利用导数研究函数的极值-高中数学知识点讲解(含答案)

利用导数研究函数的极值（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共10小题）
1．（2019春•西城区校级期中）设函数()(1)(2)x f x e x x =--，则( ) A ．()f x 的极大值点在(1,0)-内 B ．()f x 的极大值点在(0,1)内
C ．()f x 的极小值点在(1,0)-内
D ．()f x 的极小值点在(0,1)内
2．（2017秋•海淀区校级期末）若函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x =-'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A ．函数()f x 有极大值f （3），极小值(1)f -
B ．函数()f x 有极大值(1)f -，极小值f （3）
C ．函数()f x 有极大值(1)f -，极小值f （1）
D ．函数()f x 有极大值f （3），极小值f （1）
3．（2017秋•海淀区校级期末）如果函数323y x x ax =-+存在极值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3,)+∞
B ．[3，)+∞
C ．(,3)-∞
D ．(-∞，3]
4．（2018春•海淀区校级期末）如图，已知直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于两点，则()()F x f x kx =-有( )
A ．1个极大值点，2个极小值点
B ．2个极大值点，1个极小值点
C ．3个极大值点，无极小值点
D ．3个极大值点，2个极小值点
5．（2018•东城区二模）已知函数()sin f x x x =，现给出如下命题： ①当(4,3)x ∈--时，()0f x ； ②()f x 在区间(0,1)上单调递增； ③()f x 在区间(1,3)上有极大值；
④存在0M >，使得对任意x R ∈，都有|()|f x M ．
其中真命题的序号是( ) A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④
6．（2018春•西城区校级期中）设函数()(2)1f x x lnx ax =--+，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是( ) A ．13
(0,
)3
ln + B ．1(2，13]3ln +
C ．13
(3ln +，1)
D ．13[3
ln +，1)
7．（2018春•西城区期末）已知函数()(1)x a
f x e x
=-，若0(0,)x ∃∈+∞，0x 为()f x 的一个极大值点，则实数a 的取值
范围是( ) A ．(,0)-∞
B ．(4,)+∞
C ．(-∞，0)(4⋃，)+∞
D ．前三个答案都不对
8．（2018春•东城区期末）已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且()y f x '=的图象关于y 轴对称，f '（3）0=，若()f x 的极大值与极小值之和为4，则(0)(f = ) A ．2
B ．0
C ．2-
D ．4-
9．（2018春•西城区校级期中）定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其各自导函数()f x '和()g x '的图象如图所示，则函数()()()F x f x g x =-极值点的情况是( )
A ．只有两个极大值点，无极小值点
B ．无极大值点，只有两个极小值点
C ．有一个极大值点，无极小值点
D ．有一个极大值点，一个极小值点
10．（2018•海淀区二模）如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()g x kx m =+，则函数
()()()(F x g x f x =- )
A ．有极小值，没有极大值
B ．有极大值，没有极小值
C ．至少有两个极小值和一个极大值
D ．至少有一个极小值和两个极大值 二．填空题（共5小题）
11．（2019春•西城区校级期中）函数3()12f x x x =-的极大值点是 ，极大值是 ． 12．（2019春•西城区校级期中）已知函数()y f x =满足： （1）既有极大值，也有极小值； （2）[0x ∀∈，1]，都有()0f x >．
请你给出一个满足上述两个条件的函数()y f x =的例子 ．
13．（2017秋•海淀区校级期末）函数32()31f x x x =-+的极小值点为 ．
14．（2018春•海淀区期中）函数2()()x f x e x ax a =++在区间(0,1)上存在极值，则a 的取值范围是 15．（2018春•朝阳区期末）已知函数32()3f x x x a =--恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．
利用导数研究函数的极值（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2019春•西城区校级期中）设函数()(1)(2)x f x e x x =--，则( ) A ．()f x 的极大值点在(1,0)-内 B ．()f x 的极大值点在(0,1)内
C ．()f x 的极小值点在(1,0)-内
D ．()f x 的极小值点在(0,1)内
【分析】先对函数求导，然后结合导数与极值关系及二次函数的性质即可求解． 【解答】解：2()(1)x f x e x x '=--，
令2()1g x x x =--结合二次函数的性质可知，()g x 在1
(,)2
-∞上单调递减，且(1)10g -=>，(0)10g =-<，
故存在(1,0)m ∈-，当(,)x m ∈-∞时，()0g x >即()0f x '>，()f x 单调递增， 当(,0)x m ∈时，()0g x <即()0f x '<，()f x 单调递减， 故当x m =时，函数取得极大值且(1,0)m ∈-． 故选：A ．
【点评】本题主要考查了导数与极值关系的应用，体现了转化思想的应用．
2．（2017秋•海淀区校级期末）若函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x =-'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A ．函数()f x 有极大值f （3），极小值(1)f -
B ．函数()f x 有极大值(1)f -，极小值f （3）
C ．函数()f x 有极大值(1)f -，极小值f （1）
D ．函数()f x 有极大值f （3），极小值f （1）
【分析】由已知函数(1)()y x f x =-'的图象如图所示，列出表格可得单调性，进而判断出极值． 【解答】解：由已知函数(1)()y x f x =-'的图象如图所示， 可得：
x
(,1)-∞-
1-
(1,1)-
1
(1,3)
3
(3,)+∞
()f x ' + 0
-
0 -
0 +
()f x
单调递增 极大值 单调递减
单调递减 极小值 单调递增
由表格可得：函数()f x 有极大值(1)f -，极小值f （3）． 故选：B ．
【点评】本题考查了利用导数研究单调性极值、方程与不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．（2017秋•海淀区校级期末）如果函数323y x x ax =-+存在极值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3,)+∞
B ．[3，)+∞
C ．(,3)-∞
D ．(-∞，3]
【分析】由函数32()3f x x x ax =-+有极值，易得函数的导函数在R 有两个零点，利用判断式构造出一个关于a 的不等式，解不等式即可得到答案． 【解答】解：函数32()3f x x x ax =-+．
2()36f x x x a ∴'=-+，
若函数32()3f x x x ax =-+在区间R 有极值， 则2()36f x x x a '=-+在R 内有两个零点， 可得△36120a =->，解得3a <． 故选：C ．
【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中将问题转化为导函数的零点问题是解答此类问题最常用的办法．
4．（2018春•海淀区校级期末）如图，已知直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于两点，则()()F x f x kx =-有( )
A．1个极大值点，2个极小值点B．2个极大值点，1个极小值点
C．3个极大值点，无极小值点D．3个极大值点，2个极小值点
【分析】对函数()()
=-，求导数，根据条件判断()
F x f x kx
'与k的关系进行判断即可．
f x
【解答】解：直线y kx m
=相切于两点，
=+与曲线()
y f x
f x kx m
+，
∴+=有两个根，且()
kx m f x
()
由图象知0
m<，
则()
<，
f x kx
即则()()0
=-，没有零点，
F x f x kx
=-<，则函数()()
F x f x kx
函数()
f x有3个极大值点，2个极小值点，
则()()
'='-，
F x f x k
设()
f x的三个极大值点分别为a，b，c，
则在a，b，c的左侧，()
'<，此时函数()()
=-有3个极大值，
F x f x kx
f x k
f x k
'>，a，b，c的右侧()
在d，e的左侧，()
F x f x kx
'>，此时函数()()
=-有2个极小值，
f x k
f x k
'<，d，e的右侧()
故函数()()
=-有5个极值点，3个极大值，2个极小值，
F x f x kx
故选：D．
【点评】本题主要考查函数零点的判断以及极值的判断，利用图象求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
5．（2018•东城区二模）已知函数()sin
=，现给出如下命题：
f x x x
①当(4,3)
f x；
x∈--时，()0
②()
f x在区间(0,1)上单调递增；
③()
f x在区间(1,3)上有极大值；
④存在0
f x M．
M>，使得对任意x R
∈，都有|()|
其中真命题的序号是()
A．①②B．②③C．②④D．③④
【分析】分析函数()sin
=的图象和性质，进而逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．
f x x x
【解答】解：当(4,)
f x<，故①为假命题；
∈--时，sin0
xπ
x>，()0
()sin cos f x x x x '=+，当(0,1)x ∈时，()0f x '>恒成立，
故()f x 在区间(0,1)上单调递增，故②为真命题；
f '（1）sin1cos10=+>，f '（3）sin33cos30=+<，且()f x '在在区间(1,3)上连续，
故存在0(1,3)x ∈，使0(1,)x x ∈时，()0f x '>，0(x x ∈，3)时，()0f x '<， 故当0x x =时，()f x 取极大值，故③为真命题； 由函数()sin f x x x =不存在最大值和最小值，
故不存在0M >，使得对任意x R ∈，都有|()|f x M ．故④为假命题， 故选：B ．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，难度中档．
6．（2018春•西城区校级期中）设函数()(2)1f x x lnx ax =--+，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是( ) A ．13
(0,
)3
ln + B ．1(2，13]3ln +
C ．13
(3ln +，1)
D ．13[3
ln +，1)
【分析】设()(2)g x x lnx =-，()1h x ax =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线1y ax =-的下方，求导数判断单调性，数形结合可得g （1）h （1）1a =-且h （3）31a g =-（3）3ln =，h （2）g >（2），解关于a 的不等式组可得．
【解答】解：设()(2)g x x lnx =-，()1h x ax =-，
由题意知存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线()1y h x ax ==-的下方， 2
()1g x lnx x
'=+-
， ∴当2x 时，()0g x '>，当01x <时，()0g x '<，
当1x =时，g （1）0=，当1x =时，h （1）10a =-<，即1a ． 直线1y ax =-恒过定点(0,1)-且斜率为a ，
由题意结合图象可知，存在唯一的整数02x =，0()0f x <，
故h （2）21a g =->（2）0=，h （3）31a g =-（3）3ln =，解得113
23
ln a
+<． 故选：B ．
【点评】本题考查导数的运用：判断单调性，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．
7．（2018春•西城区期末）已知函数()(1)x a
f
x e x
=-，若0(0,)x ∃∈+∞，0x 为()f x 的一个极大值点，则实数a 的取值
范围是( ) A ．(,0)-∞
B ．(4,)+∞
C ．(-∞，0)(4⋃，)+∞
D ．前三个答案都不对
【分析】求导数，根据函数2
()g x x ax a =-+的图象有2(0)00240
g a a a >⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩解得4a >，即可得到实数a 的取值范围即可．
【解答】解：22
()x
x ax a f x e x -+'=，
若0(0,)x ∃∈+∞，0x 为()f x 的一个极大值点，则函数2()g x x ax a =-+的图象应该如下：
则2(0)00240
g a a a >⎧⎪⎪
>⎨⎪=->⎪⎩解得4a >；
故实数a 的取值范围为(4,)+∞． 故选：B ．
【点评】本题考查函数在某点取得极值的条件，属于基础题．
8．（2018春•东城区期末）已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且()y f x '=的图象关于y 轴对称，f '（3）0=，若()f x 的极大值与极小值之和为4，则(0)(f = ) A ．2
B ．0
C ．2-
D ．4-
【分析】设出函数的解析式()f x ，求出函数的导数，利用函数的极值关系求解b ，然后推出结果． 【解答】解：函数()f x 的导函数()f x '是二次函数， 且()y f x '=的图象关于y 轴对称， f '（3）0=，则(3)0f '-=，
可设导函数为：2()9f x ax a '=-，
函数的解析式设为：31
()93
f x ax ax b =-+，
若()f x 的极大值与极小值之和为4， 则f （3）(3)4f +-=，
可得：92792724a a a a b --++=， 解得2b =． 则(0)2f b ==． 故选：A ．
【点评】本题考查函数的极值以及函数的导数的应用，函数的奇偶性的应用，考查分析问题解决问题的能力． 9．（2018春•西城区校级期中）定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其各自导函数()f x '和()g x '的图象如图所示，则函数()()()F x f x g x =-极值点的情况是( )
A ．只有两个极大值点，无极小值点
B ．无极大值点，只有两个极小值点
C ．有一个极大值点，无极小值点
D ．有一个极大值点，一个极小值点
【分析】根据函数的单调性结合函数的图象判断函数的极值点的个数即可． 【解答】解：()()()F x f x g x '='-'， 由图象得()f x '和()g x '有2个交点， 从左到右分分别令为a ，b ，
故(,)x a ∈-∞时，()0F x '<，()F x 递减， (,)x a b ∈时，()0F x '>，()F x 递增， (,)x b ∈+∞时，()0F x '>，()F x 递减，
故函数()F x 有一个极大值点，一个极小值点， 故选：D ．
【点评】本题考查了函数的单调性、极值点问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是一道中档题．
10．（2018•海淀区二模）如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()g x kx m =+，则函数
()()()(F x g x f x =- )
A ．有极小值，没有极大值
B ．有极大值，没有极小值
C ．至少有两个极小值和一个极大值
D ．至少有一个极小值和两个极大值
【分析】()F x 表示两图象上横坐标相同时，纵坐标的差，根据函数图象即可判断出结论． 【解答】解：设y kx =与()f x 的切点横坐标分别为1x ，2x ，12()x x <， 设()f x 的另一条斜率为k 的切线与()f x 图象的切点横坐标为3x ，如图所示：
而()()F x kx m f x =+-表示直线()g x 的点(x ，())g x 与()f x 上的点的(x ，())f x 的纵坐标的差，
显然，()F x 在1(0,)x 上单调递减，在1(x ，3)x 上单调递增，在3(x ，2)x 上单调递减，在2(x ，)+∞上单调递增， 1x ∴，2x 为()F x 的极小值点，3x 为()F x 的极大值点． 1()F x ∴，2()F x 为()F x 的极小值，3()F x 为()F x 的极大值．
故选：C ．
【点评】本题考查了函数图象的几何意义，函数极值的意义，属于中档题． 二．填空题（共5小题）
11．（2019春•西城区校级期中）函数3()12f x x x =-的极大值点是 2 ，极大值是 ． 【分析】先对函数求导，然后结合导数与极值关系即可求解． 【解答】解：22()1233(4)f x x x '=-=-，
当2x >或2x <-时，()0f x '<，函数单调递减，当22x -<<时，()0f x '>，函数单调递增，
故函数的极大值点为2x =，此时函数取得极大值f （2）16=．
故答案为：2，16．
【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的极值，属于基础试题．
12．（2019春•西城区校级期中）已知函数()y f x =满足：
（1）既有极大值，也有极小值；
（2）[0x ∀∈，1]，都有()0f x >．
请你给出一个满足上述两个条件的函数()y f x =的例子 sin 2y x =+ ．
【分析】令()sin 2f x x =+，利用导数可求得其极值，即满足（1），再由正弦函数的有界性，分析该函数满足（2），从而可得答案．
【解答】解：令()sin 2f x x =+，
则()cos f x x '=， 当[22x k ππ∈-，2]()2k k Z ππ+∈时，()0f x '， 当(22x k π
π∈-，32]()2
k k Z ππ+∈时，()0f x '， ∴当2()2x k k Z π
π=+∈时，()f x 取得极大值3； 当2()2x k k Z π
π=-∈时，()f x 取得极小值1；
即()y f x =既有极大值，也有极小值；
因为1sin 1x -，所以1sin 23x +，
即[0x ∀∈，1]，都有()0f x >．
故答案为：sin 2y x =+．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查函数的单调性与值域，属于基础试题．
13．（2017秋•海淀区校级期末）函数32()31f x x x =-+的极小值点为 2 ．
【分析】首先求导可得2()36f x x x '=-，解2360x x -=可得其根，再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得
到极小值点．
【解答】解：2()36f x x x '=-
令2()360f x x x '=-=得10x =，22x =
且(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；
(0,2)x ∈时，()0f x '<；
(2,)x ∈+∞时，()0f x '>
故()f x 在2x =出取得极小值．
故答案为2．
【点评】本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查．熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．
14．（2018春•海淀区期中）函数2()()x f x e x ax a =++在区间(0,1)上存在极值，则a 的取值范围是 (1,0)-
【分析】2()()x f x e x ax a =++在区间(0,1)上存在极值，等价于()(2)()0x f x e x x a '=++=在区间(0,1)有解，即可求
出a 的范围
【解答】解：2()()x f x e x ax a =++，
2()[(2)2](2)()x x f x e x a x a e x x a ∴'=+++=++，
2()()x f x e x ax a =++在区间(0,1)上存在极值，
()(2)()0x f x e x x a ∴'=++=在区间(0,1)有解，
即0x a +=在区间(0,1)有解，
01a ∴<-<，
解得10a -<<，
故答案为：(1,0)-．
【点评】本题主要考查了利用导数和函数极值的关系，以及参数的取值范围，考查运算求解能力、推理论证能力，
化归与转化思想．
15．（2018春•朝阳区期末）已知函数32()3f x x x a =--恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 (4,0)- ．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值，结合函数的零点的个数得到关于a 的不等式
组，解出即可．
【解答】解：2()363(2)f x x x x x '=-=-，
令()0f x '>，解得：2x >或0x <，
令()0f x '<，解得：02x <<，
故()f x 在(,0)-∞递增，在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，
故()()0f x f a ==-极大值，()f x f =极小值（2）4a =--，
若函数()f x 恰有3个不同的零点，
则只需040a a ->⎧⎨--<⎩
，解得：40a -<<， 故答案为：(4,0)-．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，极值问题，考查导数的应用以及函数 的零点问题，是一道常规题．。