高中数学 511两角和与差的正弦和余弦课后训练 湘教版

第5章 三角恒等变换 5.1 两角和与差的三角函数 5.1.1 两角和与差的正弦和余弦
双基达标
(限时20分钟)
1．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)等于 ( )． A.12
B ．－12
C.3
2
D.－32
解析 原式＝cos [(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝1
2.
答案 A
2．已知cos(α－β)＝35，sin β＝－5
13，且α∈0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α＝________．
A.33
65
B.56
65
C ．－6365
D ．－5665
解析 ∵β∈－π2，0，sin β＝－513，∴cos β＝12
13.
∵α∈0，π2，β∈－π
2
，0，∴α－β∈(0，π)．
∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝4
5
.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×－513＝33
65. 答案 A 3.
2
2(cos 75°＋sin 75°)＝
( )．
A.12
B ．－12
C.
3
2
D ．－
32
解析
2
2
(cos 75°＋sin 75°)＝cos 45°cos 75°＋sin 45°sin 75°＝cos(75° －45°)＝cos 30°＝3
2
.故选C. 答案 C
4．若α为锐角且cos α＝5
5，则cos ⎝
⎛⎭⎫α－π4的值为________． 解析 ∵cos α＝
5
5
，α为锐角．
∴sin α＝25
5
.
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4
＝
22(sin α＋cos α)＝310
10
. 答案
310
10
5．函数f (x )＝sin x －cos x 的最大值为________． 解析 f (x )＝sin x －cos x ＝2⎝⎛
⎭
⎫22sin x －22cos x
＝2⎝
⎛
⎭⎪⎫sin x cos π4－cos x sin π4
＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π4.
答案
2
6．求函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π
3(x ∈R )的最大和最小值．
解 y ＝cos x ＋cos x cos
π3＋sin x sin π3
＝32cos x ＋32sin x ＝ 3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋1
2sin x ＝ 3⎝⎛⎭⎫cos π6cos x ＋sin π
6sin x
＝ 3cos ⎝⎛⎭⎫x －π
6.
∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x －π
6≤1.
∴y max ＝ 3，y min ＝－ 3.
综合提高 (限时25分钟)
7．若sin α＋sin β＝75，cos α＋cos β＝－7
5，则cos(α－β)＝ ( )．
A ．－24
25
B.24
25
C ．－150
D.150
解析 由sin α＋sin β＝75，cos α＋cos β＝－7
5，得2＋2sin α· sin β
＋2cos αcos β＝9825，∴2cos(α－β)＝9825－2＝4825，cos(α－β)＝24
25
.
答案 B
8．当－π2≤x ≤π
2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的
( )．
A ．最大值是1，最小值是－1
B ．最大值是1，最小值是－12
C ．最大值是2，最小值是－2
D ．最大值是2，最小值是－1
解析 f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋3
2cos x
＝2⎝
⎛
⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3
＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π3，
当x ＋π3＝π2，即x ＝π
6时，f (x )max ＝2；
当x ＋π3＝－π6，即x ＝－π
2时，f (x )min ＝－1.
答案 D
9．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝1
4，则cos αcos β＝ ( )．
A.1
12
B.7
12
C.7
24
D.124
解析 由已知得cos αcos β－sin αsin β＝1
3
，cos αcos β＋sin αsin
β＝14.两式相加得，2cos αcos β＝13＋14＝712，即cos αcos β＝7
24.故选C.
答案 C
10．已知sin α－cos β＝12，cos α－sin β＝1
3，则sin(α＋β)＝________.
解析 把sin α－cos β＝1
2两边平方，得
sin 2α－2sin αcos β＋cos 2β＝1
4.
①
把cos α－sin β＝1
3两边平方，得
cos 2α－2cos αsin β＋sin 2β＝1
9
.
②
①＋②，得1＋1－2(sin αcos β＋cos αsin β)＝13
36
.
∴2sin(α＋β)＝2－1336＝5936.∴sin(α＋β)＝59
72.
答案
59
72
11．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝12
13，且π2＜α－β＜π，3π2＜α＋β＜2π，求角β的
值．
解 由cos(α－β)＝－1213且π2＜α－β＜π，得到sin(α－β)＝5
13，由cos(α＋β)
＝1213且3π2＜α＋β＜2π，得到sin(α＋β)＝－5
13
. 于是cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×5
13
＝－1. 由于π2＜α－β＜π，所以－π＜β－α＜－π2，与3π
2＜α＋β＜2π相加得到，
π2＜2β＜3π2.故2β＝π，从而β的值为π2
. 12．(创新拓展)求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值． 解 设sin x ＋cos x ＝t ， 则t ＝sin x ＋cos x ＝ 2⎝⎛⎭
⎫22sin x ＋22cos x ＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，
∴t ∈[－2，2]，
∴sin x ·cos x ＝（sin x ＋cos x ）2－12＝t 2－12.
∴f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x
即g (t )＝t ＋t 2－12＝1
2(t ＋1)2－1，t ∈[－2， 2]．
当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1. 此时，由sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4＝－2
2，
解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π
2
，k ∈Z .
当t ＝ 2，即sin x ＋cos x ＝ 2时，f (x )max ＝ 2＋1
2.
此时，由2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝ 2，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4＝1.
解得x ＝2k π＋π
4
，k ∈Z .。