新大地主题反解精度的验证及简易式求解的适用范围

新大地主题反解精度的验证及简易式求解的适用范围
施一民1,2,罗彦 1,陈月梅1
(1.同济大学 测量与国土信息工程系,上海200092；2.现代工程测量国家测绘局重点实验室 上海,200092；)
摘要：为验证由新大地主题反解简易式求解大地线长度和方位角的实际精度,用大地主题反解的相应结果来进行比较和分析。

为扩大新型大地坐标系的适用范围，提出在新大地主题反解的简易式中可采用计算点的大地纬度来得出长度归化因子的精确值。

理论分析和数据计算都证实，这样不仅因消除了归化因子的近似性而提高了计算精度，而且计算精度也不再与坐标原点所在位置密切相关，从而亦使新型大地坐标系的适用范围有所扩大。

关键词：新型大地坐标系；大地主题反解；长度归化因子；适用范围；简易式
1引言
文献[1,2]提出并研制了新大地主题解算的算法，并由正反解计算结果的一致性来验证新型大地坐标系中大地主题正反解公式的正确性，尤其是在局部范围内简易公式更有其实际应用价值。

为检核能否按新大地坐标利用简易式在椭球面上进行精确的解算，是以按大地主题反解所得的相应结果作为标准值来进行比较。

新大地主题解算中须计算并采用在纬度变化方向的长度归化因子n m ，若以新大地纵坐标来计算之,十分简便，也有相当的计算精度,但对长距离而言，所舍去的高阶项的影响不容忽视；而且当大地线离起始纬线的纬差越大，精度更随之降低，因此文献[4,2]将新型大地坐标系的适用范围限制在南北方向最大跨距为400km,但东西向则可少受限制。

其实新型大地坐标系与大地坐标系之间有着1-1对应的严密的转换关系式,其适用范围本可不受限制,为进一步扩大新型大地坐标系适用范围，就应使n m 的计算精度与坐标原点所
在位置无关。

n m 的理论值其实本可用大地纬度得出的，
由此更可提高新大地反解的解算精度。

2新大地主题反解简易式的改进 2.1大地线长度的解算式
按两点1和2的新大地纵横坐标(
)11B L s s 和()
22B L s s 反解的大地线长度为
12S [2]
222
m
B L n s s S Δ+Δ=()
2
222
0222022202224//3tan B
m L L B m B m L B s n s R s s n N s n s B s Δ+ΔΔΔ+Δ+ΔΔ−
()
22202
022202123tan B
m L B
m L L B s
n s N R s n s B s s m Δ+ΔΔ+ΔΔ−
(1)
───────────────────────────
基金项目：国家自然科学基金资助项目(40471114) ,地球空间环境与大地测量教育部重点实验室开放基金 资助项目（03-04-02）
作者简介：施一民(1942- ), 男 ,浙江宁波人, 教授，博士生导师,E-mail: yimshi@;
罗彦(1983 - ),男,湖南株洲人,硕士生。

E-mail:0420020349@
若舍去高阶项，则有简易式为
2
2201212m
B L n s s S S Δ+Δ== (2)
式(1),(2)中
()()
202
002
02008/2/tanB 12// tanB 12
121R s s N s s R s N s n L L L L L L m m
m +−+−=−−= (3)
式(3)中已舍去了高阶项。

式(2)十分类似于平面上距离的解算公式，只是多了一个长度归化
因子，采用新大地纵坐标平均值解求也十分简便。

但当大地线较长或离起始纬线的纬差较大,就应提高其计算精度，因由长度归化因子的定义，可计算其理论值为
000/cos cos cos cos B N B N dl B N dl B N ds ds n m
m
m m B
B
m m
=⋅⋅=
=
(4)
式(4)中可取
2
2
1B B m +=
B (5) 更精确的求法是由下式反求B m :
()
2/2/2120100
L L B B B B B B s s MdB MdB MdB m
+=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛+=∫∫∫
(6)
但经数值计算,两者所得的反解结果几乎完全符合，若已具有纬度值，B m 可按式(5)取
为大地线起终点的平均纬度，否则可按式(6)。

然后将式(4)代入式(1),即可算得由两点的大地经纬度及新大地纵横坐标计大地线长度
12S 2.2大地线起终点大地方位角的解算式
按两点1和2的新大地纵横坐标求解大地线起终点大地方位角的平均值的反解式为
[2]
=m T tan 0
tan m
T ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ+Δ+Δ+2
02
2220202024212tan tan R n s n s N B s T m B
m L B m
(7) 若舍去高阶项，则有简易式
=m T tan =0
tan m T L m B s n s ΔΔ/ (8)
将式(4)代入式(8),即可得出由两点的新大地纵横坐标差计算大地线起终点大地方位角的
和的简易式。

12T 21T
()(
)
m m L L m B n T R s N B S s n s T T m 2/sin //tan /arctan 2
000120
1212+−ΔΔ== (9)
()()
o 1802/sin //tan /arctan 2000120
2121±++ΔΔ==m m L L m B n T R s N B S s n s T T m (10)
3数据计算和验证
下面对新大地主题反解两种简易式的计算结果进行验证，作为简易式它们同样都舍
去了式（1）和(7)中的高阶项。

其间的区别仅在于对求法不同：一是按新大地纵坐标由已省略了高阶项的式（3）解求，二是由式（4）求得其理论值。

m n 文献[4]通过计算得出，对位于北纬的我国，纬度越高，按新大地纵坐标计算n 的精度越低，作者曾对位于不同纬度的大地线作了大量的计算，并在同样的条件下对计算结果进行比较，也证实了这一点。

为节省篇幅,在此仅选取最不利情况下的我国高纬度地区进行验算。

验算过程是先设定大地线起点的大地经纬度B 1 =53°L 1=110°，取1980椭球元素按大地线长度分别为20,30,40,50 km 正方位角分别为10°,45°,80°按不同组合得出各终点的大地经纬度（B 2 ，L 2）再按大地主题反解求大地线长度及正方位角作为校核〔表1〕,表1中的第1列为各大地线的编号，与表2, 表2中的第1列相对应。

对于所设定的两组不同的新大地坐标系原点（B 0 ，L 0），将各对起终点的大地经纬度（B 1 ，L 1），（B 2 ，L 2）按照坐标转换关系式[3] 得出起终点的新大地纵横坐标。

据此按两种简易公式进行反解。

表2列出了利用式（3）得到的长度归化因子反解大地线长度及正方位角。

表3列出了利用式（4）所求得的长度归化因子来反解大地线长度及正方位角。

表1：大地主题正反解数据
序号 起点 大地纬度 B 1 ( °) 起点 大地经度
L 1
( °) 终点大地经度
B 2 ( °′″) 终点大地纬度 L 2 ( °′″) 反解大地线长度
S 12 (m) 反解方位角 A 12 ( °′″) A 53 110 53 10 37.10047 110 03 06.9907019999.99999910 00 00.00003
B 53 110 53 15 55.61281 110 04 41.0641429999.99999510 00 00.00009
C 53 110 53 21 14.09970 110 06 15.5267339999.99998810 00 00.00022
D 53 110 53 26 32.56098 110 07 50.3813049999.99997710 00 00.00042
E 53 110 53 07 36.80492 110 12 40.5545719999.99999944 59 59.99995
F 53 110 53 11 24.69558 110 19 02.5122729999.99999744 59 59.99983
G 53 110 53 15 12.24269 110 25 25.5958739999.99999444 59 59.99959
H 53 110 53 18 59.44447 110 31 49.8095749999.99998744 59 59.99919
I 53 110 53 01 51.04272 110 17 36.8935119999.99999979 59 59.99971
J 53 110 53 02 45.58475 110 26 25.9015430000.00000079 59 59.99902
K 53 110 53 03 39.47280 110 35 15.2784639999.99999979 59 59.99768
L 53 110 53 04 32.70607
110 44 05.02026
49999.999996
79 59 59.99546
表2 取不同的原点，利用表1的数据按 (3)式求长度归化因子的新大地反解结果
序号
新大地坐标原点 B 0 ,L 0( °′) 起点纵坐标
S L1 (m)
新大地坐标简易公式反
解大地线长度
S 12 (m) 新大地坐标简易公式反解反解方位角
A 12
( °′″)
A 148364.956760 19999.999492 9 59 59.84196 B
B 0=51 40 L 0=100 00
148364.956760 30000.001822 9 59 59.79618
C 148364.956760 40000.007424 9 59 59.73990
D 148364.956760 50000.017490 9 59 59.67307
E 148364.956760 19999.984571 44 59 59.44392
F 148364.956760 30000.004494 44 59 59.19721
G 148364.956760 40000.059433 44 59 58.87541
H 148364.956760 50000.161992 44 59 58.47831
I 148364.956760 19999.959449 79 59 59.70724
J 148364.956760 29999.965876 79 59 59.55159
K 148364.956760 40000.005126 79 59 59.35836
L 148364.956760 50000.088472 79 59 59.12844 A 222534.757861 19999.995122 9 59 59.56064 B 222534.757861 29999.994914 9 59 59.48726 C 222534.757861 39999.997730 9 59 59.40227 D 222534.757861 50000.004750 9 59 59.30564 E 222534.757861 19999.914250 44 59 58.61568
F 222534.757861 29999.894921 44 59 58.28635
G 222534.757861 39999.907773 44 59 57.87937
H 222534.757861 49999.965325 44 59 57.39452
I 222534.757861 19999.830856 79 59 59.33416
J 222534.757861 29999.771163 79 59 59.10568
K 222534.757861 39999.743094 79 59 58.83899
L B 0=51 00
L 0=100 00
222534.757861 49999.757933 79 59 58.53499
比对表1和表2同一大地线编号所对应的数据可知,由此求得的大地线长度的精度与边
长、取向都有关，并与大地线与起始纬线间的纬差有着密切的关系，当大地线与起始纬线在南北方向相距150km 以内时，40km 以下的大地线可达到2ppm 的边长相对精度，方位角精度可达1.1″；但当大地线与起始纬线在南北方向相距333km 时，40km 以下的大地线仅可达到8.5ppm 的边长相对精度，方位角精度仅为2.6″。

表3 取不同的原点，利用表1的数据按 式(4)求长度归化因子的新大地反解结果
序号
新大地坐标原点 B 0 ,L 0( °′) 起点纵坐标
S L1 (m)
新大地坐标简易公式反
解大地线长度
S 12 (m) 新大地坐标简易公式反解反解方位角
A 12
( °′″)
A 148364.956760 20000.001536 9 59 59.96126
B 148364.956760 30000.005210 9 59 59.92788
C 148364.956760 40000.012408 9 59 59.88503
D 148364.956760 50000.024350 9 59 59.83271
E 148364.956760 20000.016579 44 59 59.77306
F 148364.956760 30000.056104 44 59 59.55049
G 148364.956760 40000.133339 44 59 59.25426
H 148364.956760 50000.261116 44 59 58.88421 I
B 0=51 40 L 0=100 00
148364.956760 20000.015025 79 59 59.80710
J 148364.956760 30000.050716 79 59 59.65260 K 148364.956760 40000.120223 79 59 59.46050 L 148364.956760 50000.234823 79 59 59.23171 A 333773.490982 20000.001536 9 59 59.87770 B 333773.490982 30000.005210 9 59 59.79982 C 333773.490982 40000.012408 9 59 59.71064 D 333773.490982 50000.024350 9 59 59.61013
E 333773.490982 20000.016579 44 59 59.43698
F 333773.490982 30000.056104 44 59 59.03846
G 333773.490982 40000.133339 44 59 58.56099
H 333773.490982 50000.261116 44 59 58.00437
I 333773.490982 20000.015025 79 59 59.35016
J 333773.490982 30000.050716 79 59 58.96456
K 333773.490982 40000.120223 79 59 58.53965 L
B 0=50 00
L 0=100 00
333773.490982 50000.234823 79 59 58.07636
由表3的结果可知, 由此反解大地线的长度值与坐标原点的不同选取无关，因由式〔4〕
求得的虽则与原点的选取有关，但式〔2〕中所对应的总是同一条纬线段长度。

比较表1和表3的对应数据可知，对于40km 以下的大地线总可达到3.3ppm 的边长相对精度；
而方位角的精度随坐标原点的不同而不同，当大地线与起始纬线在南北方向相距333km 时，方位角精度可达1.5″。

m n m B n s Δ4结语
综上所述，直接以新大地纵坐标来计算长度归化因子并采用简易式来进行新大地主题已能达到较高的解算精度。

当与起始纬线在南北方向相距甚远时，则可采用按大地纬度求出长度归化因子的简易式，从而可进一步扩大新大地坐标的适用范围。

由于两种简易式均舍去了式(1) ,(7)中的高阶项，若要进一步提高解算精度或要扩大范围,就应采用精确式(1) 和(7)。

参考文献：
[1]施一民，朱紫阳.新型大地坐标系中大地线的微分方程和微分式［D ］.中国科技论文在
线中国科技论文在线优秀论文集第二辑,2006年
[2]施一民，范业明，朱紫阳. 新型大地坐标系中的大地主题解算［J］.同济大学学报（自
然科学版），2006,34（2）
[3]施一民，朱紫阳，范业明.新型大地坐标系与大地坐标系之间的转换［J ］.中国科技论在线，论文编号200503-15
[4]施一民，朱紫阳，范业明.坐标参数为长度量的一种新型的大地坐标系［J ］.同济大学学报（自然科学版），2005,33（11）
The Precision Verification of Inverse Solution of Geodesic Problem and the Application Range of its simple formulation in the New Form of Geodetic Coordinate System
SHI Yi-min1,2,LUO Yan1,CHEN Yue -mei1
(1 Department of Surveying and Geoinformatics,Tongji University,Shanghai, 200092,China ；
2. Key Laboratory of Modern Engineering Surveying, State Bureau of Surveying and Mapping, Shanghai,
200092, China)
Abstract: In order to check the actual precision of geodesic length and azimuth by simple inverse solution in the new form of geodetic coordinate system, respective results calculated from formulas for solution of geodetic problems in geodetic longitude and latitude are given to be compared and analysed. That exact value of the latitudinal scale factor of length could be calculated from geodetic latitude of the calculated points. It could be testified by the theoretical analysis and calculation that by this method not only the accurate value of latitudinal scale factor of length can be obtained, but also the valid range of the new form of geodetic coordinate system can be greatly enlarged
Key words: new form of geodetic coordinate system；inverse solution of geodesic
problem ；scale factor of length；range of application；simple formulas。