解题方法：临界状态的假设压轴题综合题及答案解析

解题方法：临界状态的假设压轴题综合题及答案解析
一、高中物理解题方法：临界状态的假设
1．一倾角为α的光滑绝缘斜面体固定在水平面上，整个装置处于垂直纸面向里的磁场中，如图所示．一质量为m，电荷量为q的带正电小球从斜面上由静止释放．已知磁感应强度为B，重力加速度为g．求：
（1）小球离开斜面时的速率；
（2）小球在斜面上滑行的位移大小．
【答案】（1）
cos
mg
v
qB
α
=（2）
22
22
cos
2sin
m g
x
q B
α
α
=
【解析】
(1)小球在斜面上运动,当F N=0时，离开斜面mg cosα=qvB
cos
mg
v
qB α
=
(2)小球在斜面上做匀加速直线运动mg sinα=ma
v2=2ax
解得
22
22
cos
2sin
m g
x
q B
α
α=
2．今年入冬以来，我国多地出现了雾霾天气，给交通安全带来了很大的危害．某地雾霾天气中高速公司上的能见度只有72m，要保证行驶前方突发紧急情况下汽车的安全，汽车行驶的速度不能太大．已知汽车刹车时的加速度大小为5m/s2．
（1）若前方紧急情况出现的同时汽车开始制动，汽车行驶的速度不能超过多大？（结果可以带根号）
（2）若驾驶员从感知前方紧急情况到汽车开始制动的反应时间为0.6s，汽车行驶的速度不能超过多大？
【答案】（1）125；（2）24m/s．
【解析】
试题分析：（1）根据速度位移公式求出求出汽车行驶的最大速度；
（2）汽车在反应时间内的做匀速直线运动，结合匀速直线运动的位移和匀减速直线运动的位移之和等于72m，运用运动学公式求出汽车行驶的最大速度．
解：（1）设汽车刹车的加速度a=﹣5m/s2，要在s=72m内停下，行驶的速度不超过v1，
由运动学方程有：0﹣v 12=﹣2as ① 代入题中数据可得：v 1=12m/s
（2）设有汽车行驶的速度不超过v 2，在驾驶员的反应时间t 0内汽车作匀速运动的位移
s 1： s 1=v 2t 0 ② 刹车减速位移s 2=③
s=s 1+s 2 ④
由②～④式并代入数据可得：v 2=24m/s 答：（1）汽车行驶的速度不能超过m/s ；
（2）汽车行驶的速度不能超过24m/s ．
【点评】解决本题的关键知道在反应时间内汽车做匀速直线运动，刹车后做匀减速直线运动，抓住总位移，结合运动学公式灵活求解．
3．水平传送带上A 、B 两端点间距L ＝4m ，半径R ＝1m 的光滑半圆形轨道固于竖直平面内，下端与传送带B 相切。

传送带以v 0＝4m/s 的速度沿图示方向匀速运动，m ＝lkg 的小滑块由静止放到传送带的A 端，经一段时间运动到B 端，滑块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，g ＝10m/s 2。

(1)求滑块到达B 端的速度；
(2)求滑块由A 运动到B 的过程中，滑块与传送带间摩擦产生的热量；
(3)仅改变传送带的速度，其他条件不变，计算说明滑块能否通过圆轨道最高点C 。

【答案】(1)v B =4m/s ； (2)Q ＝8J ； (3)不能通过最高点 【解析】 【分析】
本题考查了动能定理和圆周运动。

【详解】
⑴滑块在传送带上先向右做加速运动，设当速度v = v 0时已运动的距离为x 根据动能定理
201-02
mgx mv μ=
得
x=1.6m ＜L
所以滑块到达B 端时的速度为4m/s 。

⑵设滑块与传送带发生相对运动的时间为t ，则
0v gt μ=
滑块与传送带之间产生的热量
0()Q mg v t x μ=-
解得
Q = 8J
⑶设滑块通过最高点C 的最小速度为C v 经过C 点，根据向心力公式
2
C mv mg R
= 从B 到C 过程，根据动能定理
2211
222
C B mg R mv mv -⋅=
- 解得经过B 的速度
50B v =m/s
从A 到B 过程，若滑块一直加速，根据动能定理
2
1
02
m mgL mv μ=-
解得
40m v =m/s
由于速度v m ＜v B ，所以仅改变传送带的速度，滑块不能通过圆轨道最高点。

4．一辆货车运载着圆柱形光滑的空油桶。

在车厢底,一层油桶平整排列，相互紧贴并被牢牢固定。

上一层只有一只桶C ，自由地摆放在A 、B 之间，和汽车一起保持静止，如图所示，当C 与车共同向左加速时
A ．A 对C 的支持力变大
B ．B 对
C 的支持力不变 C 3
g 时，C 将脱离A D 3
g 时，C 将脱离A 【答案】D 【解析】 【详解】
对C 进行受力分析，如图所示，
设B 对C 的支持力与竖直方向的夹角为θ，根据几何关系可得：1
22
R sin R θ=＝，所以θ=30°；同理可得，A 对C 的支持力与竖直方向的夹角也为30°； AB ．原来C 处于静止状态，根据平衡条件可得：
N B sin30°=N A sin30°；
令C 的加速度为a ，根据正交分解以及牛顿第二定律有：
N ′B sin30°-N ′A sin30°=ma
可见A 对C 的支持力减小、B 对C 的支持力增大，故AB 错误； CD ．当A 对C 的支持力为零时，根据牛顿第二定律可得：
mg tan30°=ma
解得：
3a g =
则C 错误，D 正确； 故选D 。

5．火车以速率v 1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车为s 处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率v 2做匀速运动，于是司机立即使车做匀减速运动，该加速度大小为a ，则要使两车不相撞，加速度a 应满足的关系为 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
试题分析：两车速度相等时所经历的时间：12
v v t a
-=
，此时后面火车的位移为：22
12
12v v x a
-=
前面火车的位移为：2
12222v v v x v t a -==，由12x x s =+解得：2
12()2v v a s
-=，所以加速
度大小满足的条件是：2
12()2v v a s
-≥，故选项D 正确．
考点：匀变速直线运动的位移与时间的关系、匀变速直线运动的速度与时间的关系 【名师点睛】速度大者减速追速度小者，速度相等前，两者距离逐渐减小，若不能追上，速度相等后，两者距离越来越大，可知只能在速度相等前或相等时追上．临界情况为速度相等时恰好相碰．
6．如图所示，光滑水平桌面上放置一个倾角为37°的光滑楔形滑块A ，质量为M =0.8kg 。

一细线的一端固定于楔形滑块A 的顶端O 处，细线另一端拴一质量为m =0.2kg 的小球。

若滑块与小球在外力F 作用下，一起以加速度a 向左做匀加速运动。

取g =10 m/s 2;s in 370=0.6;s in 530=0.8，则下列说法正确的是（ ）
A ．当a =5 m/s 2时，滑块对球的支持力为0 N
B ．当a =15 m/s 2时，滑块对球的支持力为0 N
C ．当a =5 m/s 2时，外力F 的大小为4N
D ．当a =15 m/s 2时，地面对A 的支持力为
10N 【答案】BD 【解析】 【详解】
设加速度为a 0时小球对滑块的压力等于零，对小球受力分析，受重力和拉力， 根据牛顿第二定律，有：
水平方向：0cos37F F ma =︒=合， 竖直方向：sin37F mg ︒=，
解得204
13.3m/s 3
a g =
= A.当2
05m/s a a =<时，小球未离开滑块，斜面对小球的支持力不为零，选项A 错误； B.当2
015m/s a a =>时，小球已经离开滑块，只受重力和绳的拉力，滑块对球的支持力为
零，选项B 正确；
C.当25m/s a =时，小球和楔形滑块一起加速，由整体法可知：
()5N F M m a =+=
选项C 错误；
D.当系统相对稳定后，竖直方向没有加速度，受力平衡，所以地面对A 的支持力一定等于两个物体的重力之和，即
()10N N M m g =+=
选项D 正确。

故选BD 。

7．如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B 点脱离后做平抛运动，经过0.3秒后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰到。

已知圆轨道半径为R =1m ，小球的质量为m =1kg ，g 取10m/s 2。

求：
(1)小球在斜面上的相碰点C 与B 点的水平距离；
(2)小球经过圆弧轨道的B 点时，受到轨道的作用力N B 的大小和方向？
【答案】(1)0.9m ，(2)1N ，方向竖直向上。

【解析】 【详解】
(1)小球垂直落在斜面上，分解末速度：
00
y tan 45v v v gt ︒=
=
解得小球从C 点飞出时的初速度：03m/s v =，则B 与C 点的水平距离：
0x v t =
解得：0.9m x =；
(2)假设轨道对小球的作用力竖直向上，根据牛顿第二定律：
20
B v mg N m R
-=
解得：B 1N N =，方向竖直向上。

8．如图所示，在平面直角坐标系内，第I 象限的等腰三角形MNP 区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，y <0的区域内存在着沿y 轴正方向的匀强电场。

一质量为m 带电荷量为q 的带电粒子从电场中Q （-2h ，-h ）点以速度v 0水平向右射出，经坐标原点O 射入第I 象限，最后垂直于PM 的方向射出磁场。

已知MN 平行于x 轴，NP 垂直于x 轴，N 点的坐标为（2h ，2h ），不计粒子的重力，求： (1)电场强度的大小； (2)最小的磁感应强度的大小； (3)粒子在最小磁场中的运动时间。

【答案】(1) 202mv E qh =；(2) 0
min (21)mv B +=；(3) 0(21)h t v π=
【解析】 【分析】 【详解】
(1)由几何关系可知粒子的水平位移为2h ，竖直位移为h ，由类平抛运动规律得
02h v t =
2
12
h at =
由牛顿第二定律可知
Eq ma =
联立解得
20
2mv E qh
=
(2)粒子到达O 点，沿y 铀正方向的分速度
00
2y Eq h v at v m v ==
⋅= 则速度与x 轴正方向的夹角α满足
tan 1y v v α=
=
即
45α︒=
粒子从MP 的中点垂直于MP 进入磁场，由洛伦兹力提供向心力
2
v Bqv m R
=
解得
mv B qR
=
粒子运动轨迹越大，磁感应强度越小，由几何关系分析可得，粒子运动轨迹与PN 相切时，垂直于PM 的方向射出磁场垂直于MP 射出磁场，则
max max 22R R h
轨道半径
max (2R h =
粒子在磁场中的速度
0v =
解得
min 1)mv B qh
=
(3)带电粒子在磁场中圆周运动的周期
22R m
T v qB
ππ=
= 带电粒子在磁场中转过的角度为180︒，故运动时间
min 0
12122m t T B q π==⋅=
9．交管部门强行推出了“电子眼”，机动车擅自闯红灯的大幅度减少。

现有甲、乙两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为10m/s ．当两车快要到一十字路口时，甲车司机看到绿灯已转换成了黄灯，于是紧急刹车(反应时间忽略不计)，乙车司机为了避免与甲车相撞也紧急刹车，但乙车司机反应较慢(反应时间为0.5s )，已知甲车、乙车紧急刹车时产生的加速度大小分别为a 1=4m/s 2、a 2=5m/s 2。

求：
(1) 若甲司机看到黄灯时车头距警戒线15m ，他采取上述措施能否避免闯红灯？ (2) 乙车刹车后经多长时间速度与甲车相等？
(3) 为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车行驶过程中应保持多大距离？
【答案】(1) 能避免；(2) 2s ；(3) 保持距离≥2.5m。

【解析】 【详解】
(1) 设甲车停下来行驶的距离为x ，由运动学公式可得
2102v a x -=-，
可求得
2210m 12.5m 224
v x a ===⨯，
因为车头距警戒线15m ，所以能避免闯红灯；
(2) 设甲初始速度为1v ，乙的初始速度为2v ，设乙车刹车后经时间t 速度与甲车相等，则
有
()11220.5v a t v a t -+=-，
代入数值可得2s t =；
(3) 两车不相撞的临界条件是两车速度相等时恰好相遇，设甲、乙两车行驶过程中应保持
距离至少为L ，
由前面分析可知乙车刹车后2s 速度与甲车相等，设乙车反应时间为t ∆，由位移关系可得
()222221111
22
v t v t a t v t t a t L ∆+-=+∆-+，
代入数值联立可得 2.5m L =。

说明甲、乙两车行驶过程中距离保持距离≥2.5m。

10．客车以30m/s 的速度行驶，突然发现前方72m 处有一自行车正以6m/s 的速度同向匀速行驶，于是客车紧急刹车，若以3m/s 2的加速度匀减速前进，问： (1)客车是否会撞上自行车？若会撞上自行车，将会在匀减速前进多久时撞上？ (2)若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少多大？ 【答案】(1)会撞上,4s (2)4m/s 2 【解析】 【详解】
(1)两车速度相等经历的时间为
21
18s v v t a
-=
= 此时客车的位移为
2
1221144m 2v x a
v -==
自行车的位移为：
2248m x v t ==
因为x 2>x 1+72m 可以知道客车会撞上自行车； 设经过时间t 撞上则
21
307262
t at t -=+
解得
4t s =， 12t s = （舍去）
(2)两车速度相等经历的时间
21
2'
v v t a -=
根据位移关系有：
2
122221'722
v t a t v t +=+
得：
2'4m /s a =
故若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少为2'4m /s a =。