徐州市学高第一次质量检测数学试卷有详细答案

徐州市学高第一次质量检
测数学试卷有详细答案 The following text is amended on 12 November 2020.
徐州市2007---2008学年度高三第一次质量检测
数 学 试 卷
一、填空题：（每题5分，计70分）
1．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期为
2．已知ab c b a c b a ABC =-+∆222,,且三边长分别为，求_____C ∠ 3．=++5lg 5lg 2lg 2lg 2 4．复数
2008
11i i i
++-对应的点位于复平面的第 ▲ 象限. 5．已知双曲线03212
2
=+-=-y x a
y x 的一条渐近线与直线垂直，则a= 6．已知伪代码如下，则输出结果S= ▲ .
I ←0 S ←0
While I ＜6 I ←I+2 S ←S+I 2
End while Print S
7．若命题“∃x ∈R,使x 2+(a －1)x+1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为 . 8. 如图，命题：点P,Q 是线段AB 的三等分点，则有OP OQ OA OB +=+，
把此命题推广,设点A 1,A 2 A 3，.．．．．，Ａｎ－１是ＡＢ的
ｎ等分点（ｎ≥３），则有
121n OA OA OA -++
+= ()OA OB +
9. 函数]2
,0[cos sin π
在与x y x y ==内的交点为P ，它们在点P 处的两条切线与x
轴所围成的三角形的面积为
10．2008年奥运会8月8日~24日在北京举行，某人为了观看这次体育盛会，从2001年起，每年8月1日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期本息均自动转存为新的一年定期，到2008年8月1日将所
有的存款及利息全部取回(不计利息税)，则可取回的钱的总数为 （元）
11．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚
才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a ，b ∈{
}6,5,4,3,2,1，若1≤-b a ，O
A P
Q B
第10题图
则称“甲乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．
12．某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(C ︒)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据算得线性回归方程a bx y
+=ˆ中的2-≈b ，预测当气温为C ︒-5时，热茶销售量为
＿＿＿＿杯．（回归系数x b y a x
n x
y x n y
x b n
i i
i
n
i i -=--=
∑∑==,2
1
21
）
13．定义在)()()()(),0(xy f y f x f x f =++∞满足的函数，且0)(1<>x f x 时，若不等式
)()()(22a f xy f y x f +≤+对任意),0(,+∞∈y x 恒成立，则实数a 的取值范围 14．以下四个命题：
①;sin sin ,B A B A ABC >>∆的充要条件是中
②函数;0)2()1()2,1()(<=f f x f y 是上存在零点的充要条件在区间 ③等比数列4,16,1}{351±===a a a a n 则中，；
④把函数)22sin(x y -=的图像向右平移2个单位后得到的图像对应的解析式为)24sin(x y -= 二、解答题：
15．已知A(3,0),B(0,3),C()sin ,cos αα.
（1） 若的值；求)4
sin(,1π
α+
-=⋅BC AC
（2） 若与，求且｜),0(,13|πα∈=+的夹角。

16．高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
分别为；
17．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中
（GP
18．若椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 过点（-3，2），离心率为33，⊙O 的圆心为
原点，直径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为4)6()8(22=-+-y x ，过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，切点为A 、B.
(1)求椭圆的方程；
（2）若直线PA 与⊙M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线PA 的直线方程；
（3）求⋅的最大值与最小值.
19．已知二次函数)()(2R x a ax x x f ∈+-=同时满足：①不等式0)(≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式)()(21x f x f >成立。

设数列}{n a 的前n 项和)(n f S n =。

（1）求函数)(x f 的表达式； （2）求数列}{n a 的通项公式； （3）设5
)
3(+=n a n b ，1
126++-+=n n n
n n n b b b b b c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，
若对m n T n +>（)2*,≥∈n N n 恒成立，求实数m 的取值范围
２０．设a x t x x g x tx x x f 且,3
2)(,ln 321)(22++=+-=
、b 为函数)0()(b a x f <<的极值点
（１）求t 的取值范围；
（２）判断函数),()(a b x g --在区间上的单调性，并证明你的结论；
（3）设函数 y=[]a b x g --,)(在区间上的最大值比最小值大
3
2
，讨论方程f(x)=m 解的状况(相同根算一根)。

理科加试题
一、必做题（每题10分）
１．盒子中装着有标数字1,2,3,4,5的上卡片各２张，从盒子中任取３张卡片，按３张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用
ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求： （1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； （2）随机变量ξ的概率分布和数学期望； （3）计分不小于２0分的概率． 2．如图所示在直角梯形OABC 中
,1,2
====∠=∠AB OS OA OAB COA π
2=OC 点M 是棱SB 的中点，N 是OC 上的点，且ON ：NC=1：3，以OC,OA,OS 所在直
线建立空间直角坐标系xyz O -
(1)求异面直线MM 与BC 所成角的余弦值； (2)求MN 与面SAB 所成的角的正弦值．
二、选做题（从下面4题中选做2题）
C
B
A
O S
N M
3．圆222)1(r y x =+-与椭圆⎩⎨⎧==αα
sin cos 2y x 有公共点，求圆的半径r 的取值范围
4．解不等式4|2||12|<++-x x
5．已知矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=1232
M ，求矩阵M 的特征值与特征向量 6．如图2所示，AB 与CD 是⊙Ｏ的直径，AB ⊥CD ，P 是AB 延长线上一
点，连PC 交⊙Ｏ于点E ，连DE 交AB 于点F ，若BP AB 2=． 求证：23PB PO PF =⋅
参考答案：
15．已知A(3,0),B(0,3),C()sin ,cos αα.
（3） 若的值；求)4
sin(,1π
α+
-=⋅
（4） 若与，求且｜),0(,13|πα∈=+的夹角。

解：（1）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=αααα ……………………分 1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-=⋅∴αααα……………………分
得1)sin (cos 3sin cos 22-=+-+αααα……………………分
,3
2
sin cos =+∴αα……………………分 3
2
)4
sin(=
+
∴π
α…………………………………………分 （2）13|=+｜
,21
cos ,13sin )cos 3(22=∴=++∴ααα……………………分
,2
3
sin ,3
),,0(=
=
∴∈απ
απα ……………………分 ),2
3
,21(C ∴
θ的夹角为与设OC OB OC OB ,2
3
3=
⋅∴……………分 则23
323
3|
|||cos =
==OC OB θ ……………………分
6
),0(π
θπθ=
∴∈ 即为所求。

……………………分
16．解（1） ①1, ②,
③， ④1
(2)直方图如右
(3)利用组中值得
平均数为=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ；
在［129，155］上的概率为05.01.0275.010
6
++⨯=
答：总体平均数约为 在［129，155］上的概率约为
17．证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF,DF=AD=DC (1)连接DB ，可知B 、N 、D 共线，且AC ⊥DN 又FD ⊥AD FD ⊥CD ，
∴FD ⊥面ABCD ∴FD ⊥AC ∴AC ⊥面FDN FDN GN 面⊂ ∴GN ⊥AC
（2）点P 在A 点处
证明：取DC 中点S ，连接AS 、GS 、GA G 是DF 的中点，∴GS//FC,AS//CM ∴面GSA//面FMC GSA GA 面⊂
∴GA//面FMC 即GP//面FMC
18．解：（1）由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+===+10153314922
22222b a c b a a c b a
所以椭圆的方程为
110
152
2=+y x （2）由题可知当直线PA 过圆M 的圆心（8，6）时，弦PQ 最大
因为直线PA 的斜率一定存在， 设直线PA 的方程为：y-6=k(x-8)
又因为PA 与圆O 相切，所以圆心（0，0）到直线PA 的距离为10 即
101|68|2
=+-k k 可得9
13
31==k k 或
所以直线PA 的方程为：0509130103=--=+-y x y x 或 （3）设α=∠AOP 则α2,=∠∠=∠AOB BOP AOP 则120
1)(
21cos 2cos 222-=-=-=∠OP
OP OA AOB α 8210||,12210||min max =-==+=OP OP 10200
cos ||||2
-=
∠⋅=⋅∴OP
AOB OB OA OB OA
18
155
)(,855)(min max -
=⋅-
=⋅∴OB OA OB OA 19．解（1）0)(≤x f 的解集有且只有一个元素，
,40042==⇒=-=∆∴a a a a 或
当a=4时，函数)2,0(44)(2在+-=x x x f 上递减 故存在210x x <<，使得不等式)()(21x f x f >成立 当a=0时，函数),0()(2+∞=在x x f 上递增
故不存在210x x <<，使得不等式)()(21x f x f >成立 综上，得a=4，44)(2+-=x x x f …………………………5分 （2）由（1）可知442+-=n n S n
当n=1时，111==s a
当2≥n 时，1--=n n n s s a ]4)1(4)1[()44(22+----+-=n n n n 52-=n
⎩⎨
⎧≥-==-=∴-2521
,11n n n s s a n n n ………………………… （3）⎩
⎨⎧≥===+2,31,27)3(5
n n b n a n n ，,271
1=∴b
27
2
181-
=c 1
11231
3123333362+++-+=⨯-+⨯=≥n n n n n n n n c n 时，
n n c c c T +++= 21)31
31(
)1(21
21+-+-+=n n c ] =m n n n n n +>-++=-+-+-++113122711631912227218对2*,≥∈n N n 恒成立，
可转化为：131
27116+-++<n n m 对2*,≥∈n N n 恒成立 因为13
1
27116+-++n n 是关于n 的增函数，所以当n=2时，其取得最小值１８ 所以m<18
20解：（1）x tx x x f ln 32
1)(2
+-=
x t x x f 3
)('+-=∴(x>0)
由题意知，0)(',=x f b a 是方程即032=+-tx x 的两个不等正实根
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>>>-=∆=+=∴001232
a b t ab b a t 得⎪⎩⎪⎨⎧>=>+=3
2322.t ab b a t 32>∴t
（2）),()(a b x g --在区间单调递增
证明3
2)(2
++=
x t
x x g 2
22)3(6
22)('++--=∴x tx x x g
令622)(2+--=tx x x h ，对称轴为2
2b
a t x +-
=-= 又062622)(22>+=++-=-b ta a a h
),(0)('a b x x g --∈>∴对恒成立 ),()(a b x g --∴在区间上单调递增
（3）由（2）可知],[)(a b x g --在区间单调递增
32)()(2max ++-=
-=∴a t a a g x g 3
2)()(2
min ++-=-=b t
b b g x g 323
23222=++--++-∴b t b a t a 3,==+ab t b a
3)3131)((332222=+++-=+--+-b a a b b b a a a b 即 消去b 可得：0322=-+a a
舍）3(1-==∴a a 4,3==t b
x x x x f ln 3421)(2+-=
∴ x
x x f 3
4)('+-=∴ 令10)('==x x f 得 或3=x
0)(')01(>∈x f x 时
0)(')3,1(<∈x f x 时
0)('),3(>+∞∈x f x 时
27
1)(时，取得极大值＝－在==∴x x f y
3ln 32
15
3)(+==时，取得极大值＝－在x x f y
方程有一根时或当,3ln 3215
,27+-<->∴m m
方程有二根时＝或＝当,3ln 3215
,27+--m m
方程有三根时当,27
3ln 3215-<<+-m
理科加试题
１．盒子中装着有标数字1,2,3,4,5的上卡片各２张，从盒子中任取３张卡片，按３张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用
ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求： （1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； （2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分不小于２0分的概率．
解：（１）记＂一次取出的３张卡片上的数字互不相同的事件＂为Ａ，
则.32
)(3
10
12121235==C C C C C A P （２）由题意ξ有可能的取值为：２，３，４，５
==)2(ξP .30131022121222=+C C C C C ==)3(ξP .152
3
102
2141224=+C C C C C ==)4(ξP .10331022161226=+C C C C C ==)5(ξP .158
3
10
2
2181228=+C C C C C 所以随机变量ξ的概率分布为：
所以ξ的数学期望为Ｅξ＝⨯230＋⨯315＋⨯410＋⨯515＝3
（３）＂一次取出的３张卡片所得分不低于２０分＂为事件Ｃ
30
29
3011)2(1)(=
-==-=ξP C P 答：
2．如图所示在直角梯形OABC 中
,1,2
====∠=∠AB OS OA OAB COA π
2=OC 点M 是棱SB 的中点，N 是OC 上的点，且ON ：NC=1：3，以OC,OA,OS 所在直
线建立空间直角坐标系xyz O -
(3)求异面直线MM 与BC 所成角的余弦值； (4)求MN 与面SAB 所成的角的正弦值． 解(1)根据题意可得:
解：如图建系，则S(0,0,1) C(2,0,0) A(0,1,0) B(1,1,0)所以N (1,0,0) M()21
,21,21
(1) )21
,0,21(=MN )0,1,1(-=CB 2122
121
|
|,cos ==
⋅>=
<CB MN
21
所成角的余弦值为与直线BC MN ∴
(2)设平面SAB 的一个法向量为),,(c b a n = 则0)1,1,1(),,(=-+=-⋅=⋅c b a c b a SB n 0)1,1,0(),,(=-=-⋅=⋅c b c b a 令)1,1,0(1==b 可得法向量
2122
121
|
|,cos ==
⋅>=
<n MN
C B
A
O
S
N
M
2
1
所成角的正弦值为与面直线SAB MN ∴
3．圆222)1(r y x =+-与椭圆⎩⎨⎧==αα
sin cos 2y x 有公共点，求圆的半径r 的取值范围
解：将⎩
⎨⎧==ααsin cos 2y x 代入圆方程得
αα222sin )1cos 2(+-=r =32
)32(cos 32+-α
于是
,0,93
2
2>≤≤r r ]3,36的取值范围是［半径r ∴ 4．解不等式4|2||12|<++-x x
解：(Ⅰ)当x<-2时,得-(2x-1)-(x+2)<4得3
5
->x ,此时不等式无解；
(Ⅱ)当-2≤x<21，得-(2x-1)+(x+2)<4得x>-1,21
1<<-∴x ；
(Ⅲ)当x 21≥时，得(2x-1)+(x+2)<4,得12
1
<≤x
综上原不等式的解集为(－1,1)
5．矩阵变换（本题满分10分）已知矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=1232
M ，求矩阵M 的特征值与特征向量
解：矩阵M 的特征多项式为
6)1)(2(1
23
2)(---=----=
λλλλλf …………………分
令0)(=λf 得矩阵M 特征值为：1,421-==λλ…………………分
将λ=4代入方程：⎩⎨⎧=-+-=--0
)1(20
3)2(y x y x λλ
可得矩阵M 属于特征值4的特征向量为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡k k 23)0,(≠∈k R k …………………
分
同理属于特征值-1的特征向量为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-k k )0,(≠∈k R k …………………分
6．如图2所示，AB 与CD 是⊙Ｏ的直径，AB ⊥CD ，P 是AB 延长线上一点，连PC 交⊙Ｏ于点E ，连DE 交AB 于点F ，若BP AB 2=． 求证：23PB PO PF =⋅
证明：︒=∠=∠90DEC POC P P ∠=∠
PEF ∆∴∽POC ∆
PO PF PC PE PC PF PO PE ⋅=⋅=∴即,
23PB PA PB PC PE =⋅=⋅
23PB PO PF =⋅∴
A
图2。