高中数学 1.1导数导学案(创新班,无答案)新人教B版选修2 2 学案

3.1.1导数
一、【教材知识梳理】 1、函数的平均变化率：
已知函数)(x f y =，0,x x 是其定义域内不同的两点，记)()()()(,0000x f x x f x f x f y x x x -∆+=-=∆-=∆则函数)(x f y =在区间[]x x x ∆+00,的平均变化率为： 2、瞬时速度与导数
（1）瞬时速度的定义：一般地，我们计算运动物体位移()S t 的平均变化率00()()
S t t S t t
+∆-∆，如果当t ∆无限趋
近于0时，
00()()
S t t S t t
+∆-∆无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在0t t =时的瞬时速度。

（2）导数：导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值
00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆无限趋近于一个常数A ，，则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0'()f x 3.导数的几何意义
（1）曲线的割线AB 的斜率： x
y
x x f x x f k ∆∆=
∆-∆+=)()(00 由此可知：曲线割线的斜率就是 。

（2）导数的几何意义：
曲线)(x f y =在点())(,00x f x 的切线的斜率等于)(0x f ' 注：点))(,(00x f x 是曲线上的点。

二、【典例解析】
例1：求y=x 2
在
x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率。

变式练习1：求1
y x
=在 x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率（x 00≠）
例2、求抛物线2
x y = 在点（1，1）的切线的斜率。

变式练习2:求2
1y x =+在点（1，2）的切线的斜率。

例3.求双曲线x
y 1
=在点（2，21）的切线方程。

变式练习3：求曲线1
y x
= 在点（-1，-1）的切线方程。

例4、求抛物线2
x y = 过点（2
5
，6）的切线方程。

变式练习4：求抛物线214
y x =过点（4，7
4）的切线方程。

三、【强化练习】
1．已知曲线214y x =和这条曲线上的一点1
(1,),4
P Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为（ ）
A ．2(1,())x x +∆∆
B ．21(,())4x x ∆∆
C ．21(1,(1))4x x +∆+∆
D ．（2
1,(1)4
x x ∆+∆
2．如果质点M 按规律2
3S t =+运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度等于（ ） A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3
3．如果某物体的运动方程是2
2(1)s t =-，则在 1.2t =秒时的瞬时速度是（ ） A ．4 B ．4- C ．4.8 D ．0.8
4．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且32
423s t t t =+-，则物体在运动开始的速度为（ ） A ．3/m s B ．－3/m s C ．0/m s D ．2/m s
5、设曲线)(x f y =在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线（ ）
A 、垂直于x 轴
B 、垂直于y 轴
C 、既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴
D 、方向不能确定
6、设曲线)(x f y =在某点处的导数值为负，则过该点的曲线的切线的倾斜角( )
A 、大于ο90
B 、小于ο90
C 、不超过ο90
D 、大于等于ο
90 7、已知曲线12
-=x y 和其上一点，且这点的横坐标为-1，求曲线在这点的切线方程。

8、设点),(00y x 是抛物线432
++=x x y 上一点，求在点),(00y x 的切线方程。

9、曲线12)(2
++=x x x f 在点M 处的切线的斜率为2，求点M 的坐标。

10、求抛物线12+-=x y 在点（
4
3
,21）的切线的倾斜角。

11、曲线2
2
3x y =上哪一点的切线与直线13-=x y 平行？
1.2导数的运算
一、【教材知识梳理】 1.基本初等函数的求导公式：
（1）()x α'= （α为常数）（2） () (01)x
a a a '=>≠，
（3）a (log x) (01)a a '=>≠，且（4） x
(e )'= （5）(lnx)'= （6） (sinx)'= （7） (cosx)'= （8）()C '= (C 为常数) 2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的，
法则1:函数和或差的求导法则：()()()
'
___________f x g x ±= 法则2:函数积的求导法则：()()'
__________________f x g x =⎡⎤⎣⎦ 法则3:函数商的求导法则：()()'
___________________f x g x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
3.复合函数的导数： 二、【典例解析】 例1、求下列函数导数。

（1）5
-=x
y ( 2）x
y 4= （3）x x x y =
(4)x y 3log = （5）y=sin(2π+x) (6) y=sin 3
π
（7）y=cos(2π－x) 变式练习1：求下列函数的导数
(1)3
y x =
(2)y =21y x
= (4)3x
y =
(5)2log y x = (6)cos y x =
例2、 求y=xsinx 的导数。

变式练习2：（1）求y=sin2x 的导数;
（2）已知 )cos (sin x x e y x
+=，求y ';
（3）()
()3
5738y x x =-+，求y '.
例3、 求y=tanx 的导数。

变式练习3: （1）设1
1
2+-=x x y ，求y '; （2）22
ax bx
y cx d +=+, 求y '.
例4、 若()'f x 是关于x 的一次函数，且对一切()()()2'211x R x f x x f x ∈--=满足，求函数f(x)的解析式。

变式练习4: 若f(x)是三次函数，且()()()()'
''03,00,13,20,f f f f ===-=求f(x)的解析式。

三、【强化练习】
1、函数()sin cos 1y x x =+的导数是： （ ）
A 、cos2cos x x -
B 、cos2cos x x -
C 、cos2cos x x +
D 、2
cos cos x x + 2、已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为： （ ） A 、()()()2
131f x x x =-+- B 、()()21f x x =- C 、()()221f x x =- D 、()1f x x =- 3、已知曲线5
15
y x =
上一点()00,M x y 处的切线与直线y=3-x 垂直， 则切线方程为： （ ）
A 、5x-5y-4=0
B 、5x+5y-4=0
C 、5x+5y-4=0或5x+5y+4=0
D 、5x-5y-4=0或5x-5y+4=0 4、设点P
是曲线3
2
3
y x =+上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 （ ） A 、2,ππ⎡⎫
B 、5,
ππ⎛⎫ C 、50,,πππ⎡⎤
⎡⎫ D 、20,,πππ⎡⎤
⎡⎫
1、求下列函数的导数;
(1)y x =+y x
=
(3)1
cos y x
= (4)(21y x =+ (5)12
+=x x y (6)x
x
y sin =
（7）2
)53(+=x y （8）8
)75(-=x y
（9）)53cos(+=x y （10）)sin(ϕ+=wt y
（11）)45ln(+=x y （12）1
23-=x y
6、求()()
2
31x
f x x x e =-+的导数，并在函数曲线上求出点，使得曲线在这些点处的切线与x 轴平行。