一致分数阶非瞬时脉冲微分方程非局部问题温和解的存在性

第60卷 第2期吉林大学学报(理学版)
V o l .60 N o .2
2022年3月
J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (
S c i e n c eE d i t i o n )M a r 2022
d o i :10.13413/j .c n k i .j
d x b l x b .2021177一致分数阶非瞬时脉冲微分方程
非局部问题温和解的存在性
豆 静,周文学,吴玉翠
(兰州交通大学数理学院数学系,兰州730070
)摘要:利用算子半群理论㊁非紧性测度估计技巧和D a r b o s 不动点定理研究一致分数阶非瞬时脉冲微分方程非局部问题
T q u (t )=A u (t )+f (t ,u (t ),G u (t ),S u (t )),t ɪɣm
i =0(s i ,t i +
1],u (t )=φi (t ,u (t )),t ɪɣm i =1(t i ,s i ],u (0)+g (u )=u ìîíïï
ïïïï0
温和解的存在性,在非线性项满足适当增长条件和非紧性测度条件,非局部项和非瞬时脉冲函数均满足L i p s c h i t z 条件下,得到该问题解的存在性结果,并举例说明所得结果的有效性.关键词:分数阶微分方程;算子半群;非瞬时脉冲;温和解;非紧性测度
中图分类号:O 175.15 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2022)02-0231-09
E x i s t e n c e o fM i l dS o l u t i o n f o rC o n f o r m a b l e
F r a c t i o n a l N o n -i n s t a n t a n e o u s I m p u t s i v eD i f f e r e n t i a l E q
u a t i o n w i t hN o n l o c a l P r o b l e m
D O UJ i n g
,Z HO U W e n x u e ,WU Y u c u i (D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s ,S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y ,
L a n z h o u 730070,C h i n a )收稿日期:2021-05-08. 网络首发日期:2021-09-28.
第一作者简介:豆 静(1997 ),女,汉族,硕士研究生,从事分数阶微分方程的研究,E -m a i l :d j i n g 0922@126.c o m.通信作者简介:周文学(1976 ),男,汉族,博士,教授,从事非线性分析的研究,E -m a i l :w x z h o u 2006@126.c o m.
基金项目:国家自然科学基金(批准号:11961039;11801243)和兰州交通大学青年科学基金(批准号:2017012).网络首发地址:h t t p
s ://k n s .c n k i .n e t /k c m s /d e t a i l /22.1340.o .20210927.1721.001.h t m l .A b s t r a c t :B y u s i n g t h et h e o r y o fo p e r a t o rs e m i g r o u p ,e s t i m a t i o nt e c h n i q u eo fn o n c o m p
a c tm e a s u r e a n dD a r
b o s f i x e d p o i n t t h e o r e m ,w e s t u d i e d t h e e x i s t e n
c e o fm i l
d s o l u t i o n f o r c o n f o r m a b l
e
f r a c t i o n a l n o n -i n s t a n t a n e o u s i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t hn o n l o c a l p r o b l e m T q u (t )=A u (t )+f (t ,u (t ),G u (t ),S u (t )),t ɪɣm
i =0(s i ,t i +
1],u (t )=φi (t ,u (t )),t ɪɣm i =1(t i ,s i ],u (0)+g (u )=u 0ìîíïï
ïïïï.
U n d e rt h e c o n d i t i o n t h a t t h e n o n l i n e a r t e r m s a t i s f i e d t h e a p p r o p
r i a t e g r o w t h c o n d i t i o n a n d n o n c o m p a c t n e s sm e a s u r e c o n d i t i o n ,a n d t h en o n l o c a l t e r ma n dn o n -i n s t a n t a n e o u s i m p u l s i v e f u n c t i o n Copyright©博看网 . All Rights Reserved.
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l e t o i l l u s t r a t e t h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e r e s u l t .K e y w o r d s :f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ;o p e r a t o rs e m i g r o u p ;n o n -i n s t a n t a n e o u si m p u l s e ;m i l d s o l u t i o n ;n o n c o m p
a c tm e a s u r e 0 引 言
脉冲微分方程常用于描述发生突变的㊁不连续的㊁跳跃的动力学过程,在生物学㊁物理学㊁工程学
等领域应用广泛.目前,关于脉冲微分方程可解性的研究已有很多结果[
1-10]
,但这些结果大多数是关于瞬时脉冲的研究.研究表明,经典的瞬时脉冲模型不能很好地解释例如药物在人体内吸收㊁扩散和代谢过程的动力学行为.由于药物进入人体血液和之后的身体吸收是渐近和连续的过程,它突然开始并在有限的时间间隔内保持活跃,这种现象称为非瞬时脉冲.具有非瞬时脉冲的经典模型可表征许多实际问题,因此已得到广泛关注.
近年来,关于脉冲微分方程的理论逐渐完善,已将其部分结论推广至分数阶脉冲微分方程中,但
大多数研究都基于C a p u t o 和R i e m a n m -L i o u v i l l e 定义,而关于其他新定义下脉冲微分方程的研究报道较少.K h a l i l 等[1
1]
提出了一致分数阶导数的定义,该分数阶导数定义具有整数阶导数的基本性质,因而是经典整数阶导数的推广.文献[12-15
]给出了基于该分数阶定义下微分方程的研究及其应用.P i e r r i 等[1
6]
利用解析半群和闭算子的分数幂理论研究了一类含非瞬时脉冲的抽象微分方程u ᶄ(t )=A u (t )+f (
t ,u (t )),t ɪ(s i ,t i +1], i =0,1, ,N ,u (t )=g i (t ,u (t )),t ɪ(t i ,s i ]
, i =1,2, ,N ,u (0)=x 0
解的存在性.P i e r r i 等[17]
基于H a u s d o r f f 非紧性测度和算子半群理论研究了含非瞬时脉冲的抽象微分
方程
u
ᶄ(t )=A u (t )+f (t ,u (t )),t ɪ(s i ,t i +1], i ɪℕ,u (t )=g i (t ,N i (t )(u )),t ɪ(t i ,s i ], i ɪℕ,u (0)=x ìîíïï
ïï0
在[0,ɕ)上温和解及渐近周期温和解的存在性.Z h a n g 等[18]利用凝聚映射不动点定理研究了分数阶半
线性积微分发展方程
D q u (t )+A u (t )=f (
t ,u (t ),G u (t )),t ɪJ ,u (0)+g (u )=u 0{
,
其中D q 是阶数为q 的C a p u t o 分数阶导数,0<q <1,A :D (A )⊂X ңX 是闭线性算子,-A 是一致有界等度连续C 0
-半群T (t )(t ȡ0)的无穷小生成元.基于上述研究,本文考虑分数阶非瞬时脉冲发展方程非局部问题
T q u (t )=A u (t )+f (t ,u (t ),G u (t ),S u (t )),t ɪɣm
i =0(s i ,t i +
1],u (t )=φi (t ,u (t )),t ɪɣm i =0(t i ,s i ],u (0)+g (u )=u ìîíïï
ïïïï0
(1
)温和解的存在性,其中:T q 是阶数为q 的一致分数阶导数,0<q <1;
G u (t )=ʏt 0
G (
t ,s )u (s )d s , K ɪC [D ,ℝ+],S u (t )=ʏt 0
H (t ,
s )u (s )d s , H ɪC [D 0
,ℝ+
],
D ={(t ,s )ɪℝ2:0ɤs ɤt ɤT }, D 0={(t ,s )ɪℝ2:0ɤt ,s ɤT }
;232 吉林大学学报(理学版) 第60卷
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A :D (A )⊂X ңX 为闭线性算子.A 生成X 中一致有界的等度连续C 0-半群T (t )(t ȡ0),I =[0,c ]
,其中c >0.
1 预备知识
设X 是按范数 ㊃ 构成的B a n a c h 空间,C (I ,X )
表示定义于I 取值于X 的全体连续函数按范数 u C =s u p
t ɪI
u (t ) 构成的B a n a c h 空间,θ表示X 上的零元素.令P C (I ,X )={u :I ңX u 在t ʂt i 处连续,u (t -i )=u (t i ),u (t +
i )
存在,i =1,2, ,m },则其按范数 u P C =s u p
t ɪI
u (t ) 构成B a n a c h 空间.设L p (I ,X )(1ɤp <ɕ)是区间I 上E -值B o c h n e r 可积函数按范数
u
L p (I ,X
)
=
ʏ
I
u (t ) p
d ()t 1/p
构成的空间.对任意有限数r >0,令
B r ={
u ɪP C (I ,X ): u ɤr ,t ɪI }是P C (I ,X )
中的有界凸闭集,且记G *
=s u p t ɪ
I ʏ
t
K (t ,s )d s <ɕ, H *=s u p t ɪ
I ʏ
t 0
H (
t ,s )d s <ɕ.令M =s u p t ɪI
T (t ) γ(X ),其中γ
(X )表示X 中全体线性有界算子构成的B a n a c h 空间.定义1[11
] 令q ɪ(0,1),给定函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的一致分数阶导数定义为
T q (f )(t )=l i m εң0f (t +εt 1-α)-f (t )ε
, t >0.
引理1[11]
令q ɪ(0,1
),且函数f 和g 在t >0上q 次可微,则:1)T q (a f +b g )=a T q (f )+b T q (g )
,∀a ,b ɪℝ;2)T q (t p )=p t p -1,∀p ɪℝ;
3)T q (f g )=f T q (g )+g T q (f )
;4)T q (f )
(t )=t 1-q d f d t
(t ).由文献[19]中定义6及文献[20]中定义2.1,可给出以下定义:
定义2 若对任意的t ɪɣm i =1
(t i ,s i ],有u (0)=u 0-g (u ),u (t )=φ
i (t ,u (t )),且u (t )=T 1q t æèçöø÷q (u 0-g (u ))+ʏ
t 0s q -1T 1q t q -1q s æèçöø÷q f s ,u (s ),G u (s ),S u (s ())d s , t ɪ(0,t 1];T 1q t q -1q s q æèçö
ø÷i φ(s i ,u (s i )
)+ ʏ
t s i
s q -1T 1q t q -1q s æèçöø÷q f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))d s , t ɪ(s i ,t i +
1], i =1,2, ,m ìîíïïïïïïï.则函数u ɪP C (I ,X )称为问题(1
)的温和解.引理2[21
] 设S ⊂E 有界,则S 的有限覆盖最大直径下确界
α(S )=i n f {δ>0S ⊂ɣm
i =1
S i ,d (S i )
ɤδ,i =1,2 ,m }称为S 的K u r a t o w s k i i 非紧性测度.
引理3[21
] 设S ,T 表示E 中的有界集,a 为实数,则非紧性测度具有下列性质:
1)α(S )=0⇔S 是相对紧集;2)S ⊂T ⇒α(S )ɤα(T )
;3)α(췍S )=α(S )
;4)α(S ɣT )=m a x {α(S ),α(T )};5)α(a S )=aα(S ),其中a S ={x =a z z ɪS }
;3
32 第2期 豆 静,等:一致分数阶非瞬时脉冲微分方程非局部问题温和解的存在性 Copyright©博看网 . All Rights Reserved.
6)α(S +T )ɤα(S )+α(T ),其中S +T ={x =y +
z y ɪS ,z ɪT };7)α(c o S )=α(S ).
引理4[22
] 设X 为B a n a c h 空间,若U ⊂C (I ,X )是有界且等度连续集,则α(U (t
))在I 上连续,且α(U )=m a x t ɪI
α(U (t )).
引理5
[23
] 设X 为B a n a c h 空间,若D ={u n }ɕ
n =1⊂C (
I ,X )是有界可数集,则α(D (t ))在I 上L e b e s g
u e 可积,且α
ʏt 0
u n (
s )d {
}s ɕ
n =()1ɤ2ʏ
t
α({u n
(s )}ɕ
n =1
)d s .
引理6[18] 设X 为B a n a c h 空间,U 是X 中的有界子集,则存在可数集D ={u n }ɕ
n =1⊂U ,使得α(U )ɤ2α(D ).
引理7[18
] 设X 和E 为B a n a c h 空间,Q :D (Q )⊂E ңX 是L i p s c h i t z 连续的,L i p
s c h i t z 常数为L ,则对任意的有界集V ⊂D (Q ),有α(Q (V ))ɤL α(V ).
定义3[24
] 设E 1,E 2是实B a n a c h 空间,D ⊂E 1,设A :D ңE 2连续有界,若存在常数k ȡ0,使得
对任意有界集S ⊂D ,均满足α(A (S ))ɤk α(S ),则称A 是D 上的k -集压缩映像;特别地,k <1时的k -集压缩映像称为严格集压缩映像.引理8[24
] 设D 为E 中的有界凸闭集(D 不一定有内点),A :D ңD 是严格压缩映像,则A 在D
中必有不动点.
2 主要结果
假设:
(H 1)对任意的t ɪI ,函数f (t ,㊃,㊃,㊃):X ˑX ˑX ңX 连续,且对任意的(x ,y ,
z )ɪX ˑX ˑX ,函数f (t ,x ,y ,
z ):I ңX L e b e s g u e 可测;(H 2)存在一个连续非减函数Ψ:[0,ɕ)ң(0,ɕ)及函数ΦɪL 1/q 1(I ,ℝ+),其中常数q 1ɪ(0,q ),使得
f (t ,x ,y ,z ) ɤΦ(t )Ψ( x ), ∀x ,y ,
z ɪX , t ɪI ; (H 3)g :
P C (I ,X )ңX 连续且存在一个常数α*>0,使得 g (x )-g (y ) ɤα* x -y , ∀x ,y ɪP
C (I ,X ); (H 4)φi :[t i ,s i ]ˑX ңX 连续且存在常数K φi
>0(i =1,2, ,m ),使得 φi (t ,x )-φi (t ,y ) ɤK φi
x -y , ∀x ,y ɪX , t ɪ[t i ,s i ]; (H 5)存在非负常数L i ,
M i ,N i (i =0,1, ,m ),使得对任意可数集D 1,D 2,D 3⊂X ,均有α(f (t ,D 1,D 2,D 3))ɤL i α(D 1)+M i α(D 2)+N i α(D 3), ∀t ɪ(s i ,t i +
1], i =0,1, ,m . 定理1 设X 为B a n a c h 空间,若A 生成X 中一致有界的等度连续C 0-半群T (t )(t ȡ0)
,f :I ˑX ˑX ˑX ңX ,g :P C (I ,X )ңX ,且对∀i =1,2, ,m ,函数g (θ)和φi (㊃,θ)有界,并满足假设条件(H 1)~(H 5)
,则当M m a x (α*+K ),K *+4L æèçöø
÷{}
q <1(2)时,问题(1)至少有一个温和解u ɪP C (I ,X ),其中K =m a x i =1,2
, ,
m
K φi ,K *=m a x {K ,α*},L =m a x i =0,1
, ,
m
(L i +M i G *
+N i
S *)(t i +
1-s i )q .(3) 证明:定义算子Q :P C (I ,X )ңP C (I ,X )
为(Q u )(t )=(Q 1u )(t )+(Q 2u )(t ),(4
)其中
(Q 1u )(t )=T 1q t æèçöø÷q (u 0-g (
u )),t ɪ[0,t 1]
,φi (t ,u (t )),t ɪ(t i ,s i ]
, i =1,2, ,m ,T 1q t q -1q s q æèçöø÷i φ
i (s i ,u (s i )),t ɪ(s i ,t i +
1], i =1,2, ,m ìîíïïï
ï
ïï,(5
)432 吉林大学学报(理学版) 第60卷
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(Q 2u )(t )=ʏ
t s i
s q -1T 1q t q -1q s æèçöø÷q f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))d s ,t ɪ(s i ,t i +
1],i =0,1, ,m ,0,
其他ìîíïïï
.(6
)易见初值问题(1
)的温和解等价于算子Q 的不动点.下面证明算子Q 至少有一个不动点.设存在R >0,使得u ɪB R ,令q 2=q -11-q
1ɪ(-1,0),M 1=Ψ(R ) Φ L 1/q 1(I ,ℝ+),由H
öl d e r 不等式及假设条件(H 2)
,有ʏ
t 0
s q -1f (
s ,u (s ),G u (s ),S u (s )) d s ɤ
ʏ
t 0
s (q -1)/(1-q 1
)d ()
s
1-q 1
Ψ(R ) Φ L 1/q 1(I ,ℝ+)ɤ
M 1(1+q 2)
1-q 1c (1+q 2)(1-q 1
).(7
) 1)证明存在常数R >0,使得Q (B R )⊂B R .
若不然,则对任意的r >0,存在u r ɪB r 和t r ɪI ,使得 (Q u r (t r )) >r .若t r ɪ[0,t 1]
,则由式(4),(7)和假设条件(H 3)
,有 (Q u r )(t r ) ɤM ( u 0 +α* u r -θ + g (θ) )+MM 1(1+q 2)
1-q 1
c (1+q 2)(1-q 1)ɤM (α*r + u 0 + g (
θ) )+MM 1(1+q 2)
1-q 1c (1+q 2)(1-q 1).(8)若t r ɪ(t i ,s i ]
(i =1,2, ,m ),则由式(5)和假设条件(H 4),有 (Q u r )(t r ) = φi (t r ,u r (t r )) ɤK φi u r (t r ) + φi (t r ,θ) ɤK φi
r +β,(9)其中β=m a x i =1,2, ,m
{s u p t ɪI
φ
i (t ,θ) }.若t r ɪ(t i ,s i +1](i =1,2, ,m ),则由式(4),(7)和假设条件(H 4),有
(Q u r )(t r ) ɤM (K φi
r +β)+M ʏ
t r s i
s q -1 f (s ,u r (s ),G u r (s ),S u r (s )) d s ɤM (K φi r +β)+MM 1(1+q 2)
1-q 1
c (1+q 2)(1-q 1
).(10
)结合式(8)~(10)及r < (Q u r )(t r )
,有 r < (Q u r )(t r ) ɤM (α*r + u 0 + g (θ) )+M (K r +β)+MM 1(1+q 2)1-q 1c (1+q 2)(1-q 1).(11)将式(11)两边除以r ,且令r ңɕ,有1<M (α*+K )
,(12
)与式(2
)矛盾.2)证明算子Q 1:B R ңB R 是L i p
s c h i t z 连续的.对任意的t ɪ[0,t 1]
且u ,v ɪB R ,由式(5)和假设条件(H 3),有 (Q 1u )(t )-(Q 1v )(t ) ɤM g (u )-g (
v ) ɤM α* u -v P C .(13)对任意的t ɪ(t i ,s i ]
(i =1,2, ,m )且u ,v ɪB R ,由式(5)和假设条件(H 4),有 (Q 1u )(t )-(Q 1v )(t ) ɤK φi
u (t )-v (t ) ɤMK u -v P C .(14)对任意的t ɪ(s i ,t i +1]
(i =1,2, ,m )且u ,v ɪB R ,由假设条件(H 4),有 (Q 1u )(t )-(Q 1v )(t ) ɤM φ
i (s i ,u (s i ))-φi (s i ,v (s i )) ɤMK u -v P C .(15)由式(13)~(15),有 Q 1u -Q 1v ɤMK * u -v P C ,
(16
)其中K *=m a x {K ,α*}.
3)证明Q 2在B R 上连续.令{u n }是B R 中的一个序列,使得在B R 中l i m n ңɕ
u n =
u ,由非线性项f 关于第二㊁第三和第四变量的连续性,对任意的s ɪI ,有
5
32 第2期 豆 静,等:一致分数阶非瞬时脉冲微分方程非局部问题温和解的存在性
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l i m n ңɕ
f (s ,u n (s ),G u n (s ),S u n (s ))=f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s )).(17)因此,当n ңɕ时,有
s u p t ɪ
I f (s ,u n (
s ),G u n (s ),S u n (s ))-f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s )) ң0.(18
)对s ɪ[s i ,t ]及t ɪ(s i ,t i +1]
(i =0,1, ,m ),由式(17),(18),得 (Q 2u n )
(t )-(Q 2u )(t ) ɤ M ʏ
t s i
s q -1 f (s ,u n (
s ),G u n (s ),S u n (s ))-f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s )) d s ɤ
M c q q s u p t ɪI
f (s ,u n (s ),G u n (s ),S u n (s ))-f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s )) ң0, n ңɕ. (19)因此当n ңɕ,有 Q 2u n -Q 2u ң0,即Q 2在B R 上连续.4)证明Q 2:B R ңB R 等度连续,且对任意的u ɪB R 及s i ɤt 1<t 2ɤt i +1(
i =0,1, ,m ),有 (Q 2u )(t 2)-(Q 2u )(t 1)
=ʏ
t 2
s i
s q -1T 1q t q 2-1q s æèçöø÷q f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))d s -ʏt 1s i
s q
-1T 1q t q
1
-1q s æèç
öø÷
q f (s ,
u (s ),G u (s ),S u (s ))d s ɤ
ʏt 2
t 1
s q
-1T 1q t q
2
-1q s æèç
öø÷
q f (s ,
u (s ),G u (s ),S u (s ))d s +
ʏt 1s i
s q
-1T 1q t q
2
-1q s æèç
öø÷
q -T 1q t q 1
-1q s æèç
öø÷
éëêùûúq f (s ,
u (s ),G u (s ),S u (s ))d s =
I 1+I 2,
其中
I 1=
ʏ
t 2t 1
s q -1T 1q t q 2-1q s æèçöø÷q f (
s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))d s ,I 2
=ʏ
t 1
s i
s
q
-1T 1q t q 2-1q s æèçöø÷q -T 1q t q 1-1q s æèçöø÷éëêêùûúúq f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))d s . 下面只需验证对任意的u ɪB R ,当t 2ңt 1时,I 1,I 2分别趋于0
.由式(7),有I 1ɤMM 1(1+q 2
)1-q 1(t 2-t 1)(1+q 2)(1-q 1)ң0, t 2ңt 1.对t 1=s i ,易见I 2=0,对t 1>s i 且
ε>0任意小,由假设条件(H 2)㊁T (t )的等度连续性及已知条件,有I 2ɤ
ʏ
t 1-εs i
s q -1T 1q t q 2-1q s æèçöø÷q -T 1q t q 1-1q s æèçöø÷éëêùû
úq f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))d s +ʏt 1
t 1-
εs q
-1T 1q t q
2
-1q s æèç
öø÷
q -T 1q t q 1
-1q s æèç
öø÷
éëêêùûúúq f (s ,u (s ),
G u (s ),S u (s ))d s ɤʏt 1-εs i
s q
-1f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s )) d s s u p s ɪ[s i ,t 1-ε
]T 1q t q
2
-1q s æèç
öø÷
q -T 1q t q 1
-1q s
æèç
öø
÷
q +
2M ʏt 1
t 1-
ε s q
-1f (
s ,u (s ),G u (s ),S u (s )) d s ɤ
M 1(1+q 2)1-q 1[(t 1-ε)1+q 2-s 1+q 2i ]1-q 1s u p s ɪ[s i ,t 1
-ε)T 1q t q 2-1q s æèçöø÷α-T 1q t q 1-1q s æèçöø÷α+2MM 1(1+q 2
)1-q 1ε(1+q 2)(1-q 1
)ң0, t 2ңt 1.因此,对任意的u ɪB R ,t ɪI ,当t 2ңt 1时, (Q 2u )(t 2)-(Q 2u )(t 1) ң0,故Q 2:B R ңB R 等度连续.
5)证明Q :B R ңB R 是严格集压缩映像.
对有界集D ⊂B R ,由引理6知,存在可数子集D 0={u n }
⊂D ,使得α(Q 2(D ))ɤ2α(Q 2(D 0)).
(20
)632
吉林大学学报(理学版) 第60卷
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因为Q 2(D 0)⊂Q 2(B R )
有界且等度连续,因此由引理4,有α(Q 2(D 0))=
m a x
t ɪ[s i ,t i +
1],i =0,1, ,m α(Q 2(D 0)(t )).
(21
)对任意的t ɪ[s i ,t i +1]
(i =0,1, ,m ),由引理5,假设条件(H 5)和式(3),有α(Q 2(D 0)(t ))=αʏt s i
s q -1T 1q t α-1q s æèçöø÷αf (s ,u n (
s ),G u n (s ),S u n (s ))d æèçöø÷æèçöø÷s ɤ2M ʏt
s i s q
-1α((f (
s ,u n (s ),G u n (s ),S u n (s ))))d s ɤ2M ʏ
t s i
s q
-1[L i
α(D 0(s ))+M i α(G D 0(s ))+N i α(S D 0(s ))]d s ,(22)α(G D 0(s ))ɤα(G D 0)ɤ G α(D 0)ɤG *α(D 0)ɤG *α(D ).(23)同理,有α(S D 0(s ))ɤα(S D 0)ɤ S α(D 0)ɤS *α(D 0)ɤS *α(D ).
(24)因此,
α(Q 2(D 0)(t ))ɤ2M q (L i +M i G *+N i S *)(t i +1-s i )q α(D )ɤ2M L q
α(D ).(25)由式(20),(25),得α(Q 2(D ))ɤ4M L q
α(D ).
(26)由式(16)和引理7知,对任意有界集D ⊂B R ,有α(Q 1(D ))ɤMK *α(D ).
(27
)因此,由式(26),(27
)得α(Q (D ))ɤα(Q 1(D ))+α(
Q 2(D ))ɤM K *+4L æèçöø
÷q α(D ).(28)结合式(28)和式(2)及定义3知,Q :B R ңB R 是严格集压缩映像.因此由引理8知Q 至少存在一个不
动点u ɪP C (I ,X ),即为问题(1
)的温和解.3 应用实例
考虑下列分数阶非瞬时脉冲微分方程非局部问题:
T 0.4u (t ,x )=∂2∂x 2u (t ,x )+u (t ,x )16e t (1+e
t 2
)+ʏ
t 0e -(s -t )100u (s ,x )d s + ʏ
t 0e -(s -t )/2100
u (s ,x )d s , x ɪ[0,1], t ɪ0,æèçùûúú
13ɣ23,æèçùûúú1,u (t ,0)=u (t ,1)=0, t ɪ[0,1],u (t ,x )=u (t ,x )18e t (1+u (t ,x ))
, x ɪ(0,1), t ɪ13,æèçùûúú23,u (0,x )+ʏ
0.10
u (t ,x )d t =1, x ɪ[0,1ìîíïïïïïïï
ïïïïï],(29
)其中0=t 0=s 0<t 1ɤs 1ɤt 2=1,t 1=13,s 1=
23
,I =[0,1].令X =L 2[0,1],且A u =u ᵡ,D (A )={u ɪX :u ,u ᶄ绝对连续且u ᵡɪX ,u (0)=u (1)=0}. 由文献[25]知,A 在X 上生成等度连续的C 0-半群T (t )(t ȡ0),且对任意的t ȡ0, T (t ) ɤ1,
有
f (t ,u (t ),G u (t ),S u (t ))=u (t ,x )16e t (1+e
t
2
)+ʏ
t
0e -(
s -t )
100
u (s ,x )d s +
ʏ
t
0e -(
s -t )/
2100
u (s ,x )d s
,G u (t )=
ʏ
t
0e -(
s -t )
100
u (s ,x )d s
,7
32 第2期 豆 静,等:一致分数阶非瞬时脉冲微分方程非局部问题温和解的存在性 Copyright©博看网 . All Rights Reserved.
832吉林大学学报(理学版)第60卷
S u(t)=ʏt0e-(s-t)/2100u(s,x)d s,
φ1(t,u(t))=u(t,㊃)
18e t(1+u(t,㊃)),
g(u)=ʏ10u(t,x)d t.
易证问题(29)满足假设条件(H1)~(H5),且
q=25,M=1,α*=0.1,K=Kφ1=118,L=0.03125,
则
M(α*+K)=745<1,
M(K*+4L q)ʈ0.4125<1.
因此,由定理1知问题(29)至少存在一个解.
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9
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