基于LMI和BMI的多时滞不确定离散系统稳定性凸优化算法

基于LMI和BMI的多时滞不确定离散系统稳定性凸优化算法陈炎龙;段红玉
【摘要】针对带有多输入输出时滞的范数有界不确定离散系统的稳定性问题，本文根据Lyapunov方法，采用线性矩阵不等式(LMI)和双线性矩阵不等式（BMI）技术，给出了系统稳定性的新定理，设计了闭环系统的状态反馈鲁棒控制器，并用Matlab 控制工具箱数值求解，最后利用凸优化技术给出了一个可保成本的有效迭代算法。

仿真案例验证了所提理论和算法的正确性和有效性。

【期刊名称】《制造业自动化》
【年(卷),期】2013(000)024
【总页数】4页(P1-3,7)
【关键词】线性矩阵不等式;双线性矩阵不等式;凸优化技术
【作者】陈炎龙;段红玉
【作者单位】河南牧业经济学院信息工程系，郑州 450011;河南牧业经济学院信息工程系，郑州 450011
【正文语种】中文
【中图分类】TP273
0 引言
实际控制系统中产生的不确定性和时滞会降低系统的稳定性，这使得近十年来不确定时滞系统鲁棒控制研究倍受关注[1～3]，在不确定离散多时滞系统的稳定性研究
和成本界方面也取得了一些成果[4～6]。

然而，基于LMI的不确定多时滞离散系
统稳定性和可保成本方面的研究较少。

最近，文献[7]利用线性矩阵不等式（LMI）解决了一类带有单输入输出时滞不确定系统的保成本控制，文献[8]推广了这一系统，获得了多时滞离散系统稳定性和可保成本的新LMI方法。

真对文献[8]，本文
研究了基于LMI和BMI的多时滞不确定离散系统稳定性凸优化算法，以提高可保成本控制水平和获得较小下界。

1 相关基础知识
以如下不确定多时滞离散系统为例[8]：
针对系统（1），选取Lyapunov函数为：
其中， P＞0,Si＞ 0, Tj ＞0。

定义1 对系统（1）和成本函数（2），如果存在状态反馈控制器u∗（k）和正数
J∗，使得闭环系统（3）渐进稳定，且J ≤J ∗，则称J ∗为可保成本，u∗（k）为
保成本控制律。

引理1[8] 给定矩阵D,E 和维数适当的对称矩阵G，对满足FT F ≤ I 的矩阵F，不
等式G+DFE+ETFT DT ＜0成立的充要条件是存在实数e＞0 使得 G+eD D
T+e−1ET E＜0。

2 所提系统稳定标准
则系统（3）是渐进稳定的，且可保成本：
证明由公式（4）的Lyapunov函数V（x（k））沿公式（3）系统任意轨线的向
前差分为：
令，η（k）=（xT （k）,xT （k−τ））T，将公式（7）中
i第二项改写为：
因此：
根据Lyapunov稳定理论，公式（3）的系统是渐进稳定的。

不等式（8）表明：
上式可以改写成：
据引理，公式（10）成立当且仅当存在实数e ＞0使得下式成立：式（12）边同时乘以diag （X,{X m },{X n },I,I），再次利用Schur complement引理，公式（12）与公式（5）等价。

而且，由公式（7）式得到：
将公式（13）两边从0到∞求和，结合系统稳定性，就有：
3 所提相关凸优化算法
注3：本算法依赖于初始可行解，在不等式（6）有可行解得情况下，算法可能求不到解.但是如果初始可行解满足算法，由于它考虑解的迭代搜索，使得获得的近优解具有较少的保守性。

4 实例验证
考虑不确定多时滞离散系统[8]：
K=（−0.0363,−0.0459,−0.0132）.相应于（6）式的可保成本J *=16.5445，小于文献[8]中的J *=18.5931。

5 结束语
本文研究了多时滞不确定离散系统的稳定性，给出了一个系统稳定定理，并基于LMI和BMI，提出了一个相关稳定性凸优化算法，同文献[8]的方法相比，本文优化算法能够获得较小的可保成本。

参考文献：
[1]K.Ramakrishnan,G.Ray.Robust stability criteria for a class of uncertain discrete-time systems with time-varying delay[J].Applied Mathematical Modelling,2013,37（3）：1468-1479.
[2]Duyu Liu,Shouming Zhong，Xinzhi Liu.Stability analysis for uncertain switched neutral systems with discrete timevarying delay：A delay-dependent method[J].Mathematics and Computers in Simulation,2009,80（2）：436-448.
[3]吴江江,余世明.一类不确定多时滞离散系统的稳定性分析与鲁棒控制器设计[J].自动化技术与应用,2010,29（1）：1-3.
[4]罗跃生,龚新平,李彤.离散多时滞系统时滞记忆鲁棒H∞容错控制[J].华中科技大学学报（自然科学版）,2011,30（11）：61-67.
[5]Z.Q.Zuo.Y.J.Wang.Novel Optimal Guaranteed Cost Control of Uncertain Discrete Systems with Both State and Input Delays[J].Journal of Optimization Theory and Appli cations,2008,139（10）：159-170.
[6]Zhang，Tang.Output feedbackH∞control for uncertain piecewise linear systems[J].Journal of Dynamical and Control Systems,2008,l4（1）：141-144.
[7]李阳.多时滞离散系统的反馈控制器设计[J].科学技术与工程,2012,12（31）：8434-8437.
[8]杨晓娜,吴华滨,林小峰.基于HDP的离散多时滞系统的优化控制[J].计算机测量与控制,2013,21（2）：388-290.。