形ABCD满足AB «CD AD・BC =AC «BD，则A、B C D四点共
圆
西姆松定理
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。

(此线常称为
西姆松线)。

西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

相关的结果有：
(1)称三角形的垂心为H。

西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。

(2)两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

(3)若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P 的位置无关。

(4)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

斯特瓦尔特定理
设已知△ ABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有AB" • DC+AC- BD-AD • BC= BC- DC- BD。

三角形旁心
1旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。

2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。

费马点
在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

(1)若三角形ABC的3个内角均小于120 °那么3条距离连线正好平分费马点所在的周
角。

所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

⑵若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

判定(1)对于任意三角形△ ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC 有最小值,则E为费马点。

费马点的计算
(2)如果三角形有一个内角大于或等于120°这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角
均小于120°则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

九点圆：三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线
段的中点)九点共圆。

通常称这个圆为九点圆( nine-point circle)，
欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三
角形的欧拉线。

几何不等式
1 托勒密不等式：任意凸四边形ABCD，必有AC-BD < AB - CD+AD BC ,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

2埃尔多斯一莫德尔不等式：设P是△ ABC 内任意一点，P至U △ ABC三边
BC,CA,AB 的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。

贝U x+y+z > 2(p+q+r)
3外森比克不等式:设^ABC的三边长为a、b、c,面积为S则a2+b2+c2>4.3S
4 欧拉不等式:设厶ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r,则R>2r,当且仅当△ ABC
为正三角形时取等号。

圆幂
假设平面上有一点P,有一圆0,其半径为R,则OPA2-RA2即为P点到圆0的幕；可见圆外的点对圆的幕为正，圆内为负，圆上为0;
根轴
1在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幕相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两
个圆的根轴。

2另一角度也可以称两不同心圆的等幕点的轨迹为根轴。

相关定理
1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；
2,若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；
3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；
4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆心不共线的圆，它们两两的根轴或者互相平行，或者交于一点，这一点叫做它们的根心；。