高一上学期期中数学试卷含答案(共3套)

2018-2019第一学期高一期中考试
数学科试题
时间120分钟 满分150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若全集{1,2,3,4,5,6}U =,{2,3}M =,{1,4}N =,则集合{5,6}= ( )
A. M N U
B. M N I
C. ()()U U C M C N U
D.()()U U C M C N I 2.函数221()f x x x
=-的图象关于( ) A.坐标原点对称 B. x 轴对称 C. y 轴对称 D.直线y x =对称
3.设()f x 是定义在R 上的一个函数，则函数()()()F x f x f x =--在R 上一定是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数。

4. 若全集2{|1090}U x x x =-+≤,{1,9}M =,{|12}N x x =-≤,则()U C M N =I ( )
A. [)1,3
B. [)1,9-
C. (1,3)
D.(]1,3
5.设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩
，若()4f a =，则实数a =( ) A ．4,2,2-- B ．4,2-- C. 4,2-
D. 2,2-
6.若偶函数()f x 在(],1-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A ．(1.5)(1)(2)f f f -<-<
B ．(1)( 1.5)(2)f f f -<-<
C. (2)(1)(1.5)f f f <-<-
D. (2)( 1.5)(1)f f f <-<- 7.已知0.70.90.70.8,0.8, 1.2a b c ===，则a 、b 、c 的关系为：
A.c a b >>
B. c b a >>
C. a c b >>
D. a b c >>
8．若,m n 满足313log log m n =，则,m n 的关系是（ ）
A.m n =
B. 1mn =
C. 0m n +=
D. 0mn =
9．已知函数1()22x
x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则()f x （ ） A ．在R 上是增函数，图像关于原点对称. B ．在R 上是增函数, 图像关于y 轴对称.
C ．在R 上是减函数, 图像关于原点对称.
D ．在R 上是减函数, 图像关于y 轴对称.
10.下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A.2()()f x g x ==,
B. 2()()f x g x ==
C.0
()1,()f x g x x == D. 21()1,()1x f x x g x x -=+=- 11．函数
lg(53)y x =-的定义域是( ) A ．[0，53) B ．[0，53] C ．[1，53) D ．[1，53
] 12．当01a <<时,在同一坐标系中,函数x y a y a x log ==-与的图象是（ ）
A ．
B ．
C ． D
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 已知集合{}12P x Z x =∈-<,{}12Q x Z x =∈-≤≤， 则P Q =I __________.
14．若543log (log (log ))0x =，则1
2x -= ____.
15
．函数y =的定义域为____________.
16.若函数2()1f x ax x =--与x 轴只有一个交点，则实数a = ___________．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤,不能只写一个结果。

17.（本题满分12分）：
(I)
计算：(÷ (II)计算：3322(log 4log 8)(log 3log 9)++
18.（本题满分12分）：
已知()y f x =是一次函数，且(2)4,(1)5f f =-=-，
(I)求函数()f x 的解析式.
(II)若()
()22f x x =，求实数x 的值.
19.（本题满分12分）
已知函数()f x =
(I)求()()16f f 的值.
(II)用单调性的定义证明：函数()f x =[0,)+∞上是增函数.
20.（本题满分12分）
已知函数2()f x x x a =+-
(I)若2a =，求不等式()0f x >的解集.
(II)若对任意的[1,2]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围.
21.（本题满分12分）：
已知函数3()f x x x =+
(I)判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论.
(II)若()f x 是R 上的增函数，解关于m 的不等式(1)(23)0f m f m ++-<
22.（本题满分10分）
(I)若函数2()lg()f x x kx k =-+的定义域为R ，求实数k 的取值范围.
(II)已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上单调，求实数k 的取值范围.
2018-2019第一学期高一期中考试数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.{0,1,2}; 14. 19
; 15. (],0-∞ 16. 1,04- 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本题满分12分）：
解：（1）原式＝12111334424(3)(6)x x y
y x ----÷-……………… 2分 ＝12111()()334424(3)
6
x y ---+--⨯-- ………………5分 ＝1
32xy ……………… 6分
＝2 …………… 6分
（2）原式＝3322(2log 23log 2)(log 32log 3)++ …………… 7分
＝32(5log 2)(3log 3)……………… 9分
＝5lg 23lg 3lg 3lg 2
⨯ ……………… 11分 ＝15 ………………1 2分
18.（本题满分12分）：
解：（1）依条件设()(0)f x kx b k =+≠……………… 1分
∵(2)4,(1)5f f =-=-
∴245
k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， ……………… 3分
∴32
k b =⎧⎨=-⎩ ……………… 5分
∴ ()32f x x =- ……………… 6分 （2）∵()
()22f x x =，
∴()(32)
22x x -=， ……………… 7分 ∴()2(32)22x x -=， ……………… 8分
∴2321x x -=.
即2
3210x x --= ……………… 9分 解得：1211,3
x x ==- ……………… 11分 ∴x 的值为1或13
-. ……………… 12分
19.（本题满分12分）：
(1)解：()(
)16f f f = ……………… 2分 (4)f =
2= ……………… 4分
(2)证明：设任意1212,[0,),x x x x ∈+∞<， ……………… 5分
则12()()f x f x -
……………… 6分
9分
……………… 10分 ∵120x x ≤<
∴120x x -<
0>
∴12()()0f x f x -< ……………11分
即12()()f x f x <
∴()f x =[)0,+∞上是增函数……………… 12分
20.（本题满分12分）
解：（1）∵2a =时，2()2f x x x =+- ……… 1分
∴()0f x >，即为220x x +->……… 2分
解得：2x <-或1x > ……… 4分
∴不等式()0f x >的解集为{}
2 1 x x x <->或 ……… 5分
（2）∵对任意的[1,2]x ∈-，()0f x >恒成立
∴()0f x >最小值（[1,2]x ∈-） ……… 6分 ∵()y f x =图像抛物线开口朝上，对称轴为1
2
x =－……… 7分
∴()y f x =在区间1[1,]2--上单调递减，在区间1[,2]2
-上单调递增,8 ∴11()()24
f x f a =-=--最小值 ………10分 由104a -->，得14
a <- …… 11分 ∴a 的取值范围. 1(,)4-∞- …… 12分
21.（本题满分12分）：
解：（1）()f x 是奇函数， ………1分
证明如下： ∵()f x 是定义域为R ，………2分
且3
()()()f x x x -=-+- ………3分
3x x =--
()f x =- ………4分
∴()f x 是奇函数 ………5分
（2）(1)(23)0f m f m ++-<化为(1)(23)f m f m +<--………6分
∵()f x 是奇函数
∴(23)(23)f m f x --=-+ ………8分
∴不等式化为(1)(23)f m f m +<-+
又∵()f x 是R 上的增函数
∴123m m +<-+ ………10分 ∴23
m <
………11分 ∴不等式的解集为23m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ ………12分
22. 解关于x 的不等式2(1)0x a x a +--<.（本题满分10分）：
解：（1）∵函数2
()lg()f x x kx k =-+的定义域为R
∴ 20x kx k -+>对任意x R ∈恒成立，………1分 ∴2
()0x kx k -+>最小，即2
404
k k -> ………2分 解得：04k <<
∴k 的取值范围是(0,4). ………5分
（2）∵()y f x =图像抛物线开口朝上，对称轴为8
k x =，………6分 ∴()y f x =的单调减区间为(,]8k -∞，单调增区间为[,)8
k +∞………7分 ∵()y f x =在[5,20]上单调 ∴58k ≤，或208
k ≥ ………8分 ∴40k ≤或160k ≥ ………9分
∴k 的取值范围是(,40][160,)-∞+∞U 。

………10分
2018-2019学年第一学期期中考试
高一级数学试卷
一、选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1
1.()2x f x x -=-函数 ）
A ．[1，2)∪(2，+∞）
B ．(1，+∞）
C ．[1，2)
D ．[1，+∞)
2．已知A={1，2，3}，B={2，4}，定义集合A 、B 间的运算A ＊B={x ∣x ∈A 且x ∉B}，则集合A ＊B 等于（
）
A.{1， 3}
B. {2，4}
C. {1，2, 3}
D. {2}
3.已知函数f(x)＝a x (a>0，a≠1)是定义在R 上的单调递减函数，则函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象大致是
( )
4. 函数()log (1)2a f x x =-+恒过定点（ ）
A ．(1,2)
B ．(2,2)
C ．(1,0)
D ．(1,3)-
5．在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ）
A ． x x
y y ==,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x y
C ．33,x y x y ==
D ．2)(|,|x y x y ==
6. 下列大小关系正确的是（ ）
A ．20.440.43log 0.3<<；
B ．20.4
40.4log 0.33<<；
C ．20.44log 0.30.43<<；
D ．0.424log 0.330.4<<
7.化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）. A .2 B. 32 C. 1 D.3 8. 若函数f(㏑x)=3x+4，则f(x)的表达式为（ ）
A ．3㏑x
B ．3㏑x+4
C ．3e x
D ．3e x +4
9. 若函数,]1,0[,4)0,1[,)41()(⎪⎩
⎪⎨⎧∈-∈=x x x f x x 则=)3(log 4f （ ）
A. 31
B.
4
1 C. 3 D. 4 10.设f(x)＝|x －1|－|x|，则f[f(2
1)]＝( ) A ．－21 B ．1 C ．21 D ． 0 11. 已知f (x )=ax 2-bx +1是定义域为[a ,a +1]的偶函数,则a +a b
=（ ）．
A. 0
B.
C. ﹣
D. 12. 已知函数
在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 或
二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13.已知幂函数y=f(x)的图像过点（2，22
）,则函数f(x)= __________． 14. 函数
的单调递增区间为__________． 15. 已知函数
同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.在下列三个函数中：（1）
；（2）；（3）.“理想函数”有__________．（只填序号）
16. 已知定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数，则不等式
的解集是
__________．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17. （本题满分10分）
已知f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x ＋2)－f(x)＝4x ＋2.求f(x)的解析式.
18. （本题满分12分）已知1212)(+-=
x x x f （1）判断)(x f 的奇偶性；
（2）求)(x f 的值域；
（3）判断并用定义证明)(x f 在),(+∞-∞上的单调性。

19. （本题满分12分）
已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.
（1）求证：f(8)＝3
(2)求不等式f(x)－f(x －2)>3的解集.
20．（本题满分12分）
已知集合错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

， （I ）若}2{=⋂B A 错误!未找到引用源。

，求实数a 的值 （II ）若A B A =⋃错误!未找到引用源。

，求实数a 的取值范围
21．(本题满分12分)
旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给与优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？
22. (本题满分12分)
已知函数的图象过点。

（1）求的值并求函数的值域；
（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围；
（3）若函数，，则是否存在实数，使得函数的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

第一学期期中考试 高一级数学试卷答案
一、 选择题
二、填空题 13、1__2
x
14、(,1)-∞- 15、 （3） 16、1(0,)(,)e e
⋃+∞
17. （本题满分10分）
解：因为f(x)为二次函数，所以设f(x)＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)，……1分 ∴f(x＋2)＝a(x ＋2)2
＋b(x ＋2)＋c ，
又f(x ＋2)－f(x)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ……5分
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
4a ＝4，4a ＋2b ＝2.∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1. ……8分
又f(0)＝3，∴c＝3， ……9分 ∴f(x)＝x 2
－x ＋3. ……10分 18. （本题满分12分）
解：（1）)(x f 的定义域为),(+∞-∞，且)(1
2122
1211
2
12)(x f x f x
x x
x x
x -=+--
=+-=
+-=---
所以，)(x f 为R 上的奇函数。

……3分
（2）由1
212+-=
x x y 得y
y
x
-+=
112
1101102<<-∴>-+∴
>y y
y
x
Θ
所以，)(x f 值域为}11|{<<-y y 。

……7分
（3）)(x f 在),(+∞-∞上是单调递增函数。

……8分
1212,,x x R x x ∈<证明：设任意的且，则
1212211212121212122121(2-1)(21)(2-1)(21)2(22)
()()-=2121(21)(21)(21)(21)(21)(21)
x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x --++--=-=++++++++
又121222x
x
x x <∴<Q ，所以1212()()0()()f x f x f x f x -<<即。

故)(x f 在),(+∞-∞上单调递增函数。

……12分
19. （本题满分12分）
解：（1）【证明】 由题意得f(8)＝f (4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)
＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2) ……3分
又∵f(2)＝1 ∴f(8)＝3 ……5分
(2)【解】 不等式化为f(x)>f(x －2)+3 ……6分 ∵f(8)＝3 ∴f(x)>f(x －2)＋f(8)＝f(8x －16) ∵f(x)是（0，+∞）上的增函数 ……9分 ∴⎩⎨⎧->>-)2(80
)2(8x x x 解得2<x<167 ……12分
20．（本题满分12分）
…………5分
（II ）对于集合B ，错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

① 当错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

满足条件； ②当错误!未找到引用源。

，满足条件；………………8分 ③当错误!未找到引用源。

由韦达定理得错误!未找到引用源。

，矛盾；…11分
综上，a 的取值范围是错误!未找到引用源。

；………………12分 21、(本题满分12分)
解:设旅游团的人数为x 人，飞机票为y 元，依题意，
得当130x ≤≤时，900y =；
当3075x <≤时，90010(30)101200y x x =--=-+；
所以所求函数为900(130)101200(3075)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩
……3分
设利润为Q ，
则2
90015000(130)1500010120015000(3075)x x Q y x x x x -≤≤⎧=⨯-=⎨
-+-<≤⎩
……6分
当130x ≤≤时，max 900301500012000Q =⨯-=， ………………8分 当3075x <≤时，2
2
1012001500010(60)21000Q x x x =-+-=--+， 所以当60x =时，max 21000Q = 12000>， ………………11分 答：当旅游团人数为60人时，旅行社可获得最大利润21000元。

…12分
22.(本题满分12分) 解：（1）因为函数 的图象过点
所以，即，所以
…………1分
所以，因为，所以
所以
所以函数的值域为 …………3分
（2）因为关于的方程有实根，即方程
有实根
即函数
与函数
有交点，
令，则函数的图象与直线有交点…4分又
任取，则，所以，所以
所以
所以在R上是减函数
（或由复合函数判断为单调递减）
因为，所以
所以实数的取值范围是…………7分（3）由题意知，
令，则
当时，，所以
当时，，所以（舍去）
综上，存在使得函数的最大值为0…………12分
高一第一学期期中考试数学科试卷
知识：x
x y 7
+=),0(>x 在(]7,0递减，在[)
+∞,7上递增.
一．选择题（1~12题，每题5分，共60分，每题有且只有一个答案） 1.已知{}
2,0,1-=A , {}
210≤+≤=x x B , 则=⋂B C A R ( ) A.2 B.{}0,1- C.{}2 D.{}2,1-
2.式子4tan 314cos ππ+⎪⎭
⎫
⎝⎛-
的值为( )
A.
21 B. 21
- C. 23
D. 2
3
-
3.下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是( ) A. 3
y x = B. 1-=x y C. 2
1y x =-+ D. ||
2
x y -=
4.设7
575-
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=a 514log ,5735
3
=⎪⎭
⎫
⎝⎛=c b ,则c b a ,,的大小顺序是( )
A.c a b <<
B.b a c <<
C.a c b <<
D.a b c << 5.已知点)cos ,(tan ααP 在第三象限, 则角α在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
6.已知偶函数()x f 在区间[)+∞,0上单调递增,则满足()x f 21-⎪⎭
⎫
⎝⎛<31f 的x 的取值范 围是( )
A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,31
B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,31
C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛32,31
D. ⎪⎭
⎫
⎝⎛32,31
7.若函数())34(log 2
2++=kx kx x f 的值域为R ,则常数k 的取值范围是( )
A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0
B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43
C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛43,0
D. ⎪⎭⎫
⎝⎛+∞,43
8.函数x
a y =与x y a
1log =0(>a 且)1≠a 在同一坐标系中的图象只可能是( )
9.今有过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-21,1M 的函数()
2
3
log 2)(2
4
-
-+=x a x
x f ,则函数)(x f y =的奇偶性是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
10.函数)
2lg(232
+--=x x x y 的定义域( )
A .()1,2- B.(]1,2- C.(]1,1- D.()(]1,11,2-⋃-- 11.已知非空集合
B A ,满足以下两个条件:
①{}6,5,4,3,2,1=⋃B A ,φ=⋂B A ； ②A 的元素个数不是A 中的元素,B 的元素个数不是B 中的
元素,则有序集合对()B A ,的个数为( ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
12.设函数()x x f 2
1log =, 对实数b a ,,且b a <<0, 满足())2(2)(b
a f
b f a f +==,
下列a 与b 的关系, 及b 的取值范围正确的是( )
A. 1=ab ,且20<<b
B. 1=ab ,且32<<b
C. b b a 4222=++, 且43<<b
D. b b a 422
2=++,且54<<b 二．填空题（13~16题，每题5分，共20分） 13.对不同的0>a 且1≠a ,函数3)(24+=-x
a x f 必过一个定点A ,则点A 的坐标是 .
14.已知扇形的面积为4cm 2
,该扇形圆心角的弧度数是
1
2
,则扇形的周长为 cm ． 15.已知函数()⎩⎨⎧>+≤+-=1
,log 1
,412
2x x x x x x f , 则(){}==5x f x ． 16.已知函数2
1
1--+=
x x y ,函数()12
+-=x ax x g . 若函数)()(x g x f y -=恰好有2个零点, 则实数
a 的取值范围是 .
三．解答题（17题10分,第18~22题每题各12分，共70分） 17.已知=A 3
28+ππ
2cos 2
sin
-+1
5log 3
3
+, 0
3120lg 5lg 324⎪⎭
⎫
⎝⎛-++-=B ,
分别求A 与B 的值. 18.已知函数()()()
x x x x x f -+⋅+=cos 1cos tan sin
（1）若0cos 6
sin
)(=-⨯θπ
θf ,求θθcos sin 的值.
（2）若()81cos =⋅θθf ,且4
34πθπ<<, 求())2018cos(2019θπθπ---f 的值；
19.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵. 经研究发现,某地鲑鱼最大的游速是s m /5.2,且在未达到
最大游速时,游速y 可以表示为函数100
log 213
x
y =
, 单位是s m /, x 是表示鲑鱼的耗氧量的单位数. 又当鲑鱼达到最大游速时，由于体能与环境的原因,游速不随耗氧量的单位数x 增加而改变.
1)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数;
2)求鲑鱼游速y 关于耗氧量单位数x 的函数关系;
3)在未达到最大游速时,某条鲑鱼想把游速提高1 m/s, 那么它的耗氧量的单位数是 原来的多少倍？
20.已知θθcos ,sin 是关于x 的方程0132
=++mx x 的两根 1）求实数m ； 2）若存在实数t ,使02
1<+t m ,求
θθ
θ
θtan 1cos tan 11sin -+-
的值.
21.已知函数(),2
t x x f +=其中t 是常数,若满足()()()
12
+=x f x f f .
1)设()()()x f f x g =,求()x g 的表达式;
2)设()()()x f x g x λϕ-=,试问是否存在实数λ,使()x ϕ在(]1,-∞-上 是减函数,在[]0,1-上是增函数. 由单调性定义说明理由.
22.已知函数12)2()(2
-+-+=b x m x x f
1)若()x f 在区间()1,0上只有一个零点, 且m b =,求实数m 的取值范围. 2)若()x f 在区间[]2,1上有零点,求()b m 422
--的最小值.
高一数学期中考答案
CABDB DBCAD AC
13.()4,2 14. 10， 15. {}2,0， 16. ()()1,00,⋃∞-
17.已知=A 32
8+ππ
2cos 2sin -+15log 33+, 0
3120lg 5lg 324⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=B , 分别求A 与B 的值.
解：=A 328+ππ2cos 2sin
-+15log 33+53453114+=+-+= 运算32
8, ππ
2cos ,2sin , 15log 33+ 各2+1+1+2分 得 534+ 1分 ------7分
03120lg 5lg 324⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++-=B 31213=-+-= 运算
324-220lg 5lg ,=+，ο⎪⎭⎫ ⎝⎛31 各1+1+1分 -------------10分
18.已知函数()()()x x x x x f -+⋅+=
cos 1cos tan sin （1）若0cos 6sin )(=-⨯θπθf ,求θθcos sin 的值.
（2）若()81cos =⋅θθf ,且4
34πθπ<<, 求())2018cos(2019θπθπ---f 的值； 解: ()()()x x x x x f -+⋅+=cos 1cos tan sin x x
x x x sin cos 1sin cos sin =++= ----------2分 （1）由0cos 6sin )(=-⨯θπθf 得,0cos 21sin =-⨯
θθ ------------ 3分 2tan =∴θ -------------- 4分
又θθcos sin ⋅=5
2tan 1tan cos sin cos sin 222=+=+θθθθθθ --------------6分 (2) ()8
1cos sin cos =⋅=⋅θθθθf -------------7分 ()4
3cos sin 21cos sin 2=-=-θθθθΘ -------------8分
又4
34πθπ
<< ,0cos sin >-∴θθ, 23cos sin =-∴θθ ---------10分 ∴())2018cos(2019θπθπ---f
θθθπθπcos sin )2018cos()2019sin(-=---=2
3=
---------12分 19. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵. 经研究发现,某地鲑鱼最大的游速是s m /5.2,且在未
达到最大游速时,游速y 可以表示为函数100
log 213x y =
, 单位是s m /, x 是表示鱼的耗氧量的单位数. 又当鲑鱼达到最大游速时，由于体能与环境的原因,游速不随耗氧量的单位数x 增加而改变. 1)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数;
2)求鲑鱼的游速y 关于耗氧量是的单位数x 的函数关系;
3)在未达到最大游速时，某条鲑鱼想把游速提高1 m/s, 那么它的耗氧量的单位数是
原来的多少倍？
解: 1)令y=0, 则 0100
log 213=x -------1分 1100
=∴
x 100=∴x ∴一条鱼静止时耗氧量为100个单位. -------3分 2)由5.2100
log 213==x y ，得2430010035=⨯=x ------ 5分 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤= 24300
,5.224300100 ,100log 213x x x y ------- 9分 3) 当24300100<≤x 时，
由,112=-y y 即1100log 21100log 212313=-x x -------10分 即123log 21x x ＝1,得91
2=x x . -------11分 所以耗氧量的单位数为原来的9倍． -------12分
20.已知θθcos ,sin 是关于x 的方程0132=++mx x 的两根
1）求实数m ； 2）若存在实数t ,使021
<+t m ,求θθθ
θtan 1cos tan 11sin -+-的值.
解：1）⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=-=+≥-=∆31
cos sin 3cos sin 0122θθθθm m ---------------- 3分 又()θθθθcos sin 21cos sin 2
+=+ ---------------- 4分 ∴3
2192+=m ∴152=m ，15±=m ---------------- 6分 经检验满足0≥∆，∴所求实数15±=m ----------------7分
2)∵存在实数t ,使02
1
<+t m 0<∴m ,∴15-=m ----------------8分 ∴θθθ
θtan 1cos tan 11sin -+-= θθθθθθsin cos cos cos sin sin 22-+- -----------10分 3
15cos sin cos sin cos sin 22=+=--=θθθθθθ -------------12分
21.已知函数(),2t x x f +=其中t 是常数,若满足()()()
12+=x f x f f . 1)设()()()x f f x g =,求()x g 的表达式;
2)设()()()x f x g x λϕ-=,试问是否存在实数λ,使()x ϕ在(]1,-∞-上
是减函数,在[]0,1-上是增函数. 由单调性定义说明理由.
解:1)(),2t x x f +=Θ()()()t t tx x t t x x f f +++=++=∴224222 ----2分 ()()t x x f ++=+22211t x x +++=1224 ---------------------3分
()()()12+=x f x f f Θ ∴()
0)1(122=-++t t x 1=∴t ---------5分
1)(2+=∴x x f ,()222
4++=x x x g ----------------7分 2)()()()λλλϕ-+-+=-=2)2(2
4x x x f x g x ----------------8分 ()x ϕΘ在(]1,-∞-上是减函数,由定义,设121-≤<x x
()()=-21x x ϕϕ()(
)()()0222221222122214241>-++-=--+-λλx x x x x x x x 02221>-x x Θ022
221>-++∴λx x 对任意121-≤<x x ，22221++<x x λ恒成立, 4≤∴λ ---------------10分
同理,()x ϕΘ在[]0,1-上是增函数,可得4≥λ, .4=∴λ ∴所求的4=λ. ---------------12分
22.已知函数12)2()(2
-+-+=b x m x x f
1)若()x f 在区间()1,0上只有一个零点, 且b m =,求实数m 的取值范围.
2)若()x f 在区间[]2,1上有零点,求()b m 422--的最小值. 解:1)法1 : 依题意012)2()(2
=-+-+=m x m x x f
322 ,12)2(2<+<++-=+x x x x m --------------2分 设,2+=x t 则32<<t 6)7(2122++-=+++-=∴t t x x x m t
t m 76+=-∴ --------------5分 t t t M 7)(+=在(]7,0递减，在[)
+∞,7上递增. 由()x f 在区间()1,0上只有一个零点
∴2
15)2(6)3(315
=<-≤=M m M 或726=-m ------------7分 ∴实数m 的取值范围是3221≤<m 或726-=m ------------8分
法2: 依题意12)2()(2
-+-+=m x m x x f . 由()x f 在区间()1,0上只有一个零点 得①当()00=f 得,21=
m ()x x x f 232-=∴,由(),0=x f 得0=x 或2
3=x ,不合要求舍去. -------2分 ②当()01=f 得,3
2=m ())1)(13(3
131342--=+-=∴x x x x x f , 由(),0=x f 得1=x 或3
1=x ,满足要求. ------------4分 ③当08122=+-=∆m m ,得726±=m
检验12
20<-=<m x 得726+=m （舍去）,726-=m 满足要求. ------------6分
④当()()001<f f ，得()(),02312<--m m 3221<<∴
x 综上所述,所求m 的取值范围是3
221≤<m 或726-=m . ----------8分 2)设函数()x f 在区间[]2,1上的零点为βα,,其中[]R ∈∈βα,2,1
()⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=+≥---=∆ 12
20)12(422b m b m αββα ()())1(2422
2+-+=--∴αββαb m ------10分 ()122422222
-≥-≥-+=--∴αβαb m 这时0,1==βα，得1,21==
m b 满足0>∆. ()b m 422--∴的最小值为1-. ----------12分。