成都市列五中学(双桥校区)数学一元二次方程单元复习练习(Word版 含答案)

成都市列五中学（双桥校区）数学一元二次方程单元复习练习(Word
版含答案)
一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）
1．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发时，点P和点Q之间的距离是10cm；
（2）逆向发散:当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P，Q 两点的距离为多少？
（3）拓展应用：若点P沿着AO→OC→CB移动，点P，Q分别从A，C同时出发，点Q从点C移动到点B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为
12cm2？
【答案】（1）8
5
s或
24
5
s（2）62cm；213cm（3）4s或6s
【解析】
【分析】
(1)过点P作PE⊥BC于E，得到AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，利用勾股定理得到方程，故可求解；
（2）根据运动时间求出EQ、PE，利用勾股定理即可求解；
(3) 分当点P在AO上时，当点P在OC上时和当点P在CB上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．
【详解】
解：（1）设运动时间为t秒时，如图，过点P作PE⊥BC于E，
由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，
∵点P和点Q之间的距离是10 cm，
∴62+（16﹣5t）2＝100，
解得t1=8
5
，t2=
24
5
，
∴t＝8
5s或
24
5
s.
故答案为85s 或245
s
（2）t=2时，由运动知AP ＝3×2＝6 cm ，CQ ＝2×2＝4 cm ，
∴四边形APEB 是矩形，
∴PE ＝AB ＝6，BE ＝6，
∴EQ ＝BC ﹣BE ﹣CQ ＝16﹣6﹣4＝6，
根据勾股定理得PQ=2262PE EQ +=,
∴当t ＝2 s 时，P ，Q 两点的距离为62 cm ；
当t ＝4 s 时，由运动知AP ＝3×4＝12 cm ，CQ ＝2×4＝8cm ，
∴四边形APEB 是矩形，
∴PE ＝AB ＝6，BQ ＝8，CE=OP=4
∴EQ ＝BC ﹣CE ﹣BQ ＝16﹣4﹣8＝4，
根据勾股定理得PQ=22213PE EQ +=,
P ，Q 两点的距离为213cm .
（3）点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ，
当点P 在AO 上时，S △POQ ＝
2PO CO ⋅＝(163)62t -⋅＝12， 解得t ＝4．
当点P 在OC 上时，S △POQ ＝
2PO CQ ⋅＝(316)22t t -⋅＝12， 解得t ＝6或﹣23
（舍弃）． 当点P 在CB 上时，S △POQ ＝
2PQ CO ⋅＝(2223)62t t +-⨯＝12， 解得t ＝18＞8（不符合题意舍弃），
综上所述，经过4 s 或6 s 时，△POQ 的面积为12 cm 2．
【点睛】
此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．
2．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使12
11x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）k ＞﹣
13
且k ≠0；（2
）存在，7k =±详见解析 【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围． （2）利用根与系数的关系，根据211212
11,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．
【详解】
解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0
∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，
即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，
∴12k ＞﹣4
解得：k ＞13
-且k ≠0
（2
）存在，且7k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k
+-+=
= 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=
22222121122,x x x x x x ∴-+=
22121212()4(),x x x x x x ∴+-=
2222441()(),k k k k k k
+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-
21430,k k ∴--=
1,14,3,a b c ==-=-
24208,b ac ∴∆=-=
7k ∴==± k ＞1
3
-且k ≠0， 1
72130.21,3-≈--＞ 17.3
+-
∴满足条件的k 值存在，且7k =± ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
3．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加
1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%．
①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
【答案】（1）28（2）①76%②75，84%
【解析】
试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；
（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
②设润滑用油量是x 千克，则
x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12，
整理得：x 2﹣65x ﹣750=0，
（x ﹣75）（x+10）=0，
解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去），
60%+1.6%（90﹣x ）=84%，
答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
考点：一元二次方程的应用
4．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.
（1）求k 的取值范围；
（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-
，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-
34 ；（2）k=﹣1 【解析】
试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；
（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.
试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，
∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．
∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．
解得k ＜-34
； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．
则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，
∵=== 32
-， 解得：k=-1或k= 13
-（舍去），
∴k=﹣1
5．计算题
（1）先化简，再求值：2
1
x x -÷（1+211x -），其中x=2017． （2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值．
【答案】（1）2018；（2）m=4
【解析】
分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；
（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.
详解：（1）21x x -÷（1+211x -） =2221111
x x x x -+÷-- =()()22
111x x x x x +-⋅- =x+1，
当x=2017时，原式=2017+1=2018
（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0，
解得，m=4
点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.
6．如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（OA ＜OB ）且OA 、OB 的长分别是一元二次方程()
2x 31x 30-
++=的两个根，点C 在x 轴负半轴上， 且AB ：AC=1：2
（1）求A 、C 两点的坐标； （2）若点M 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连接AM ，设△ABM 的面积为S ，点M 的运动时间为t ，写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以 A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）解)2x 31x 30-
+=得（x 3x ﹣1）=0， 解得x 13，x 2=1。

∵OA ＜OB ，∴OA=1，3A （1，0），B （03AB=2。

又∵AB ：AC=1：2，∴AC=4。

∴C （﹣3，0）。

；
（2）由题意得：CM=t ，3
①当点M 在CB 边上时，3t 3
②当点M 在CB 边的延长线上时，S=t 3t 3）。

（3）存在，Q 1（﹣1，0），Q 2（1，﹣2），Q 3（1，2），Q 1（123
【解析】 试题分析：（1）通过解一元二次方程()
2x 31x 30-++=，求得方程的两个根，从而得到A 、B 两点的坐标，再根据勾股定理可求AB 的长，根据AB ：AC=1：2，可求AC 的长，从而得到C 点的坐标。

（2）分①当点M 在CB 边上时；②当点M 在CB 边的延长线上时；两种情况讨论可求S 关于t 的函数关系式。

（3）分AB 是边和对角线两种情况讨论可求Q 点的坐标：
7．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，
D 、
E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．
（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；
（2）如图2，李晨同学连接FC ，编制了如下问题，请你回答：
①∠FCD 的最大度数为 ；
②当FC ∥AB 时，AD= ；
③当以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边时，AD= ; ④△FCD 的面积s 的取值范围是 .
【答案】（1）2；（2）① 60°；②
；③；④.
【解析】 试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC 的长，即可得到AD 的长. （2）①当点E 与点C 重合时，∠FCD 的角度最大，据此求解即可.
②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.
③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.
④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.
∵CD=10，∴AD=2.
（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.
∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."
② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，
∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.
∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.
∵AC=12，∴AD=.
③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，
由②知DH=3，FH=，则HC=.
在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.
∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，
∴，即，解得.
④设AD=x，易知，即.
而，
当时，；当时，.
∴△FCD的面积s的取值范围是.
考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.
8．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以
3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）8
5
s或
24
5
s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴
cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是
；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=8
5
，x2=
24
5
；
∴经过8
5
s或
24
5
sP、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤16
3
时，则PB=16-3y，
∴1
2PB•BC=12，即
1
2
×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当16
3
＜x≤
22
3
时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
1 2BP•CQ=
1
2
（3y-16）×2y=12，
解得y1=6，y2=-2
3
（舍去）；
③22
3
＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
1 2QP•CB=
1
2
（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
考点：一元二次方程的应用．
9．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣
（2k+1）x+4（k﹣1
2
）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．
【答案】△ABC的周长为10．
【解析】
【分析】
分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将
k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．
【详解】
当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛
⎫-++-= ⎪⎝⎭
解得：52k = 当52
k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，
∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；
当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣
12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32
， ∴b +c ＝2k +1＝4．
∵b +c ＝4＝a ，
∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．
∴△ABC 的周长为10．
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．
10．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在正方形EFGH 的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD 的外接正方形．
探究一：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 的2倍． 因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为2，
所以EF ＝FG ＝GH ＝HE 2EB ＝x ，则BF 2﹣x ，
∵Rt △AEB ≌Rt △BFC
∴BF ＝AE 2﹣x
在Rt△AEB中，由勾股定理，得
x2+﹣x）2＝12
解得，x1＝x2＝
2
∴BE＝BF，即点B是EF的中点．
同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．
所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍
探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）
探究三：已知边长为1的正方形ABCD，一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）
探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）
【答案】不存在，详见解析
【解析】
【分析】
探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．
【详解】
探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，
所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC，
∴BF=AE﹣x，
在Rt△AEB中，由勾股定理，得，
x2+x）2=12，
整理得x2x+1=0，
b2﹣4ac=3﹣4＜0，
此方程无解，
不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；
探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，
所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC，
∴BF=AE=2﹣x，
在Rt△AEB中，由勾股定理，得，
x2+（2﹣x）2=12，
整理得2x2﹣4x+3=0，
b2﹣4ac=16﹣24＜0，
此方程无解，
不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，
故答案为不存在；
探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，
所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF﹣x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC，
∴BF=AE﹣x，
在Rt△AEB中，由勾股定理，得，
x2+﹣x）2=12，
整理得2x2﹣+n﹣1=0，
b2﹣4ac=8﹣4n＜0，
此方程无解，
不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．。