差分方程式与离散时间系统之脉冲响应
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線性系統運算元T[] 符合以下特性：
加成性(additivity) ：若T[x1]=y1 且T[x2]=y2 則T[x1+x2]= y1+y2，任何x1及x2皆成立。 一致性或等比例(homogeneity or scaling) ：若T [x] = y則 T [x] = y ，左式對於任何x及純量常數皆成立。 整合成疊加特性(superposition property):
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 14
離散時間LTI系統脈衝響應
考量一離散時間LTI (Linear Time Invariant) 系統的 輸入為單位脈衝序列時，其輸出序列的數學模型描 述為
y[n] h[n] T{ [n]}
(3.3)
[n]
離散時間 LTI 系統
顯然 yd[n] 與 y[n n0]不相等，故此系統為一時變系統。
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 12
範例3-6：非時變系統
假設系統之輸出/輸入關係為: 系統為一非時變系統。
y[n] cos(x[n])
，請說明此
此系統之輸入訊號與輸出訊號分別為x [n]和y[n]，假設輸入訊號
(3.8)
上式是著名的旋積和(convolution sum)運算，表 示成
y[n]
數位訊號處理_余兆棠
k
x[k ]h[n k ] x[n] h[n]
第3章 離散時間系統時域分析
(3.9)
18
Байду номын сангаас
離散時間LTI系統的輸入/輸出關係示意圖
離散時間LTI系統的輸入/輸出關係示意圖
之輸入時間延後n0，此時輸入訊號為xd[n] = x[nn0]，此情況之 系統輸出訊號為
yd [n] T[ xd [n]] T[ x[n n0 ]] (n 2) x[n n0 ]
檢驗原輸出訊號輸出時間也平移n0之結果為
y[n n0 ] (n n0 2) x[n n0 ]
之輸入時間延後n0，此時輸入訊號為xd[n] = x[nn0]，此情況之 系統輸出訊號為
yd [n] T[ xd [n]] T[ x[n n0 ]] cos(x[n n0 ])
檢驗原輸出訊號輸出時間也平移n0之結果為
y[n n0 ] cos(x[n n0 ])
顯然 yd[n] 與 y[n n0]相等，故此系統為一非時變系統。
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 20
旋積和運算特性(1)
交換律(commutative)
x[n] h[n] h[n] x[n]
(3.10)
k
x[k ]h[n k ] x[n k ]h[k ]
k
(3.11)
結合律(assciative)
x[n]
y[n] 非時變系統 y[n n0]
11
x[n n0]
數位訊號處理_余兆棠
非時變系統
第3章 離散時間系統時域分析
範例3-5：時變系統
假設系統之輸出/輸入關係為: 系統為一時變系統。
y[n] (n 2) x[n] ，請說明此
此系統之輸入訊號與輸出訊號分別為x[n]和y[n]，假設輸入訊號
換成輸出訊號y，以數學模型描述此轉換為 y = T [ x]
其中T[]表示某種經過嚴謹定義的運算元(operator)將x轉換成y。
數位訊號處理_余兆棠
第3章 離散時間系統時域分析
3
系統數學模型示意圖
x 系統
T []
y
(a) 單一輸入/單一輸出訊號系統
x1 x2 xn
系統
： ： T [] ： ：
若系統符合以上特性者稱為線性系統(linear system) 若系統不符合以上特性者稱為非線性系統(nonlinear system) 。
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 7
線性離散系統示意圖
x1[n] x2[n]
線性系統 線性系統
y1[n] y2[n]
a1x1[n]+ a2 x2[n]
數位訊號處理
第3章 離散時間系統時域分析
第3章 離散時間系統時域分析
大綱
3.1 離散時間線性非時變系統 3.1.1 系統定義 3.1.2 連續時間系統與離散時間系統 3.1.3 線性系統與非線性系統 3.1.4 時變系統與非時變系統 3.2 離散時間LTI系統響應 3.2.1 離散時間LTI系統之脈衝響應 3.2.2 任意輸日序列的輸出響應 3.3 旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算 3.4 離散時間LTI系統的特性 3.4.1 無記憶特性 3.4.2 因果特性 3.3.3 穩定特性 3.5 差分方程式與時間系統 3.5.1 差分方程式描述離散時間系統 3.5.2 差分方程式與離散時間系統之脈衝響應 3.6 總結與參考文獻
符合疊加特性，故此系統為一線性系統。
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 9
範例3-4：非線性系統
] 假設系統之輸出/輸入關係為: y[n] x 2[n，請說明此系 統為一非線性系統。
假設將任意兩訊號x1[n]和x2[n]分別輸入此系統，分別產生之 輸出訊號y1[n]和y2[n]可表示成
y1[n] T [ x1[n]] (n 2) x1[n] y2 [n] T [ x2 [n]] (n 2) x2 [n]
檢驗輸入訊號a1x1[n]+a2x2[n]對應之輸出訊號
T [a1 x1[n] a2 x2 [n]] (n 2)[a1 x1[n] a2 x2 [n]] a1 (n 2) x1[n] a2 (n 2) x2 [n] a1 y1[n] a2 y2 [n]
y1 y2
ym
(b) 多重輸入/多重輸出訊號系統
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 4
範例3-1：單一輸入/輸出連續時間系統之例子
下圖敘述一個簡單的RC電路，若將電壓源信號視為一連續時 間輸入信號，且將電容之端電壓信號y(t)視為一連續時間輸出 信號，則此簡單的RC電路即是單一輸入/單一輸出信號連續時 間系統之一個例子。其輸入與輸出之關係可用一階常微分方 程式描述為：
y[n]=h[n]
數位訊號處理_余兆棠
第3章 離散時間系統時域分析
15
任意輸入序列的輸出響應(1)
任何輸入序列可以表示為
x[n]
k
x[k ] [n k ]
(3.4)
考量一離散時間LTI系統的輸入為任意序列時， 其輸出序列可描述成：
y[n] T {x[n]} T { x[k ] [n k ]}
[n]
x[n]
離散時間 LTI 系統 h[n]
h[n] y[) n] = x[n] h[n]
數位訊號處理_余兆棠
第3章 離散時間系統時域分析
19
大綱
3.1 離散時間線性非時變系統 3.1.1 系統定義 3.1.2 連續時間系統與離散時間系統 3.1.3 線性系統與非線性系統 3.1.4 時變系統與非時變系統 3.2 離散時間LTI系統響應 3.2.1 離散時間LTI系統之脈衝響應 3.2.2 任意輸日序列的輸出響應 3.3 旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算 3.4 離散時間LTI系統的特性 3.4.1 無記憶特性 3.4.2 因果特性 3.3.3 穩定特性 3.5 差分方程式與時間系統 3.5.1 差分方程式描述離散時間系統 3.5.2 差分方程式與離散時間系統之脈衝響應 3.6 總結與參考文獻
{x[n] h1[n]} h2[n] x[n] {h1[n] h2[n]}
分配律(distributive)
(3.12)
x[n] {h1[n] h2[n]} x[n] h1[n] x[n] h2[n]
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析
(3.13)
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 2
系統定義
為達成某些特定功能或目的，由某些物件單元組成的物體稱為
系統(system) 。 系統也可看成一種描述輸入訊號與輸出訊號之關係或過程的一 種數學模型。 假設x表示系統的輸入訊號，y表示系統的輸出訊號，那麼系統
可看成某種轉換(transformation)或映射(mapping)將輸入訊號x轉
式計息，那麼當月份計息後，張先生在該銀行之總存款金額
y[n]為 ：
y[n] 1.0025y[n 1] x[n]
若將總存款金額y[n]視為輸出序列，當月存入金額x[n]視為輸
入序列，則張先生的退休基金準備計劃可以視為一個單一輸
入/輸出之離散時間系統。
數位訊號處理_余兆棠
線性系統與非線性系統
y1[n] T [ x1[n]] x1 [n] y2 [n] T [ x2 [n]] x2 [n]
2 2
檢驗輸入訊號a1x1[n]+a2x2[n]對應之輸出訊號
T [a1 x1[n] a2 x2 [n]] (a1 x1[n] a2 x2 [n])2 a1 x1 [n] 2a1a2 x1[n]x2 [n] a2 x2 [n] a1 y1[n] a2 y2 [n]
再考量系統的非時變 (time-invariant)特性，由(3.3) 式我們可得
T{ [n k ]} h[n k ]
(3.7)
數位訊號處理_余兆棠
第3章 離散時間系統時域分析
17
任意輸入序列的輸出響應(3)
因此任意輸入序列的輸出響應可寫成
y[n]
k
x[k ]h[n k ]
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 13
大綱
3.1 離散時間線性非時變系統 3.1.1 系統定義 3.1.2 連續時間系統與離散時間系統 3.1.3 線性系統與非線性系統 3.1.4 時變系統與非時變系統 3.2 離散時間LTI系統響應 3.2.1 離散時間LTI系統之脈衝響應 3.2.2 任意輸日序列的輸出響應 3.3 旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算 3.4 離散時間LTI系統的特性 3.4.1 無記憶特性 3.4.2 因果特性 3.3.3 穩定特性 3.5 差分方程式與時間系統 3.5.1 差分方程式描述離散時間系統 3.5.2 差分方程式與離散時間系統之脈衝響應 3.6 總結與參考文獻
k
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析
(3.5)
16
任意輸入序列的輸出響應(2)
因為是線性系統，利用其疊加特性，(3.5)式可寫成
y[n] T { x[k ] [n k ]}
k
k
x[k ]T{ [n k ]}
(3.6)
2 2 2 2
不符合疊加特性，故此系統為一非線性系統。
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 10
時變系統與非時變系統
若一系統之輸入訊號的輸入時間提前或延後t0(連續時間系
統)或n0(離散時間系統)時，其對應的輸出訊號波形與原輸 出訊號波形相同，但其輸出訊號也提前或延後t0或n0，此 種系統稱為非時變系統(time-invariant system) 。 不符合以上特性之系統稱時變系統(time-varying system) 。
21
旋積和運算特性(2)
(3.10)式交替特性說明一離散時間LTI系統的輸入序 列 x[n]與脈衝響應 h[n]互換，其輸出 y[n]不受影響， 即下圖的兩個離散時間LTI系統輸出 y1[n] x[n] h[n] 與 y2[n] h[n] x[n] 完全相同。
線性系統
a1 y1[n]+ a2 y2[n]
數位訊號處理_余兆棠
第3章 離散時間系統時域分析
8
範例3-3：線性系統
假設系統之輸出/輸入關係為: y[n] (n 2) x[n] ，請說明此 系統為一線性系統。
假設將任意兩訊號 x1[n] 和 x2[n] 分別輸入此系統，分別產生之輸
出訊號y1[n]和y2[n]可表示成
dy (t ) 1 1 y (t ) x(t ) dt RC RC
R + x(t) i(t) C y(t)
RC 電路圖
數位訊號處理_余兆棠
範例3-2：單一輸入/輸出離散時間系統之例子
張先生以定期不定額方式準備退休基金，於當月份(或稱第n個 月)存入某銀行之金額為x[n]，假設月利率為0.0025，以複利方
加成性(additivity) ：若T[x1]=y1 且T[x2]=y2 則T[x1+x2]= y1+y2，任何x1及x2皆成立。 一致性或等比例(homogeneity or scaling) ：若T [x] = y則 T [x] = y ，左式對於任何x及純量常數皆成立。 整合成疊加特性(superposition property):
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 14
離散時間LTI系統脈衝響應
考量一離散時間LTI (Linear Time Invariant) 系統的 輸入為單位脈衝序列時，其輸出序列的數學模型描 述為
y[n] h[n] T{ [n]}
(3.3)
[n]
離散時間 LTI 系統
顯然 yd[n] 與 y[n n0]不相等，故此系統為一時變系統。
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 12
範例3-6：非時變系統
假設系統之輸出/輸入關係為: 系統為一非時變系統。
y[n] cos(x[n])
，請說明此
此系統之輸入訊號與輸出訊號分別為x [n]和y[n]，假設輸入訊號
(3.8)
上式是著名的旋積和(convolution sum)運算，表 示成
y[n]
數位訊號處理_余兆棠
k
x[k ]h[n k ] x[n] h[n]
第3章 離散時間系統時域分析
(3.9)
18
Байду номын сангаас
離散時間LTI系統的輸入/輸出關係示意圖
離散時間LTI系統的輸入/輸出關係示意圖
之輸入時間延後n0，此時輸入訊號為xd[n] = x[nn0]，此情況之 系統輸出訊號為
yd [n] T[ xd [n]] T[ x[n n0 ]] (n 2) x[n n0 ]
檢驗原輸出訊號輸出時間也平移n0之結果為
y[n n0 ] (n n0 2) x[n n0 ]
之輸入時間延後n0，此時輸入訊號為xd[n] = x[nn0]，此情況之 系統輸出訊號為
yd [n] T[ xd [n]] T[ x[n n0 ]] cos(x[n n0 ])
檢驗原輸出訊號輸出時間也平移n0之結果為
y[n n0 ] cos(x[n n0 ])
顯然 yd[n] 與 y[n n0]相等，故此系統為一非時變系統。
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 20
旋積和運算特性(1)
交換律(commutative)
x[n] h[n] h[n] x[n]
(3.10)
k
x[k ]h[n k ] x[n k ]h[k ]
k
(3.11)
結合律(assciative)
x[n]
y[n] 非時變系統 y[n n0]
11
x[n n0]
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非時變系統
第3章 離散時間系統時域分析
範例3-5：時變系統
假設系統之輸出/輸入關係為: 系統為一時變系統。
y[n] (n 2) x[n] ，請說明此
此系統之輸入訊號與輸出訊號分別為x[n]和y[n]，假設輸入訊號
換成輸出訊號y，以數學模型描述此轉換為 y = T [ x]
其中T[]表示某種經過嚴謹定義的運算元(operator)將x轉換成y。
數位訊號處理_余兆棠
第3章 離散時間系統時域分析
3
系統數學模型示意圖
x 系統
T []
y
(a) 單一輸入/單一輸出訊號系統
x1 x2 xn
系統
： ： T [] ： ：
若系統符合以上特性者稱為線性系統(linear system) 若系統不符合以上特性者稱為非線性系統(nonlinear system) 。
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 7
線性離散系統示意圖
x1[n] x2[n]
線性系統 線性系統
y1[n] y2[n]
a1x1[n]+ a2 x2[n]
數位訊號處理
第3章 離散時間系統時域分析
第3章 離散時間系統時域分析
大綱
3.1 離散時間線性非時變系統 3.1.1 系統定義 3.1.2 連續時間系統與離散時間系統 3.1.3 線性系統與非線性系統 3.1.4 時變系統與非時變系統 3.2 離散時間LTI系統響應 3.2.1 離散時間LTI系統之脈衝響應 3.2.2 任意輸日序列的輸出響應 3.3 旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算 3.4 離散時間LTI系統的特性 3.4.1 無記憶特性 3.4.2 因果特性 3.3.3 穩定特性 3.5 差分方程式與時間系統 3.5.1 差分方程式描述離散時間系統 3.5.2 差分方程式與離散時間系統之脈衝響應 3.6 總結與參考文獻
符合疊加特性，故此系統為一線性系統。
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 9
範例3-4：非線性系統
] 假設系統之輸出/輸入關係為: y[n] x 2[n，請說明此系 統為一非線性系統。
假設將任意兩訊號x1[n]和x2[n]分別輸入此系統，分別產生之 輸出訊號y1[n]和y2[n]可表示成
y1[n] T [ x1[n]] (n 2) x1[n] y2 [n] T [ x2 [n]] (n 2) x2 [n]
檢驗輸入訊號a1x1[n]+a2x2[n]對應之輸出訊號
T [a1 x1[n] a2 x2 [n]] (n 2)[a1 x1[n] a2 x2 [n]] a1 (n 2) x1[n] a2 (n 2) x2 [n] a1 y1[n] a2 y2 [n]
y1 y2
ym
(b) 多重輸入/多重輸出訊號系統
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 4
範例3-1：單一輸入/輸出連續時間系統之例子
下圖敘述一個簡單的RC電路，若將電壓源信號視為一連續時 間輸入信號，且將電容之端電壓信號y(t)視為一連續時間輸出 信號，則此簡單的RC電路即是單一輸入/單一輸出信號連續時 間系統之一個例子。其輸入與輸出之關係可用一階常微分方 程式描述為：
y[n]=h[n]
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第3章 離散時間系統時域分析
15
任意輸入序列的輸出響應(1)
任何輸入序列可以表示為
x[n]
k
x[k ] [n k ]
(3.4)
考量一離散時間LTI系統的輸入為任意序列時， 其輸出序列可描述成：
y[n] T {x[n]} T { x[k ] [n k ]}
[n]
x[n]
離散時間 LTI 系統 h[n]
h[n] y[) n] = x[n] h[n]
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第3章 離散時間系統時域分析
19
大綱
3.1 離散時間線性非時變系統 3.1.1 系統定義 3.1.2 連續時間系統與離散時間系統 3.1.3 線性系統與非線性系統 3.1.4 時變系統與非時變系統 3.2 離散時間LTI系統響應 3.2.1 離散時間LTI系統之脈衝響應 3.2.2 任意輸日序列的輸出響應 3.3 旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算 3.4 離散時間LTI系統的特性 3.4.1 無記憶特性 3.4.2 因果特性 3.3.3 穩定特性 3.5 差分方程式與時間系統 3.5.1 差分方程式描述離散時間系統 3.5.2 差分方程式與離散時間系統之脈衝響應 3.6 總結與參考文獻
{x[n] h1[n]} h2[n] x[n] {h1[n] h2[n]}
分配律(distributive)
(3.12)
x[n] {h1[n] h2[n]} x[n] h1[n] x[n] h2[n]
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析
(3.13)
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 2
系統定義
為達成某些特定功能或目的，由某些物件單元組成的物體稱為
系統(system) 。 系統也可看成一種描述輸入訊號與輸出訊號之關係或過程的一 種數學模型。 假設x表示系統的輸入訊號，y表示系統的輸出訊號，那麼系統
可看成某種轉換(transformation)或映射(mapping)將輸入訊號x轉
式計息，那麼當月份計息後，張先生在該銀行之總存款金額
y[n]為 ：
y[n] 1.0025y[n 1] x[n]
若將總存款金額y[n]視為輸出序列，當月存入金額x[n]視為輸
入序列，則張先生的退休基金準備計劃可以視為一個單一輸
入/輸出之離散時間系統。
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線性系統與非線性系統
y1[n] T [ x1[n]] x1 [n] y2 [n] T [ x2 [n]] x2 [n]
2 2
檢驗輸入訊號a1x1[n]+a2x2[n]對應之輸出訊號
T [a1 x1[n] a2 x2 [n]] (a1 x1[n] a2 x2 [n])2 a1 x1 [n] 2a1a2 x1[n]x2 [n] a2 x2 [n] a1 y1[n] a2 y2 [n]
再考量系統的非時變 (time-invariant)特性，由(3.3) 式我們可得
T{ [n k ]} h[n k ]
(3.7)
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第3章 離散時間系統時域分析
17
任意輸入序列的輸出響應(3)
因此任意輸入序列的輸出響應可寫成
y[n]
k
x[k ]h[n k ]
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大綱
3.1 離散時間線性非時變系統 3.1.1 系統定義 3.1.2 連續時間系統與離散時間系統 3.1.3 線性系統與非線性系統 3.1.4 時變系統與非時變系統 3.2 離散時間LTI系統響應 3.2.1 離散時間LTI系統之脈衝響應 3.2.2 任意輸日序列的輸出響應 3.3 旋積和運算 3.3.1 旋積和運算特性 3.3.2 旋積和運算之計算 3.4 離散時間LTI系統的特性 3.4.1 無記憶特性 3.4.2 因果特性 3.3.3 穩定特性 3.5 差分方程式與時間系統 3.5.1 差分方程式描述離散時間系統 3.5.2 差分方程式與離散時間系統之脈衝響應 3.6 總結與參考文獻
k
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析
(3.5)
16
任意輸入序列的輸出響應(2)
因為是線性系統，利用其疊加特性，(3.5)式可寫成
y[n] T { x[k ] [n k ]}
k
k
x[k ]T{ [n k ]}
(3.6)
2 2 2 2
不符合疊加特性，故此系統為一非線性系統。
數位訊號處理_余兆棠 第3章 離散時間系統時域分析 10
時變系統與非時變系統
若一系統之輸入訊號的輸入時間提前或延後t0(連續時間系
統)或n0(離散時間系統)時，其對應的輸出訊號波形與原輸 出訊號波形相同，但其輸出訊號也提前或延後t0或n0，此 種系統稱為非時變系統(time-invariant system) 。 不符合以上特性之系統稱時變系統(time-varying system) 。
21
旋積和運算特性(2)
(3.10)式交替特性說明一離散時間LTI系統的輸入序 列 x[n]與脈衝響應 h[n]互換，其輸出 y[n]不受影響， 即下圖的兩個離散時間LTI系統輸出 y1[n] x[n] h[n] 與 y2[n] h[n] x[n] 完全相同。
線性系統
a1 y1[n]+ a2 y2[n]
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第3章 離散時間系統時域分析
8
範例3-3：線性系統
假設系統之輸出/輸入關係為: y[n] (n 2) x[n] ，請說明此 系統為一線性系統。
假設將任意兩訊號 x1[n] 和 x2[n] 分別輸入此系統，分別產生之輸
出訊號y1[n]和y2[n]可表示成
dy (t ) 1 1 y (t ) x(t ) dt RC RC
R + x(t) i(t) C y(t)
RC 電路圖
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範例3-2：單一輸入/輸出離散時間系統之例子
張先生以定期不定額方式準備退休基金，於當月份(或稱第n個 月)存入某銀行之金額為x[n]，假設月利率為0.0025，以複利方