全过程沉降量的灰色verhulst预测方法

摘要：根据灰色系统理论，在全面分析建筑物的全过程沉降量与时间关系的基础上，建立了灰色verhulst预测模型，并给出了该模型的适用条件。

利用编制的计算机程序对一具体工程实例的分析表明：灰色verhulst模型的预测方法性能良好，且为建筑物工后沉降的预测和控制提供了有效可行的方法。

关键词：灰色verhulst预测模型沉降量与时间的关系灰色系统理论 verhulst理论
沉降计算是岩土工程中主要问题之一。

由于沉降一般不可能短时间内完成，故计算时要考虑沉降的时间效应问题。

目前计算沉降有两类方法：(1)理论法。

通过固结理论，结合各种土的本构模型，采取一定的数值计算方法(有限元、有限差分等)来建立的，如大变形固结有限元法［1］、比奥固结有限元法［2］。

但在考虑非线性弹性模型及弹塑性模型的基础上建立的数值计算方法，需要的计算参数较多，且一般需通过三轴试验确定，因此很难普遍应用于实际工程中。

(2)经验公式法。

根据实测资料建立沉降与时间的关系式并推测最终沉降量，如双曲线法、指数曲线法等［3］。

事实上，这类方法难以反映全过程的沉降量与时间的关系，如双曲线法和指数法仅适合施工加载情况下的沉降预测。

而本文建立的灰色verhulst预测模型能较好地反映全过程的沉降量与时间
的关系，并能预测最终沉降量。

1 全过程沉降的机理分析
众所周知，建筑物的总沉降分为：瞬时沉降、固结沉降和次固结沉降三部分。

瞬时沉降在短时间内发生，可认为与时间无关。

对于饱和土，在荷载作用下沉降立即发生，其变形是在体积不变情况下由负载区域下的剪应变引起的。

在荷载中心下方，垂直压缩和侧向膨胀同时发生［4］，Bjerrum指出，这一沉降的组成部分更确切地说应是侧向的屈服。

对非饱和土，荷载施加后，空隙中的气体可立即压缩，土骨架可变形，故开始时荷载就由骨架、水和气三者来承担。

这表现到沉降过程线上存在一个瞬时的沉降。

因此全过程的沉降量S与时间t的关系曲线并不通过原点［5，6］，如图1中的a点。

图1 S-t曲线
固结沉降和次固结沉降随着荷载和时间变化而变化，如图1所示，一般可分为4段：(1)直线段ab(弹性阶段)。

在刚加载时，土体处于弹性或近似弹性状态。

(2)变化率增大的曲线段bc。

随着荷载的不断加大，土体进入弹塑性状态，且随着塑性区的不断开展，土体的沉降速率也在不断增加，直至荷载不再增加。

(3)变化率减少的曲线段cd。

当荷载不再增加时，由于固结尚未完成以及土体的流变，土体的沉降随着时间的推移而不断地增加，但沉降速率递减。

(4)新的直线
段de(稳定阶段)。

当时间为无限大时，沉降到达极限状态，此时沉降将不随时间发生变化。

对于建筑物t取5年即可。

综合以上分析，全过程的沉降量与时间的关系曲线为不过原点的“S”形曲线。

2 灰色verhulst预测模型及其特点灰色verhulst预测模型是在verhulst理论的基础上，利用灰色系统建模只需要贫信息、小样本的优势及其特定的建模方法而形成的，是描述一个系统趋向饱和状态的“S”形曲线。

2.1 灰色verhulst预测模型［7，8］记原始沉降观测数据序列为
S(1)={S(1)(1)，S(1)(2)，…，S(1)(n)}
(1)
记原始沉降所对应的时间序列为
t(1)={t(1)(1)，t(1)(2)，…，t(1)(n)}
(2)
其一次累减生成序列记为
S(0)={S(0)(1)，S(0)(2)，…，S(0)(n)}
(3)
t(0)={t(0)(1)，t(0)(2)，…，t(0)(n)}
(4)
按照灰色系统的建模方法，可以得到一个一阶非线性动态微分方程式，也就是verhulst模型：
(5)
式中：a为发展系数；b为灰作用量。

a，b值可用最小二乘法估计为
(6)
式中：
求解微分方程式(5)得
(7)
把式(7)离散化即得灰色verhulst模型的时间响应式：
(8)
由式(8)知，由任意时刻的时间t就可以求出所对应的沉降S。

2.2 灰色verhulst预测模型的特点灰色verhulst 预测模型的微分方程式(5)可变换为
(9)
一般来讲，对于具有饱和状态的过程即“S”形曲线，参数a，b的值是小于零的。

故式(9)可变为
(10)
由式(10)可以看出：(1)刚加载时，沉降S甚小，即S2<<S，这时近似为一常数，因此此时的沉降与时间的关系按照线性或近似线性发展，如图1中的ab段。

(2)随着荷载的增大，沉降S也在增加，即|a|S-|b|S2>0，因此变化率dS／dt也在不断的增大，当S=a／(2b)，dS／dt达到极值，此时曲线的斜率为最大值，即图1中的c点。

(3)当荷载不再增大时，由于土体的流变，沉降S继续增长，即S>a／(2b)时，dS／dt 的值在递减，但还是大于零的，如图中的cd段。

(4)当S增大到一定的程度，使|a|S-|b|S2=0时，dS／dt=0，即S不再随时间发生变化，达到稳定阶段，如图1中的de段。

由灰色verhulst预测模型的特点可以看出，灰色
verhulst预测模型所反应的变化规律和全过程的沉降量与时间的关系相一致，均呈现出“S”形变化。

2.3 模型精度的检验一个模型的好坏与否要通过检验才能验证其正确性与合理性，灰色verhulst预测模型可采用如下的检验方法：(1)残差合格模型检验：令残差。

相对误差序列：。

称为平均模拟相对误差，给定α，当成立时，则此时模型为残差合格模型。

对于实际工程而言，α低于02即为合格。

(2)小误差概率合格模型检验：设，分别为S(1)的均值和方差。

若称为小误差概率，对于给定的P0，当P>P0时，称模型为小误差概率合格模型。

通常P>0.95为优，P>0.8为合格，P>0.70为勉强合格，P≤0.70为不合格。

2.4 带有残差的灰
色verhulst预测模型当灰色verhulst模型的精度不符合要求时，可用残差序列建立带有残差的verhulst预测模型进行修正，以提高精度。

对残差序列进行AGO累加生成，依照灰色系统理论可建立残差序列的GM(1，1)模型：
(11)
将式(8)和式(11)叠加就可得带有残差的灰色verhulst预测模型
(12)
对式(12)求出的沉降预测值再进行精度检验，若不满足要求，可再进行残差修正，直到满足精度为止。

3 灰色verhulst预测模型的适用条件由全过程沉降的机理可知，要把沉降与时间的关系曲线较好地划分为4个阶段，即典型的“S”形曲线，加荷条件需要满足一级线性加载或近似一级线性加载的情况。

若加荷过程中存在间隙施工或者加荷快慢程度不一致的情况下，会使沉降量与时间的关系曲线并不呈所述的“S”形，因此不符合灰色verhulst 预测模型的建模理论，用verhulst所建立的模型可能会产生较大的误差。

另外，对于快速建成的建筑物，由于其加荷速度较快，土体在加荷过程中的沉降量并不是很大，绝大部分的沉降量是在建筑物施工后产生的，因此沉降量与时间的关系曲线并不能划分为如图1中明显的4个阶段，由此在
运用灰色verhulst预测模型时应考虑施工中的实际加载情况。

4 工程实例工程为天津三多里高层建筑，由两个风扇状单体并联而成，地上15层，高44.2m；基础采用箱基，高3.7m，底板厚0.5m，其平面示意图以及地质情况详见文献［９］。

该工程从开工到最终监测结束共历时6年多。

4.1 不同点数对预测沉降量的影响(灰色verhulst预测模型) 运用建立的灰色verhulst模型，选用不同的点数对沉降量与时间的关系进行预测，如图2所示，从图中可以看出：(1)灰色verhulst模型所预测的S与t的关系曲线都呈“S”形变化，与建筑物实际沉降变化规律相一致。

(2)当所选取的实测点数较少时，预测的S～t的关系曲线和实测值相差较大，最大误差可达30%，如图2中已知10点的预测值。

(3)当选取的实测点数较多时，预测的结果和实测值相差较小，误差可控制在10%以内，如图2中已知16、22、全部点的预测值。

通常，若已知建筑物荷载全部加完时的沉降量的实测值，利用灰色verhulst模型就能较准确地预测工后沉降的发展，可以采取相应的方法加以控制。

图2 已知不同点数的预测沉降量S与时间t的关系
图3 不同预测方法的比较(已知16点)
4.2 不同预测方法的比较对本工程分别采用灰色verhulst模型、指数模型和双曲线模型来预测沉降量与时间
的关系曲线。

预测结果如图3所示，从图中可知：(1)灰色verhulst模型能够很好地反映全过程的沉降量与时间的关系，而指数模型和双曲线模型就不能全面的反映S与t
的变化关系。

(2)采用相同的已知点数(16点)，灰色verhulst 模型预测结果和实测结果基本一致，而双曲线模型和实测结果的误差可达30%，指数模型预测结果的最大误差达40%。

5 结语地基沉降是一个复杂的工程问题，存在着许多不确定的因素，从系统方面看属于灰色系统，因此运用灰色verhulst预测模型来对沉降量进行预测是可行的，和其它预测沉降量的方法相比有如下特点：(1)灰色verhulst预测模型所模拟的沉降量与时间的关系曲线和实测变化规律相一致，都呈“S”形，因此能够反映全过程的沉降量与时间的关系。

(2)和其它预测方法相比，灰色verhulst模型具有精度可靠，所需的观测数据少等优点。

而且能随着监测资料的不断增加，预测模型还可不断地更新、优化。

(3)通常，要反映“S”形曲线后段，就要有相应段数据的输入，而如果已有了充分长的实测，又失去了“预测”的意义。

但用灰色verhulst 预测模型，只要知道加载完成后的沉降观测值，就能较准确地预测工后沉降的大小。

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