【全程复习方略】(浙江专用)高考数学 6

③由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质( )
④在数列{an}中，a1=1,
an
=
1 2
(an-1+
1 an-1
)
(n≥2,n∈N*)，由此归
纳出{an}的通项公式
()
【解析】（1）①假：不满足归纳推理的定义； ②假：不满足类比推理的定义； ③真：满足演绎推理的定义； ④真：使用了“三段论”但大前提中的“有些有理数”与小前 提中的“有理数”不是同一概念，故不符合三段论的推理形式. ⑤假，使用了“三段论”但小前提是正确的. （2）①是，使用了“三段论”. ②不是，使用了归纳推理不是演绎推理. ③不是，使用了类比推理. ④不是,使用了归纳推理. 答案：（1）①假 ②假 ③真 ④真 ⑤假 （2）①是 ②否 ③否 ④否
()
⑤使用了“三段论”但小前提错误
()
（2）判断下列推理过程是否是演绎推理（请在括号中填“是
”或“否”）
①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直
线的同旁内角，则∠A+∠B=180°
()
②某校高三（1）班有55人，（2）班有54人，（3）班有52人，
由此得高三所有班级人数超过50人
()
1 -x
,
设f1(x)=f(x),
fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1且n∈N*),则f3(x)的表达式为
，
猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为
.
1=1
(2)(2012·苏州模拟)观察式子： 3 + 5 = 8 你可以猜出的一个
一般性结论是
.
7+9+11=27
(3)设f(x)= 1 , 先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),
（2）演绎推理的理论依据 其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都 具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P. 提醒：应用三段论时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如 果前提是显然的，有时可省略.
答案：23
2.合情推理
归纳推理
类比推理
由某类事物的部分对象具有某 由两类对象具有某些类
些特征，推出该类事物的_全__部__ 似特征和其中一类对象
定 义
对象都具有这些特征的推理，
的 某些已知特征 ，推出
或者由个别事实概括出_一__般__结__ 另一类对象也具有这些
论 的推理
特征的推理
特 点
由部分到 整体 、由个别到 一般 的推理
3
=
+
3x+ 3 3+ 3 3x
= 1 + 3x
= 3+3x = 3.
3x+ 3 3( 3+3x) 3( 3+3x) 3
【反思·感悟】解决与归纳推理有关问题的关键点是找出其中 的规律，如第(1)题中通过递推关系得f2(x),f3(x),f4(x)可观察 其分子一样，分母变化的是x的系数，故可推出一般结论;第(2) 题中的关键问题是第n个等式的左边第一个数是多少，通过观察 可看出是第［1+2+…+(n-1)+1］个奇数，从而确定其等式关系； 第(3)题中规律是0+1=0+1-0,-1+2=-1+1-(-1),-2+3=-2+1(-2),从而得x+(1-x)的联想，x+(1-x)也可看成-x+1+x， 即f(-x)+f(1+x)= 3 也成立.
（1）演绎推理的结构 演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论， 它是由大前提、小前提、结论三部分组成的.三段论推理中包含 三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理； 第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况.这两个判断联合 起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第 三个判断：结论.
+ 30+ 3 31+ 3
=1+ 1 = 3 + 1 =3 , 1 +3 3 (1 +3 ) 3 (1 +3 ) 3 (1 +3 ) 3
同理可得：f(-1)+f(2)= 3,f(-2)+f(3)= 3.
3
3
由此猜想f(x)+f(1-x)= 3 .
3
证明：f(x)+f(1-x)=
1
3x
3x
1 +
+1 3 31-x+
归纳推理 【方法点睛】
归纳推理的特点 （1）归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理. （2）归纳推理所得结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多， 越具有代表性，推广的一般性结论也会越可靠.其结论的正确性 往往通过演绎推理来证明. （3）它是一种发现一般性规律的重要方法.
【例1】(1)已知：f(x)= x
“三段论”的表示
①大前提—— M是P. ②小前提—— S是M. ③结论——S是P．
【即时应用】
（1）命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所
以整数是无限循环小数”是假命题，判断下列说法的真假.
（填“真”，“假”）
①使用了归纳推理
()
②使用了类比推理
()
③使用了演绎推理
()
④使用了“三段论”但推理形式错误
【规范解答】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性
质是：若数列{an}是等差数列， 则数列 bn=a1+a2n+也...是+a等n 差数列. 证明如下：
设等差数列{an}的公差为d,则
bn=a1+ a2n + ...+ an=na1+n n (n2 -1)d= a1+d 2(n-1),
所以数列{bn}是以a1为首项，d2 为公差的等差数列.
平面 点 线 圆
三角形 角
面积 周长 ……
空间 线
面 球 三棱锥 二面角 体积 表面积 ……
【例2】(2012·安溪模拟)已知命题：“若数列{an}是等比数列 ，且an>0，则数列 bn=na1a2...an(nN *)也是等比数列”.类比这一 性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的 结论. 【解题指南】等差数列中的和类比等比数列中的积，等差数列中 的算术平均数类比等比数列中的几何平均数，故本题中的等比数 列的几何平均数应与等差数列的算术平均数类比.
•
3.演绎推理 （1）定义：从 一般性的原理 出发，推出 某个特殊情况 下的 结论，我们把这种推理称为演绎推理. （2）特点：演绎推理是由 一般到特殊 的推理. （3）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式：
“三段论”的结构
①大前提——已知的 一般原理 ； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对 特殊情况 做出的判断．
由 特殊 到 特殊 的推理
一般 步骤
(1)通过观察个别情况发现 某些相同性质； (2)从已知的相同性质中推 出一个明确的一般性命题( 猜想)
(1)找出两类事物之间的相 似性或一致性；(2)用一类 事物的性质去推测另一类 事物的性质，得出一个明 确的命题(猜想)
【即时应用】
(1)判断下列命题是否正确.（请在括号中填“√”或“×”）
2
共有n个奇数，即第n个等式应为 ［n(n-1)+1］+［n(n-1)+3］+［n(n-1)+5］+…+ ［n(n-1)+2n-1］=n3. 即(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3. 答案：(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3
1
1
(3)f(0)+f(1)=
（2）数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于 .
【解析】5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12，所以
x=32.
答案：32
1, 3, 5, 7,
2 n -1 ,
35
（3）已知数列
…, an =…2，n-1则, 是第
项.
【解2析n-1】=3由5题, 可知该数列的第n项
由
得2n-1=45，∴n=23.
①(ab)n=anbn与(a+b)n类比，则有(a+b)n=an+bn;
()
②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比，则有 sin(α+β)=sinαsinβ;
()
③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比，则有(a+b)2
=a2+2a·b+b2.
()
【解析】①错.(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2; ②错.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ≠sinαsinβ; ③对.（a+b）2=(a+b)·(a+b)=a2+2a·b+b2满足向量数量积的运 算. 答案：①× ②× ③√
【规范解答】(1)由f1(x)=f(x)= x 得
x
1 -x
f
2
(x
)=
f1
(f1
(x
))=
f1
(
x 1-x
)=
1-x 1- x
= x, 1-2x
1-x
x
f3
(x )= f 2
(f2
(x))=f
2
(
x 1-2x
)=
1-2x 1-2 x
=
x 1-4x
=
x 1-2 2x
1-2x
x
f4
(x )= f 3
3x+ 3
f(-2)+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.
【解题指南】（1）由已知条件及递推关系可推得f2(x),f3(x)及 fn(x). （2）由三个等式可推第四，第五个等式，从而得第n个等式即 一般结论. （3）由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2), f(-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x).
(2)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的
面积的比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体为
.
【解析】两个正四面体的棱长的比为1∶2，则其高之比为
1∶2，底面积之比为1∶4，故其体积的比为1∶8.
答案 ：1∶8
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/152022/1/15January 15, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/152022/1/152022/1/151/15/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/152022/1/15
【反思·感悟】1.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公 式的重要手段，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、 相等与不等、等差与等比之间有不少结论，都是先用类比法猜想， 而后加以证明的. 2.类比的关键是确定两类对象之间，某些性质的可比性与合理性 .
演绎推理
【方法点睛】 演绎推理的特点
1.推理 （1）定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的 判断的思维过程. （2）分类：推理一般分为合情推理 与 演绎推理 两类.
【即时应用】 （1）思考：一个推理是由几部分构成的？ 提示：从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的 事实（或假设）叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做 结论.
第五节 合情推理与演绎推理
三年20考 高考指数:★★★★ 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理， 了解合情推理在数学发现中的作用； 2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运 用它们进行一些简单推理； 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
1.归纳推理与数列相结合问题是考查重点； 2.类比推理、演绎推理是重点，也是难点； 3.以选择题、填空题的形式考查合情推理；以选择题或解答题 的形式考查演绎推理，题目难度不大，多以中低档题为主.
(f3 (x ))= f 3
(
x 1-4x
)=
1-4x 1-4 x
=
x 1-8x
=
x 1 -2 3 x
,
故猜想 fn (x)=1-2xn-1x .
1-4x
答案： f3(x)=1-2 x2xfn(x)=1-2xn-1x
(2)由前三个等式得13+15+17+19=64=43, 21+23+25+27+29=125=53，所以第n个等式的第一个数应为第 ［1+2+…+（n-1)+1］个奇数，即为2( n［- 1 ) n +1］-1=n(n-1)+1,
3
类比推理 【方法点睛】 1.类比推理的步骤 类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象 其他属性亦类似的一种推理方法，是由特殊到特殊的推理，其 一般步骤为： （1）找出两类事物之间的相似性或一致性； （2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明 确的命题（猜想）.
2.类比的方法 类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、 公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般 平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比如表所示：