年高考数学总复习 (教材回扣夯实双基 考点突破 瞭望高考)第七章第1课时 直线及其方程课件

考向瞭望把脉高考
命题预测 从近几年的高考试题来看,求直线方程 是高考考查的重点,题型既有选择题、 填空题,又有解答题,无论是以何种题型 出现,都与其他知识点交汇命题,难度属
中、低档,主要考查直线方程的求法,考 查学生的运算能力. 预测2013年福建高考还会以求直线的
倾斜角、斜率及直线的方程为主要考
1 A2－k，0，B(0,1－2k)．
由|PA|· |PB| ＝ ＝
1 2 4＋4k 1＋k2 1 2 8＋4k ＋k2 ≥4. 2
1 当且仅当 k ＝ 2， k
即k＝±1时， |PA|· |PB|取最小值， 又k＜0，∴k＝－1， 这时l的方程是x＋y－3＝0.
3.在利用点斜式、斜截式、两点式和
截距式求直线方程时,要充分意识到 它们自身的局限性,点斜式和斜截式
不能表示斜率不存在的直线,两点式
不能表示与坐标轴平行或重合的直线,
而截距式既不能表示与坐标轴平行
或重合的直线也不能表示过坐标系 原点的直线．求直线方程也要利用
数形结合的思想方法，先结合图形
判断符合条件的直线有几条等．
＋∞)． 法二：设直线 l 的斜率为 k， 则直线 l 的方程为 y－2＝k(x＋1)， 即 kx－y＋k＋2＝0.
∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点 在直线 l 上， ∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0， 即(k－5)(4k＋2)≥0， 1 ∴k≥5，或 k≤－ . 2 即直线 l 的斜率 k 的取值范围是
互动探究 1.本例(2)中,若直线l与线段AB无交点, 求斜率k的取值范围．
1 解：由例题解答知－ <k<5. 2
直线的方程
求直线方程时 ,首先分析具备什么样的 条件,然后恰当地选用直线方程的形式 准确写出直线方程 .要注意若不能断定
直线具有斜率时 ,应对斜率存在与不存
在加以讨论.在用截距式时,应先判断截
2.(2012· 厦门调研)已知直线 l 方程为 x＋ 3y＋2a＝0,则直线 l 的倾斜角为( π A. 6 5π C. 6
答案：C
)
π B. 3 2π D. 3
3．已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB
的垂直平分线的方程是( )
A．4x＋2y＝5
B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5
D．x－2y＝5
(1)要正确理解倾斜角的定义，明确倾
斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
(2)经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直 线的斜率求法： ①当 x1＝x2 时，直线的斜率不存在，此 时直线的倾斜角为 90° . y2－y1 ②当 x1≠x2 时， k＝ .该公式与两点 x2－x1 顺序无关．
(3)求斜率，也可用k＝tan α(α≠90°), 其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜 率相互联系不可分割，牢记：“斜率 变化分两段，90°是分界线，遇到斜 率要谨记，存在与否需讨论”．
π π 例1 (1)直线 2xcosα－y－3＝0(α∈[ ， ]) 6 3 的倾斜角的变化范围是( π π A.[ ， ] 6 3 π π C.[ ， ] 4 2 ) π π B.[ ， ] 4 3 π 2π D.[ ， ] 4 3
(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方
程；
(2)求当|OA|＋|OB|最
小时,直线l的方程.
【思路分析】
求直线方程时，要善
于根据已知条件，选取适当的形 式．由于本题中所求值与|OA|、|OB|有 关，可用截距式．
【解】
(1)设所求的直线方程为
x y a＋b＝1(a＞0，b＞0)， 2 1 由已知得 ＋ ＝1， a b
斜截式
名称
方程的形式 Ax＋By＋ _________
已知 条件
局限性
无限制, A,B,C 可表示任 2 一般式 C _________ ＝0(A ＋ 为系数 何位置的 B2≠0) 直线 _________
思考探究
2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直
线是否一定可用两点式方程表示？
y2－y1 k＝ x2－x1 直线的斜率公式是__________.
3．直线方程的几种形式
名称 方程的形式 y－ y1 ________ 已知条件 局限性
点斜式
(x1,y1)为直 不包括垂 线上一定 直于x轴 ＝k(x－x1) 点,k为斜率 的直线 _________
k为斜率,b 不包括垂 y＝kx＋b 是直线在y 直于x轴 _________ 轴上的截距 的直线
1 － ∞ ，－ ∪[5，＋∞)． 2
【答案】
(1)B
1 (2)－∞，－ ∪[5，＋∞) 2
【误区警示】
本例(2)中，①忽视条件
中“与线段 AB 有交点”的条件，而 kAB 3 3 ＝ ，故得 k≠ 的错误结果； 5 5
②在直线由 PA 变化到 PB 的过程中，除 α＝90° 外的情况均符合条件， 而 kPA＝5， 1 1 kPB＝－ ，错误地得出－ ≤k≤5. 2 2
方法感悟
方法技巧
1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角
的取值范围,牢记直线的倾斜角,斜率与
正切函数图象间的关系如图所示:
2．二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A、B 不全为零)的几种情况： C 若 A＝0，则 y＝－B，它表示一条与 y 轴垂直的直线； C 若 B＝0，则 x＝－A，它表示一条与 x 轴垂直的直线；
思考探究 1.直线的倾斜角θ越大,斜率k就越大,这 种说法正确吗?
π 提示:这种说法不正确,由 k＝tanθ(θ≠ ) 2 π 知当 θ∈[0, )时,θ 越大,斜率就越大且为 2 π 正;当 θ∈( ,π)时,θ 越大,斜率也越大且为 2 负,但综合起来说是错误的.
2．直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2，y2)(x1≠x2)的
x y (2)设所求的直线方程为a＋b＝1 (a＞0，b＞0)， 2 1 由已知得 ＋ ＝1， a b ∴|OA|＋|OB|＝a＋b 2 1 ＝(a＋b)a＋b 2b a ＝3＋ ＋ ≥3＋2 2. a b
2b a 当且仅当 a ＝b时取等号， 此时可得 a＝2＋ 2，b＝ 2＋1， x y ∴所求直线 l 的方程为 ＋ ＝1, 2＋ 2 2＋ 1 即 x＋ 2y－2－ 2＝0.
【名师点评】
在研究最值问题时,可
以从几何图形入手,找到最值时的情形,
也可以从代数角度考虑,构建目标函数,
进而转化为研究函数的最值问题,这种 方法常常随变量的选择不同而运算的 繁简程度不同,解题时要注意选择.
互动探究
2.例3条件不变,当|PA|· |PB|取最小值时,
求直线l的方程.
解：设直线 l：y＝1＝k(x－2)(k＜0)， 分别令 y＝0，x＝0， 得
第七章
平面解析几何
第七章
平面解析几何
第1课时 直线及其方程
教材回扣夯实双基
基础梳理 1.直线的倾斜角与斜率 (1)x轴的正方向与直线向上的方向之间 所成的角叫做直线的倾斜角.我们规定 直线与x轴平行或重合时的倾斜角为零 度角,倾斜角的范围是0°≤α＜180°.
(2)斜率与倾斜角的关系:当一条直 线的倾斜角为α时,斜率可以表示为 k＝tanα __________,其中倾斜角α应满足的 α≠90° 条件是________.
当直线l由PA变化到与y轴平行的位置 PC时， 它的倾斜角由α增至90°， 斜率的取值范围为[5，＋∞)； 当直线l由PC变化到PB的位置时， 它的倾斜角由90°增至β，
1 斜率的变化范围是－∞，－ ， 2 1 故斜率的取值范围是－∞，－ ∪[5， 2
2 1 2 1 ＋ 2 1 于是 ·≤a b ＝ . ab 4 2
2 1 1 当且仅当 ＝ ＝ ， a b 2 即 a＝4，b＝2 时， 21 1 ·取最大值 ， ab 4 1 此时 S△AOB＝ ab 取最小值 4. 2 x y 故所求的直线 l 的方程为 ＋ ＝1， 4 2 即 x＋2y－4＝0.
直线方程的灵活应用
要根据条件,选用适当的直线方程的形 式.已知一点通常选择点斜式;已知斜率 选择斜截式;已知截距或两点,选择截距
式或两点式.另外,从所求的结论来看,若
求直线与坐标轴围成的三角形的面积
或周长,常选用截距式或点斜式.
例3
如图,过点P(2,1)作直线l,分别交x、
y轴正半轴于A、B两点．
距是否为0.若不确定,则需分类讨论.
例2 求经过点P(3,2),且在两坐标轴上
的截距相等的直线方程． 【思路分析】 寻找确定直线的两个
独立条件，根据不同的形式建立直线 方程．
【解】 法一：设直线 l 在 x，y 轴上的 截距均为 a， 若 a＝0，即 l 过点(0,0)和(3,2)， 2 ∴l 的方程为 y＝ x，即 2x－3y＝0. 3 x y 若 a≠0，则设 l 的方程为a＋a＝1，
若 A≠0,B≠0,则直线 Ax＋By＋C＝0 的 A C 斜率为 k＝－B,在 y 轴上的截距为－B; 若 C＝0,则直线 Ax＋By＋C＝0 过坐判断直线斜率是 否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定 每条直线都存在斜率. 2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角 的范围;二是要考虑正切函数的单调性.
3 2 ∵l 过点(3,2)，∴a＋a＝1，∴a＝5， ∴l 的方程为 x＋y－5＝0， 综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0. 法二：由题意，所求直线的斜率存在且 k≠0， 设直线方程为 y－2＝k(x－3)，
2 令 y＝0，得 x＝3－ ， k 令 x＝0，得 y＝2－3k， 2 由已知 3－ ＝2－3k， k 2 解得 k＝－1 或 k＝ ， 3
提示:不一定.(1)若x1＝x2且y1≠y2,直线
垂直于x轴,方程为x＝x1.(2)若x1≠x2且
y1＝y2,直线垂直于y轴,方程为y＝y1.(3)
若x1≠x2且y1≠y2,直线方程可用两点式
表示.
课前热身
1.已知两点 A(－3， 3)，B( 3，－1)， 则直线 AB 的斜率是( A. 3 3 C. 3 答案：D ) B.－ 3 3 D.－ 3
∴直线 l 的方程为： 2 y－2＝－(x－3)或 y－2＝ (x－3)， 3 即 x＋y－5＝0 或 2x－3y＝0.
【名师点评】 截距式要注意讨论截
距是否存在，及是否为零． 用待定系数法求直线方程的步骤： (1)设所求直线方程的某种形式；
(2)由条件建立所求参数的方程(组);
(3)解这个方程(组)求参数; (4)把所求的参数值代入所设直线方程.
答案：B
4．过点(－1,3)且平行于直线x－2y
＋3＝0的直线方程为________．
答案：x－2y＋7＝0
5．(2012· 三明质检)若直线l过点P(－4,
－1)，且横截距是纵截距的2倍，则直
线l的方程是________． 答案：x－4y＝0或x＋2y＋6＝0
考点探究讲练互动
考点突破
直线的倾斜 角与斜率
(2)直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2， －3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直 线l的斜率的取值范围为________．
【思路分析】
(1) 方程 → 得斜率
→ 求斜率范围 → 倾斜角的范围
(2)
【解析】
(1)直线 2xcosα－y－3＝0 的
斜率 k＝2cosα， π π 由于 α∈[ ， ]， 6 3 1 3 所以 ≤cosα≤ ， 2 2 因此 k＝2cosα∈[1， 3]．
查点.
典例透析
例
(2010· 高考安徽卷)过点(1,0)且与直
)
线x－2y－2＝0平行的直线方程是(
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
【解析】 ∵所求直线与直线 x－2y－2＝0 平行， 1 ∴所求直线斜率 k＝ ，排除 C、D. 2 又直线过点(1,0)，排除 B，故选 A.
设直线的倾斜角为 θ， 则有 tanθ∈[1， 3]， π π 由于 θ∈[0，π)，所以 θ∈[ ， ]， 4 3 π π 即倾斜角的变化范围是[ ， ]． 4 3
(2)法一： 设 PA 与 PB 的倾斜角分别为 α、 β， 直线 PA 的斜率是 k1＝5， 1 直线 PB 的斜率是 k2＝－ . 2